Поток векторного поля: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [непроверенная версия] |
м →См. также: пометка статей без источников |
Sholia (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
||
Строка 48: | Строка 48: | ||
* [[Теорема Гаусса]] |
* [[Теорема Гаусса]] |
||
* [[Векторная трубка]] |
* [[Векторная трубка]] |
||
==Ссылки== |
|||
''[[Кочин, Николай Евграфович|Кочин Н. Е.]]'', Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, М.: "Наука", 1965, §14 |
|||
{{math-stub}} |
{{math-stub}} |
Текущая версия от 14:17, 7 августа 2024
Пото́к ве́кторного по́ля — термин, используемый в математике для двух различных понятий:
- поток векторного поля через поверхность, это понятие широко используется и в физике, особенно в электродинамике;
- фазовый поток — поток векторного поля — однопараметрическое семейство диффеоморфизмов , определяемых дифференциальным уравнением .
Ниже представлено первое из названных понятий (второму посвящена отдельная статья).
Поток векторного поля через поверхность
[править | править код]Поток векторного поля через поверхность — поверхностный интеграл второго рода по поверхности . По определению,
- ,
где — векторное поле (вектор-функция векторного аргумента — точки пространства), — единичный вектор положительной нормали к поверхности (положительное направление выбирается для ориентируемой поверхности условно, но одинаково для всех точек — то есть для дифференцируемой поверхности — так, чтобы было непрерывно; для неориентируемой поверхности это не важно, так как поток через неё всегда ноль), — элемент поверхности.
В трёхмерном случае , а поверхностью является обычная двумерная поверхность.
Иногда применяется обозначение
- .
тогда поток записывается в виде
- .
Размерность потока — это размерность величины , домноженная на квадратный метр (в СИ).
Некоторые физические примеры
[править | править код]- Из гидродинамики
Пусть движение несжимаемой жидкости единичной плотности в пространстве задано векторным полем скорости течения . Тогда объём жидкости, который протечёт за единицу времени через поверхность , будет равен потоку векторного поля .
Если плотность равна , то масса жидкости, которая протечёт за единицу времени через поверхность будет равна потоку величины :
- .
- Из электродинамики
В основных уравнениях электродинамики — уравнениях Максвелла — фигурируют потоки вектора электрической индукции и вектора магнитной индукции
- и .
А именно, эти потоки, если они вычислены для замкнутой поверхности, равны заряду внутри поверхности:
- и ,
где — электрический заряд, а поток вектора нулевой, так как магнитные заряды не существуют.
Ещё пример из электродинамики. Электрический ток представляет собой поток векторного поля плотности тока:
через поперечное сечение токоведущего проводника.
- О понятии плотности потока
Если векторным полем , поток которого вычисляется, характеризуется перенос какой-либо скалярной величины (например, массы в примере с жидкостью или заряда в примере с током; другие возможные случаи — перенос энергии, перенос спина), то такое поле в данном контексте называется плотностью потока. В таких случаях имеет структуру , где обозначает плотность переносимой величины (массы в кг/м3, заряда в Кл/м3, энергии в Дж/м3 и т.д.), а — скорость переноса. Если не переносится ничего (как для потока , ), подобное название не имеет смысла.
См. также
[править | править код]Ссылки
[править | править код]Кочин Н. Е., Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, М.: "Наука", 1965, §14
Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |
В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |