Теорема о шести окружностях

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Это старая версия этой страницы, сохранённая 78.132.137.69 (обсуждение) в 16:25, 11 августа 2018 (→Теорема о семи окружностях). Она может серьёзно отличаться от текущей версии.
Перейти к навигации Перейти к поиску
Примеры конфигураций при изменении радиуса первой окружности. В последнем случае три окружности в цепи совпадают друг с другом.

Теорема о шести окружностях — теорема в геометрии треугольника.

Формулировка

Рассмотрим цепь из окружностей, каждая из которых касается двух сторон данного треугольника, а также предыдущей окружности в цепи. Тогда эта цепь замыкается, в том смысле, что шестая окружность касается первой[1].

Вариации и обобщение

Данная теорема есть частный случай теоремы о семи окружностях, которая состоит в следующем, Нарисуйте начальную окружность и расположите шесть касательных к ней окружностей (внешним или внутренним образом) так, чтобы они касались как исходной окружности, так и двух соседних. Тогда три линии, соединяющие противоположные точки касания, пересекутся в одной точке [2],[3]. Цитируется по [4].

Если радиусы трех окружностей приблизятся к бесконечности, три окружности превратятся в прямые линии - в стороны треугольника, а центральная окружность - во вписанную окружность этого треугольника. Тогда три линии, соединяющие противоположные точки касания (точки касания со сторонами образованного треугольника с соответствующими противоположными им вершинами треугольника), также пересекутся в одной точке (как чевианы треугольника). Это соответствует последнему рисунку справа внизу, где, кстати, видны и три указанные чевианы, пересекающиеся в одной точке.

Теорема о семи окружностях

Теорема о семи окружностях

В геометрии теорема о семи окружностях является теоремой об определенном расположении семи окружностей в евклидовой плоскости. В частности, проведя цепочку из шести черных окружностей (см. рис. справа), каждая из которых касается седьмой окружности (красная), и каждая из которых касается двух соседних окружностей, три линии (синие), проведенные между противоположными парами точек касания с седьмой окружностью, пересекаются в одной точке (зеленая). Хотя элементарная по сути эта теорема не была известна вплоть до 1974 года [5],[6].

Другая формулировка. Нарисуйте начальную окружность и расположите шесть касательных к ней окружностей (внешним или внутренним образом) так, чтобы они касались как исходной окружности, так и двух соседних. Тогда три линии, соединяющие противоположные точки касания, пересекутся в одной точке (зеленая). На рис. выше шесть окружностей (черных) касаются попарно друг друга, а также внутренним образом касаются общей красной окружности. Три отрезка прямых, соединяющих противоположные пары точек касания с седьмой (с красной) окружностью, показаны синим цветом.

См. также

Примечания

  1. ↑ Evelyn CJA, Money-Coutts GB, Tyrrell JA. The Seven Circles Theorem and Other New Theorems. — London : Stacey International, 1974. — P. 49-58. — ISBN 978-0-9503304-0-2.
  2. ↑ Evelyn, C. J. A.; Money-Coutts, G. B.; and Tyrrell, J. A. "The Seven Circles Theorem." §3.1 in The Seven Circles Theorem and Other New Theorems. London: Stacey International, pp. 31-37, 1974.
  3. ↑ Seven circles theorem. Теорема о шести окружностях (англ. яз.)// https://en.wikipedia.org/wiki/Seven_circles_theorem
  4. ↑ Seven Circles. Теорема о шести окружностях (англ. яз.) Seven Circles Theorem// http://mathworld.wolfram.com/SevenCirclesTheorem.html.
  5. ↑ Evelyn, C. J. A.; Money-Coutts, G. B.; and Tyrrell, J. A. "The Seven Circles Theorem." §3.1 in The Seven Circles Theorem and Other New Theorems. London: Stacey International, pp. 31-37, 1974.
  6. ↑ Seven circles theorem. Теорема о шести окружностях (англ. яз.)// https://en.wikipedia.org/wiki/Seven_circles_theorem

Литература

  • Wells D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. — New York : Penguin Books, 1991. — P. 231. — ISBN 0-14-011813-6.

Ссылки

Источник — https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Теорема_о_шести_окружностях&oldid=94471648