Ряд Неймана

Ряд Неймана — это ряд элементов вида:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T^{n},}$

где T — это, например, некоторый оператор. В этом случае Tⁿ означает суперпозицию из n одинаковых операторов T. Если же T — элемент кольца, то Tⁿ будет означать n-ю степень элемента T.

Ряд Неймана является обобщением понятия суммы геометрической прогрессии.

Основным свойством ряда Неймана является то, что

${\displaystyle (I-T)^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }T^{n},}$

где I — единичный элемент. В случае операторов для этого достаточно того, чтобы линейный ограниченный оператор T, действующий в банаховом пространстве X, имел норму либо спектральный радиус, меньший единицы. Так, в случае матриц данный ряд позволяет обратить матрицу вида ${\displaystyle I-F}$, где ${\displaystyle \lambda _{max}(F)<1}$ — максимальное собств��нное значение матрицы F.

В случае кольца с единицей конструкция, аналогичная ряду Неймана, позволяет обращать элементы вида ${\displaystyle 1-p}$, где p — нильпотент. В этом случае ряд Неймана принимает вид конечной суммы

${\displaystyle \sum _{n=0}^{m-1}p^{n},}$

где m — индекс нильпотента p.

• Ряд Лиувилля — Неймана

В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). Информация должна быть проверяема, иначе она может быть удалена. Вы можете отредактировать статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок. (26 июля 2011)