Спрос Хикса

В теории потребителя спрос Хикса отражает те наборы, которые потребитель выберет при заданных ценах и уровне полезности, решая задачу минимизации своих расходов. Назван по имени английского экономиста Хикса. Также называют компенсированным спросом.

${\displaystyle h(p,{\bar {u}})=\arg \min _{x}\sum _{i}p_{i}x_{i},}$

${\displaystyle {\text{при}}\ \ u(x)\geq {\bar {u}},}$

где h(p,u) — спрос Хикса при ценах p и значении функции полезности ${\displaystyle {\bar {u}}}$.

В случае когда известна функция расходов ${\displaystyle e(p,u)}$ и она непрерывна в точке ${\displaystyle ({\bar {p}},\ {\bar {u}})}$, компенсированный спрос может быть найден по лемме Шепарда и выглядит следующим образом: ${\displaystyle h_{i}({\bar {p}},\ {\bar {u}})=\nabla _{p}e({\bar {p}},\ {\bar {u}}).}$

Удобство подхода Хикса заключается в том, что минимизируемая функция расходов имеет линейный вид, но переменные для функции маршалловского спроса (p, w), легче наблюдать на практике.

Если предпочтения потребителя являются непрерывными и функция полезности задана в нуле так, что ${\displaystyle {\bar {u}}>u(0)}$, то спрос по Хиксу ${\displaystyle {\tilde {x}}({\tilde {p}},\ {\bar {u}})}$ является решением задачи максимизации полезности при ценах ${\displaystyle {\tilde {p}}}$ и доходе ${\displaystyle {\tilde {I}}=e({\tilde {p}},\ {\bar {u}}))}$, где e(•) — функция расходов. При этом ${\displaystyle v(e({\tilde {p}},\ {\bar {u}}))={\bar {u}}}$.

Обратное тоже имеет место, но при других условиях. Если предпочтения являются локально ненасыщаемыми, то маршалловский спрос ${\displaystyle {\tilde {x}}({\tilde {p}},\ {\tilde {I}})}$ является решением задачи минимизации расходов ${\displaystyle {\tilde {x}}({\tilde {p}},\ v({\tilde {p}},\ {\tilde {I}}))}$ и ${\displaystyle e({\tilde {p}},\ v({\tilde {p}},\ {\tilde {I}}))={\tilde {I}}}$.

При условии непрерывности функции полезности ${\displaystyle u(x)}$ и задания её в нуле таким образом, что ${\displaystyle {\bar {u}}>u(0)}$, спрос Хикса ${\displaystyle h(p,u)}$ обладает следующими свойствами:

1. Однородность нулевой степени по ценам p: для всех ${\displaystyle a>0}$, ${\displaystyle h(ap,\ u)=h(p,\ u)}$, так как набор x, минимизирующий сумму ${\displaystyle \sum p_{i}x_{i}}$, также минимизирует сумму ${\displaystyle \sum ap_{i}x_{i}}$ при том же бюджетном ограничении.
2. Ограничение ${\displaystyle u(x)\geq {\bar {u}}}$ удовлетворяется как равенство: ${\displaystyle \forall x^{*}\in h(p,\ {\bar {u}})u(x^{*})={\bar {u}}}$. Это следует из непрерывности функции полезности, так как можно тратить меньше на некое δe и уменьшать значение полезности на δu, пока оно не станет равным в точности ${\displaystyle {\bar {u}}}$.
3. Если предпочтения выпуклы, то ${\displaystyle h(p,\ {\bar {u}})}$ — выпуклое множество.
4. Если предпочтения строго выпуклые, то ${\displaystyle h(p,\ {\bar {u}})}$ состоит из одного элемента (является функцией компенсированного спроса).
5. Имеет место закон компенсированного спроса:

${\displaystyle \forall x'\in h(p',\ {\bar {u}}),\ \ x''\in h(p'',\ {\bar {u}}):\ \ (p'-p'')(x'-x'')<0.}$

• Задача потребителя
• Маршалловский спрос

• Фридман А. А. Лекции по курсу микроэкономики продвинутого уровня. — М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2007. — С. 71. — ISBN 978-5-7598-0335-5..