Число Ферма: различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
[непроверенная версия][непроверенная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
отмена правки 110917462 участника 217.132.30.173 (обс.) - конфликт версий.
Метка: отмена
обновление, уточнение
Строка 31: Строка 31:


== Разложение на простые ==
== Разложение на простые ==
Всего по состоянию на июль 2020 года найдено 353 нетривиальных делителя чисел Ферма. Для 309 чисел Ферма доказано, что они составные, при этом для 2 из них (''F''<sub>20</sub> и ''F''<sub>24</sub>) до сих пор неизвестно ни одного делителя! <ref>[http://www.prothsearch.com/fermat.html#Summary Fermat factoring status<!-- Заголовок добавлен ботом -->]</ref>. Несколько новых делителей чисел Ферма находят каждый год.
Всего по состоянию на 2020 года найдено делителя чисел Ферма. Для чисел Ферма доказано, что они составные, при этом для 2 из них (''F''<sub>20</sub> и ''F''<sub>24</sub>) до сих пор неизвестно ни одного делителя! <ref>[http://www.prothsearch.com/fermat.html#Summary Fermat factoring status<!-- Заголовок добавлен ботом -->]</ref>. Несколько новых делителей чисел Ферма находят каждый год.


Ниже приведено разложение чисел Ферма на простые сомножители, при <math>n = 5,\, 6,\, 7,\, 8,\, 9:</math>
Ниже приведено разложение чисел Ферма на простые сомножители, при <math>n = 5,\, 6,\, 7,\, 8,\, 9:</math>

Версия от 18:06, 6 декабря 2020

Числа Ферма́ — числа вида , где (последовательность A000215 в OEIS).

При числа Ферма простые и равны . Пока других простых чисел Ферма не обнаружено, и неизвестно, существуют ли они при n>4, или же все прочие числа Ферма — составные.

История

Изучение чисел такого вида начал Ферма, который выдвинул гипотезу, что все они простые. Однако эта гипотеза была опровергнута Эйлером в 1732 году, нашедшим разложение числа на простые сомножители:

.

Во времена Ферма считалось верным утверждение, что если , то  — простое[источник не указан 2951 день]. Это утверждение оказалось неверным (контрпример: ), однако, по мнению Тадеуша Банахевича, именно оно могло побудить Ферма выдвинуть свою гипотезу, так как утверждение верно при всех [1].

Простые числа Ферма

На 2020 год известны только 5 простых чисел Ферма, при [2]

,
,
,
,
.

Существование других простых чисел Ферма является открытой проблемой. Известно, что являются составными при .

Свойства

и поэтому не является простым.
  • Простоту чисел Ферма можно эффективно установить с помощью теста Пепина.
  • Десятичная запись чисел Ферма, больших 5, оканчивается на 17, 37, 57 или 97.
  • Каждый делитель числа при имеет вид: (Эйлер, Люка, 1878).
  • Числа Ферма растут очень быстро: 9-е число больше гугола и 334-е число больше гуголплекса.

Разложение на простые

Всего по состоянию на октябрь 2020 года найдено 354 простых делителя чисел Ферма. Для 310 чисел Ферма доказано, что они составные, при этом для 2 из них (F20 и F24) до сих пор неизвестно ни одного делителя! [3]. Несколько новых делителей чисел Ферма находят каждый год.

Ниже приведено разложение чисел Ферма на простые сомножители, при

Обобщённые числа Ферма

Обобщённое число Ферма — число вида . Числа Ферма являются обобщёнными числами Ферма для и .

Примечания

  1. В. Серпинский. 250 задач по теории чисел. — Просвещение, 1968.
  2. последовательность A019434 в OEIS
  3. Fermat factoring status

Литература

Ссылки