Возведение в степень
Возведе́ние в сте́пень — арифметическая операция, первоначально определяемая как результат многократного умножения числа на себя. Степень с основанием и натуральным показателем обозначается как
где — количество множителей (умножаемых чисел)[1][К 1].
Например,
В языках программирования, где написание невозможно, применяются альтернативные обозначения .
Возведение в степень может быть определено также для отрицательных , рациональных , вещественных и комплексных степеней[1].
Извлечение корня — одна из операций, обратных возведению в степень, она по известным значениям степени и показателя находит неизвестное основание . Вторая обратная операция — логарифмирование, она по известным значениям степени и основания находит неизвестный показатель . Задача нахождения числа по известному его логарифму (потенцирование, антилогарифм) решается с помощью операции возведения в степень.
Существует алгоритм быстрого возведения в степень, выполняющий возведение в степень за меньшее, чем в определении, число умножений.
Употребление в устной речи
[править | править код]Запись обычно читается как «a в -й степени» или «a в степени n». Например, читается как «десять в четвёртой степени», читается как «десять в степени три вторых (или: полтора)».
Для второй и третьей степени существуют специальные названия: возведение в квадрат и в куб соответственно. Так, например, читается как «десять в квадрате», читается как «десять в кубе». Такая терминология возникла из древнегреческой математики. Древние греки формулировали алгебраические конструкции на языке геометрической алгебры. В частности, вместо употребления слова «умножение» они говорили о площади прямоугольника или об объёме параллелепипеда: вместо , древние греки говорили «квадрат на отрезке a», «куб на a». По этой причине четвёртую степень и выше древние греки избегали[2].
Число, являющееся результатом возведения натурального числа в -ую степень, называется точной -ой степенью. В частности, число, являющееся результатом возведения натурального числа в квадрат (куб), называется точным квадратом (кубом). Точный квадрат также называется полным квадратом.
Свойства
[править | править код]Основные свойства
[править | править код]Все приведённые ниже основные свойства возведения в степень выполняются для натуральных, целых, рациональных и вещественных чисел[3]. Для комплексных чисел, в силу многозначности комплексной операции, они выполняются только в случае натурального показателя степени .
Запись не обладает свойством ассоциативности (сочетательности), то есть, в общем случае, Например, , а . В математике принято считать запись равнозначной , а вместо можно писать просто , пользуясь предыдущим свойством. Впрочем, некоторые языки программирования не придерживаются этого соглашения[какой?].
Возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности): вообще говоря, , например, , но Причём во втором случае, когда основание больше показателя, результат получается меньше, чем в обратном случае: иначе говоря, когда ,
Таблица натуральных степеней небольших чисел
[править | править код]n | n2 | n3 | n4 | n5 | n6 | n7 | n8 | n9 | n10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
3 | 9 | 27 | 81 | 243 | 729 | 2187 | 6561 | 19 683 | 59 049 |
4 | 16 | 64 | 256 | 1024 | 4096 | 16 384 | 65 536 | 262 144 | 1 048 576 |
5 | 25 | 125 | 625 | 3125 | 15 625 | 78 125 | 390 625 | 1 953 125 | 9 765 625 |
6 | 36 | 216 | 1296 | 7776 | 46 656 | 279 936 | 1 679 616 | 10 077 696 | 60 466 176 |
7 | 49 | 343 | 2401 | 16 807 | 117 649 | 823 543 | 5 764 801 | 40 353 607 | 282 475 249 |
8 | 64 | 512 | 4096 | 32 768 | 262 144 | 2 097 152 | 16 777 216 | 134 217 728 | 1 073 741 824 |
9 | 81 | 729 | 6561 | 59 049 | 531 441 | 4 782 969 | 43 046 721 | 387 420 489 | 3 486 784 401 |
10 | 100 | 1000 | 10 000 | 100 000 | 1 000 000 | 10 000 000 | 100 000 000 | 1 000 000 000 | 10 000 000 000 |
Расширения
[править | править код]Целая степень
[править | править код]Операция обобщается на произвольные целые числа, включая отрицательные и ноль[4]::
Результат не определён при и .
Рациональная степень
[править | править код]Возведение в рациональную степень где — целое число, а — натуральное, положительного числа определяется следующим образом[4]:
- .
Степень с основанием, равным нулю, определяют только для положительного рационального показателя.
Для отрицательных степень с дробным показателем не рассматривается.
Следствие: Таким образом, понятие рациональной степени объединяет возведение в целочисленную степень и извлечение корня в единую операцию.
Вещественная степень
[править | править код]Множество вещественных чисел — непрерывное упорядоченное поле, обозначается . Множество вещественных чисел не является счётным, его мощность называется мощностью континуума. Арифметические операции над вещественными числами представимых бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение[5] соответствующих операций над рациональными чи��лами.
Если даны два вещественных числа, представимые бесконечными десятичными дробями (где — положительное):
определённые соответственно фундаментальными последовательностями рациональных чисел (удовлетворяющие условию Коши), обозначенные как: и , то их степенью называют число , определённое степенью последовательностей и :
- ,
вещественное число , удовлетворяет следующему условию:
Таким образом степенью вещественного числа является такое вещественное число которое содержится между всеми степенями вида с одной стороны и всеми степенями вида с другой стороны.
Степень с основанием, равным нулю, определяют только для положительного вещественного показателя.
Для отрицательных степень с вещественным показателем не рассматривается.
На практике для того, чтобы возвести число в степень , необходимо заменить их с требуемой точностью приближёнными рациональными числами и . За приближенное значение степени берут степень указанных рациональных чисел . При этом не важно, с какой стороны (по недостатку или по избытку) взятые рациональные числа приближают и .
Пример возведения в степень , с точностью до 3-го знака после запятой:
- Округляем данные числа до 4-го знака после запятой (для повышения точности вычислений);
- Получаем: ;
- возводим в степень: ;
- Округляем до 3-го знака после запятой: .
Полезные формулы:
Последние две формулы используют для возведения положительных чисел в произвольную степень на электронных калькуляторах (включая компьютерные программы), не имеющих встроенной функции , и для приближённого возведения в нецелую степень или для целочисленного возведения в степень, когда числа слишком велики для того, чтобы записать результат полностью.
Комплексная степень
[править | править код]Возведение комплексного числа в натуральную степень выполняется обычным умножением в тригонометрической форме. Результат однозначен:
- , (формула Муавра)[6].
Для нахождения степени произвольного комплексного числа в алгебраической форме можно воспользоваться формулой бинома Ньютона (справедливой и для комплексных чисел):
- .
Заменяя степени в правой части формулы их значениями в соответствии с равенствами: , получим:
Основой для более общего определения комплексной степени служит экспонента , где — число Эйлера, — произвольное комплексное число[8].
Определим комплексную экспоненту с помощью такого же ряда, как и вещественную:
Этот ряд абсолютно сходится для любого комплексного поэтому его члены можно как угодно перегруппировывать. В частности, отделим от него часть для :
В скобках получились известные из вещественного анализа ряды для косинуса и синуса, и мы получили формулу Эйлера:
Общий случай , где — комплексные числа, определяется через представление в показательной форме: согласно определяющей формуле[8]:
Здесь — комплексный логарифм, — его главное значение.
При этом комплексный логарифм — многозначная функция, так что, вообще говоря, комплексная степень определена неоднозначно[8]. Неучёт этого обстоятельства может привести к ошибкам. Пример: возведём известное тождество в степень Слева получится справа, очевидно, 1. В итоге: что, как легко проверить, неверно. Причина ошибки: возведение в степень даёт и слева, и справа бесконечное множество значений (при разных ), поэтому правило здесь неприменимо. Аккуратное применение формул определения комплексной степени даёт слева и справа отсюда видно, что корень ошибки — путаница значений этого выражения при и при
Степень как функция
[править | править код]Разновидности
[править | править код]Поскольку в выражении используются два символа ( и ), то его можно рассматривать как одну из трёх функций.
- Функция переменной (при этом — постоянная-параметр). Такая функция называется степенной. Обратная функция — извлечение корня.
- Функция переменной (при этом — постоянная-параметр). Такая функция называется показательной (частный случай — экспонента). Обратная функция — логарифм.
- Функция двух переменных Отметим, что в точке эта функция имеет неустранимый разрыв. В самом деле, вдоль положительного направления оси где она равна единице, а вдоль положительного направления оси где она равна нулю.
Ноль в степени ноль
[править | править код]Выражение (ноль в нулевой степени) многие учебники считают неопределённым и лишённым смысла, поскольку, как указано выше, функция в точке (0, 0) разрывна. Некоторые авторы предлагают принять соглашение о том, что это выражение равно 1. В частности, тогда разложение в ряд экспоненты:
можно записать короче:
Следует предостеречь, что соглашение чисто символическое, и оно не может использоваться ни в алгебраических, ни в аналитических преобразованиях из-за разрывности функции в этой точке.
История
[править | править код]Обозначение
[править | править код]В Европе сначала степень величины записывали словесными сокращениями (q или Q обозначало квадрат, c или C — куб, bq или qq — биквадрат, то есть 4-я степень и т. д.) или как произведение — например, изображалось как Отред записывал следующим образом: (если неизвестная всего одна, ей часто не присваивался буквенный значок)[9]. Немецкая школа кос��истов для каждой степени неизвестной предлагала особый готический значок.
В XVII веке постепенно стала преобладать идея явно указывать показатель степени. Жирар (1629 год) для возведения в степень числа ставил показатель в круглых скобках перед этим числом, а если числа правее показателя не было, то это значило, что подразумевается наличие неизвестного в указанной степени[10]; например, у него означало . Варианты размещения показателя степени предлагали Пьер Эригон и шотландский математик Джеймс Юм, они записывали в виде и соответственно[11].
Современная запись показателя степени — правее и выше основания — введена Декартом в его «Геометрии» (1637), правда, только для натуральных степеней, больших 2 (возведение в квадрат ещё долгое время обозначалось по-старому, произведением). Позднее Валлис и Ньютон (1676) распространили декартову форму записи степени на отрицательные и дробные показатели, трактовка которых к этому времени уже была известна из трудов Орема, Шюке, Стевина, Жирара и самого Валлиса. К началу XVIII столетия альтернативы для записи степеней «по Декарту», как выразился Ньютон в «Универсальной арифметике», «вышли из моды» (out of fashion). Показательная функция, то есть возведение в переменную степень, появилась сначала в письмах, а потом и в трудах Лейбница (1679). Возведение в мнимую степень обосновал Эйлер (1743)[11][12].
Запись возведения в степень в языках программирования
[править | править код]С появлением компьютеров и компьютерных программ возникла проблема, состоящая в том, что в тексте компьютерных программ невозможно записать степень в «двухэтажном» виде. В связи с этим изобрели особые значки для обозначения операции возведения в степень. Первым таким значком были две звёздочки: «**
», используемые в языке Фортран. В появившемся несколько позже языке Алгол использовался значок стрелки: «↑
» (стрелки Кну́та). В языке Бейсик предложен символ «^
» («циркумфлекс», он же «карет»), который приобрёл наибольшую популярность; его часто используют при написании формул и математических выражений не только в языках программирования и компьютерных системах, но и в простом тексте. Примеры:
3^2 = 9
;5^2 = 25
;2^3 = 8
;5^3 = 125
.
Иногда в компьютерных системах и языках программирования значок возведения в степень имеет левую ассоциативность, в отличие от принятого в математике соглашения о правой ассоциативности возведения в степень.
То есть некоторые языки программирования (например, программа Excel) могут воспринимать запись a^b^c
, как (a^b)^c
, тогда как другие системы и языки (например, Haskell, Perl, Wolfram|Alpha и многие другие) обработают эту запись справа налево: a^(b^c)
, как это принято в математике: .
Некоторые знаки возведения в степень в языках программирования и компьютерных системах:
x ↑ y
: Алгол, некоторые диалекты Бейсика;x ^ y
: Бейсик, J, MATLAB, R, Microsoft Excel, TeX, bc[К 2], Haskell[К 3], Lua, MathML и большинство систем компьютерной алгебры;x ^^ y
: Haskell[К 4], D;x ** y
: Ада, Bash, Кобол, Фортран, FoxPro, Gnuplot, OCaml, Perl, PL/I, PHP[К 5], Python, REXX, Ruby, SAS, Seed7, Tcl, ABAP, Haskell[К 6], Turing[англ.], VHDL, ECMAScript[К 7][К 8], AutoHotkey[К 8], JavaScript;x⋆y
: APL.
Во многих языках программирования (например, в Java, Си и Паскале) отсутствует операция возведения в степень, и для этой цели используют стандартные функции.
Вариации и обобщения
[править | править код]Возведение в степень с натуральным показателем можно определить не только для чисел, но и для нечисловых объектов, для которых определено умножение — например, к матрицам, линейным операторам, множествам (относительно декартова произведения, см. декартова степень).
Обычно эта операция рассматривается в некотором мультипликативном моноиде (полугруппе с единицей) и определяется индуктивно[13] для любого :
- (где — единица моноида).
- , где
- Если то определён только для обратимых элементов
Особенную ценность представляет применение возведения в степень к группам и полям, где возникает прямой аналог отрицательных степеней.
Гипероператор возведения в степень — тетрация.
Примечания
[править | править код]- ↑ 1 2 Степень // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 221.
- ↑ Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции / Пер. с голл. И. Н. Веселовского. — М., 1959. — С. 165—167. — 456 с.
- ↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 140—141.
- ↑ 1 2 Справочник по элементарной математике, 1978, с. 182—184.
- ↑ Поскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида
- ↑ Пискунов Н. С. § 3. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного числа . scask.ru. Дата обращения: 27 марта 2022.
- ↑ Близняков Н.М. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА . Учебно-методическое пособие для вузов 23. Дата обращения: 27 марта 2022. Архивировано 1 апреля 2022 года.
- ↑ 1 2 3 Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — 12-е изд.. — М.: Наука, 1977. — С. 597 (подстрочное примечание 3). — 872 с.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §290—297.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §164.
- ↑ 1 2 Александрова Н. В., 2008, с. 130—131.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §298—301, 307—309.
- ↑ David M. Bloom. Linear Algebra and Geometry (англ.). — 1979. — P. 45. — ISBN 978-0-521-29324-2.
Комментарии
- ↑ В разговорной речи иногда говорят, например, что — «a умноженное само на себя три раза», имея в виду, что берётся три множителя . Это не совсем точно и может привести к двусмысленности, так как количество операций умножения будет на одну меньше: (три множителя, но две операции умножения). Часто, когда говорят «a умноженное само на себя три раза», имеют в виду количество умножений, а не множителей, то есть См. Август Давидов. Начальная алгебра. — Типографія Э. Лисслер и Ю. Роман, 1883-01-01. — С. 6. — 534 с. Архивировано 31 мая 2016 года.. Чтобы избежать двусмысленности, можно говорить, к примеру: третья степень — это когда «число три раза входит в умножение».
- ↑ Для целой степени.
- ↑ Для неотрицательной целой степени.
- ↑ Поддерживает отрицательные степени, в отличие от
^
, реализованной только как последовательное умножение. - ↑ Начиная с версии 5.6 (см. Руководство по PHP › Appendices › Миграция с PHP 5.5.x на PHP 5.6.x › Новые возможности Архивная копия от 18 апреля 2018 на Wayback Machine).
- ↑ Для степени, представленной числом с плавающей запятой — реализовано через логарифм.
- ↑ Описан в стандарте EcmaScript 7 (ECMA-262, 7th edition), принятом в июне 2016 года.
- ↑ 1 2 В JavaScript изначально присутствует метод
Math.pow(x, y)
.
Литература
[править | править код]- Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. — 3-е изд. — СПб.: ЛКИ, 2008. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.
- Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978. — 509 с.
- Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, 509 стр.
- Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
- Степенная функция // Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1969—1978.
- Cajori F. A History of Mathematical Notations. Vol. 1 (1929 reprint). — NY: Cosimo, Inc., 2007. — xvi + 456 p. — ISBN 978-1-60206-684-7.
Ссылки
[править | править код]- Возведение в степень: правила, примеры . Дата обращения: 2 февраля 2020.