Параллелограмм: различия между версиями

Параллелогра́мм (от греч. parallelos — параллельный и gramme — линия) — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

• Противоположные стороны параллелограмма равны

  ${\displaystyle |AB|=|CD|}$, ${\displaystyle |AD|=|BC|}$.

• Противоположные углы параллелограмма равны

  ${\displaystyle \angle A=\angle C,\angle B=\angle D.}$

• Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

  ${\displaystyle |AO|=|OC|}$, ${\displaystyle |BO|=|OD|}$.

• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
• Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон:

пусть а — длина стороны AB, b — длина стороны BC, ${\displaystyle d_{1}}$ и ${\displaystyle d_{2}}$ — длины диагоналей; тогда

${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2(a^{2}+b^{2}).}$

• Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:

1. Противоположные стороны попарно равны (|AB| = |CD|, |AD| = |BC|).
2. Противоположные углы попарно равны (∠A = ∠C, ∠B = ∠D).
3. Две противоположные стороны равны и параллельны (|AB| = |CD|, AB || CD).
4. Диагонали делятся в точке их пересечения пополам (|AO| = |OC|, |BO| = |OD|).

Площадь параллелограмма ${\displaystyle S_{ABCD}}$ можно найти по следующим формулам:

${\displaystyle S_{ABCD}=|AD|\cdot h_{AD}=|AB|\cdot |AD|\sin \alpha ={\frac {1}{2}}|AC|\cdot |BD|\sin \beta .}$

где ${\displaystyle h_{AD}}$ — высота опущенная на сторону ${\displaystyle AD}$, ${\displaystyle \alpha =\angle BAD}$, ${\displaystyle \beta }$ — угол между диагоналями.

• Трапеция
• Прямоугольник
• Ромб
• Дельтоид
• Параллелепипед
• Параллелограмм Вариньона