Последовательность жонглёра

Последовательность жонглёра — целочисленная последовательность, начинающаяся с заданного натурального числа ${\displaystyle a_{0}}$, в которой каждый следующий элемент определяется следующим рекуррентным соотношением:

${\displaystyle a_{k+1}={\begin{cases}\left\lfloor a_{k}^{\frac {1}{2}}\right\rfloor ,&{\mbox{если }}a_{k}{\mbox{ чётно}}\\\\\left\lfloor a_{k}^{\frac {3}{2}}\right\rfloor ,&{\mbox{если }}a_{k}{\mbox{ нечётно}}\end{cases}}}$

Предложены и изучены Клиффордом Пиковером^{[англ.][1][2]} в 1992 году.

Например, последовательность жонглёра для ${\displaystyle a_{0}=3}$:

${\displaystyle a_{1}=\lfloor 3^{\frac {3}{2}}\rfloor =\lfloor 5{,}196\dots \rfloor =5}$,

${\displaystyle a_{2}=\lfloor 5^{\frac {3}{2}}\rfloor =\lfloor 11{,}180\dots \rfloor =11}$,

${\displaystyle a_{3}=\lfloor 11^{\frac {3}{2}}\rfloor =\lfloor 36{,}482\dots \rfloor =36}$,

${\displaystyle a_{4}=\lfloor 36^{\frac {1}{2}}\rfloor =\lfloor 6\rfloor =6}$,

${\displaystyle a_{5}=\lfloor 6^{\frac {1}{2}}\rfloor =\lfloor 2{,}449\dots \rfloor =2}$,

${\displaystyle a_{6}=\lfloor 2^{\frac {1}{2}}\rfloor =\lfloor 1{,}414\dots \rfloor =1}$.

Если последовательность жонглёра достигает 1, то все её последующие значения равны 1.

Гипотеза жонглёра: все последовательности жонглёра в конечном счёте достигают значения 1 (и вырождаются). Гипотеза была проверена для начальных значений ${\displaystyle a_{0}\leqslant 10^{6}}$^[3], но не доказана, и по состоянию на 2024 год является открытой проблемой теории чисел. По типу формулировки и сложности доказательства имеет сходство с гипотезой Коллатца (для которой Пал Эрдёш отмечал, что «математика ещё не готова для таких задач»).

Для заданного начального числа ${\displaystyle l(a_{0})}$ определяется как номер первого равного единице элемента, а ${\displaystyle h(a_{0})}$ — как максимальное значение в этой последовательности; первые значения:

${\displaystyle a_{0}}$	Последовательность жонглёра	${\displaystyle l(a_{0})}$[4]	${\displaystyle h(a_{0})}$[5]
2	2, 1	1	2
3	3, 5, 11, 36, 6, 2, 1	6	36
4	4, 2, 1	2	4
5	5, 11, 36, 6, 2, 1	5	36
6	6, 2, 1	2	6
7	7, 18, 4, 2, 1	4	18
8	8, 2, 1	2	8
9	9, 27, 140, 11, 36, 6, 2, 1	7	140
10	10, 3, 5, 11, 36, 6, 2, 1	7	36

Элементы последовательности жонглёра могут достигать очень больших значений: например, последовательность жонглёра, начинающаяся с ${\displaystyle a_{0}=37}$, достигает максимального значения 24 906 114 455 136, а при ${\displaystyle a_{0}=48443}$ — в 60-м элементе содержится 972 463 десятичных цифры, а единица достигается на 157-м элементе^[6].

• Pickover, Clifford A. Computers and the Imagination. — St. Martin's Press, 1992. — ISBN 978-0-312-08343-4.
• Pickover, Clifford A. The Mathematics of Oz. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 978-0-521-01678-0.
• Weisstein, Eric W. Juggler Sequence (англ.). MathWorld. Дата обращения: 19 июня 2012.
• Letter from Harry J. Smith to Cliiford A. Pickover (англ.) (27 июня 1992). Дата обращения: 19 июня 2012. Архивировано 27 октября 2009 года.