Теорема Ньютона — Лейбница

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Формула Ньютона-Лейбница (анимация)

Формула Ньютона — Лейбница, или основная формула анализа, или формула Барроу[1] даёт соотношение между двумя операциями: взятием интеграла Римана и вычислением первообразной.

Формулировка

[править | править код]

Классическая формулировка формулы Ньютона-Лейбница имеет следующий вид.

Если функция непрерывна на отрезке и  — любая её первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

Однако на самом деле тре��ование непрерывности подынтегральной функции избыточно. Для выполнения этой формулы достаточно лишь существование левой и правой частей.

Если функция интегрируема и имеет первообразную на отрезке , — любая её первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

Непрерывность является удобным условием на практике, поскольку сразу же гарантирует и интегрируемость, и существование первообразной. В случае её отсутствия же для правильного применения требуется проверка обоих этих свойств, что иногда бывает сложным. Существуют интегрируемые функции, не имеющие первообразной (любая функция с конечным числом точек разрыва или функция Римана), и неинтегрируемые, имеющие первообразную (производная , дополненная нулём в нуле, на любом отрезке, содержащем 0, или функция Вольтерры[англ.]).

Формула может быть обобщена для случая функций с конечным числом разрывов. Для этого нужно обобщить понятие первообразной. Пусть функция определена на отрезке за исключением, возможно, конечного числа точек. Функция называется обобщённой первообразной , если она:

  • Непрерывна на отрезке
  • Во всех точках , за исключением, возможно, конечного их числа, дифференцируема
  • Во всех точках, где она дифференцируема, за исключением, возможно, конечного их числа, её производная равна .

Это определение не требует, чтобы производная равнялась во всех точках, где дифференцируема. С этим понятием можно обобщить формулу Ньютона — Лейбница ещё сильнее.

Пусть определена на везде, за исключением, возможно, конечного числа точек. Если функция интегрируема и имеет обобщённую первообразную на отрезке , — любая её обобщённая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

Замечание. Бездумное применение формулы к функциям, не являющимся непрерывными, может привести к ошибке. Пример неправильного вычисления:

хотя интеграл от положительной функции не может быть отрицателен.

Причина ошибки: функции не является первообразной (даже обобщённой) для функции на отрезке просто потому, что она не определена в нуле. Функция не имеет на этом отрезке первообразной вообще. Более того, эта функция ещё и не ограничена в окрестности нуля, и следовательно, не интегрируема по Риману.

Ещё до появления математического анализа данная теорема (в геометрической или механической формулировке) была известна Грегори и Барроу. Например, Барроу описал этот факт в 1670 году как зависимость между задачами на квадратуры и на проведение касательных.

Ньютон сформулировал теорему словесно следующим образом: «Для получения должного значения площади, прилегающей к некоторой части абсциссы, эту площадь всегда следует брать равной разности значений z [первообразной], соответствующих частям абсцисс, ограниченным началом и концом площади».

У Лейбница запись данной формулы в современном виде также отсутствует, поскольку обозначение определённого интеграла появилось гораздо позже, у Фурье в начале XIX века.

Современную формулировку привёл Лакруа в начале XIX века.

Основная теорема анализа устанавливает связь между дифференциальным и интегральным исчислениями. Понятие первообразной (а значит, и понятие неопределённого интеграла) определяется через понятие производной и, таким образом, относится к дифференциальному исчислению. С другой стороны, понятие определённого интеграла Римана формализуется как предел, к которому сходится так называемая интегральная сумма. Оно не зависит от понятия производной и относится к другой ветви анализа — интегральному исчислению. Формула Ньютона — Лейбница же позволяет выразить определённый интеграл через первообразную.

Функция представляет собой неопределённый интеграл суммируемой функции . Функция является абсолютно непрерывной[2].

Теорема (Лебега): абсолютно непрерывна на отрезке тогда и только тогда, когда существует суммируемая на функция такая, что при любом значении x от a до b[3].

Из этой теоремы вытекает, что если функция абсолютно непрерывна на , то её производная существует почти всюду, суммируема и удовлетворяет равенству[4]:

, где .

Некоторые следствия

[править | править код]

В качестве следствий этой теоремы можно назвать формулу интегрирования по частям[4], формулу замены переменных[4], а также теорему о разложении монотонных функций по Лебегу[5].

Формула интегрирования по частям

[править | править код]

Пусть и — абсолютно непрерывные функции на отрезке . Тогда[4]:

.

Формула следует немедленно из основной теоремы анализа и правила Лейбница[4].

Формула замены переменных

[править | править код]

Теорема. О замене переменной в определенном интеграле[6]. Рассмотрим монотонную абсолютно непрерывную функцию на отрезке , причём . Если — любая функции, интегрируемая по Лебегу на отрезке , то новая функция интегрируема на и, кроме того, справедлива следующая формула[4]:

Эта теорема справедлива и для следующих промежутков[4]:

Разложение Лебега

[править | править код]

Теорема. Рассмотрим неубывающую непрерывную слева функцию на отрезке . Такую функцию можно разложить следующим образом[5]:

  • , где:
  • — абсолютно непрерывная неубывающая функция;
  • — неубывающая непрерывная слева функция, причём почти всюду ;
  • , где:
  • — непрерывная неубывающая функция;
  • — непрерывная слева неубывающая функция скачков, то есть
, причём

Вариации и обобщения

[править | править код]

Примечания

[править | править код]
  • Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 4-е изд. Ижевск: Ижевская республиканская типография, 2000. 367 с., ил.
  • Богачёв В. И., Смолянов О. Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. М.—Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований 2009. 724 с., ил. ISBN 978-5-93972-742-6.

Литература

[править | править код]
  • Демидович Б. П. Отдел 3. Формула Ньютона — Лейбница // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 1990. — (Курс высшей математики и математической физики).
  • Камынин Л. И. Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.
  • Никифоровский В. А. Путь к интегралу. — М.: Наука, 1985.