Просмотр кода страницы Центрированное квадратное число

'''Центрированное квадратное число''' — это [[Центрированные полигональные числа|центрированное полигональное число]], которое представляет [[квадрат]] с точкой в центре и все остальные окружающие точки, находящиеся на квадратных слоях.

Таким образом, каждое центрированное квадратное число равно числу точек внутри данного [[Манхэттенское расстояние|расстояния в кварталах]] от центральной точки на [[Квадратная решётка|квадратной решётке]]. Центрированные квадратные числа, как и [[фигурные числа]], имеют мало практических приложений, если вообще имеют, но они изучаются в занимательной математике за элегантные геометрические и арифметические свойства.

Фигуры для первых четырёх центрированных квадратных чисел показаны ниже:

{|
|- align="center" valign="middle"
|[[Файл:GrayDot.svg|16px]]
| &nbsp; &nbsp;
|[[Файл:GrayDot.svg|16px]]<br />[[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]]<br />[[Файл:GrayDot.svg|16px]]
| &nbsp; &nbsp;
|[[Файл:GrayDot.svg|16px]]<br />[[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]]<br />[[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]]<br />[[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]]<br />[[Файл:GrayDot.svg|16px]]
| &nbsp; &nbsp;
|[[Файл:GrayDot.svg|16px]]<br />[[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]]<br />[[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]]<br />[[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]]<br />[[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]]<br />[[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]]<br />[[Файл:GrayDot.svg|16px]]
|- align="center" valign="top"
| <math>C_{4,1} = 1</math>
| &nbsp; &nbsp;
| <math>C_{4,2} = 5</math>
| &nbsp; &nbsp;
| <math>C_{4,3} = 13</math>
| &nbsp; &nbsp;
| <math>C_{4,4} = 25</math>
|}

== Связь с другими фигурными числами ==
''n''-ое центрированное квадратное число задаётся формулой

: <math>C_{4,n} = n^2 + (n - 1)^2.</math>

Другими словами, центрированное квадратное число — это сумма двух последовательных [[Квадратное число|квадратов]]. Следующие диаграммы демонстрируют формулу:
{|
|- align="center" valign="middle"
|[[Файл:GrayDot.svg|16px]]
| &nbsp; &nbsp;
|[[Файл:RedDot.svg|16px]]<br />[[Файл:RedDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:RedDot.svg|16px]]<br />[[Файл:RedDot.svg|16px]]
| &nbsp; &nbsp;
|[[Файл:GrayDot.svg|16px]]<br />[[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:RedDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]]<br />[[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:RedDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:RedDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]]<br />[[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:RedDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]]<br />[[Файл:GrayDot.svg|16px]]
| &nbsp; &nbsp;
|[[Файл:RedDot.svg|16px]]<br />[[Файл:RedDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:RedDot.svg|16px]]<br />[[Файл:RedDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:RedDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:RedDot.svg|16px]]<br />[[Файл:RedDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:RedDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:RedDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:RedDot.svg|16px]]<br />[[Файл:RedDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:RedDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:RedDot.svg|16px]]<br />[[Файл:RedDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:RedDot.svg|16px]]<br />[[Файл:RedDot.svg|16px]]
|- align="center" valign="top"
| <math>C_{4,1} = 1</math>
| &nbsp; &nbsp;
| <math>C_{4,2} = 1 + 4</math>
| &nbsp; &nbsp;
| <math>C_{4,3} = 4 + 9</math>
| &nbsp; &nbsp;
| <math>C_{4,4} = 9 + 16</math>
|}

Формулу можно представить следующим образом
: <math>C_{4,n} = {(2n-1)^2 + 1 \over 2};</math>

таким образом, ''n''-ое центрированное квадратное число равно половине ''n''-го нечётного квадрата + 1/2, что иллюстрируется ниже:

{|
|- align="center" valign="bottom"
|[[Файл:GrayDot.svg|16px]]
| &nbsp; &nbsp;
|[[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]]<br />[[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:MissingDot.svg|16px]]<br />[[Файл:MissingDot.svg|16px]][[Файл:MissingDot.svg|16px]][[Файл:MissingDot.svg|16px]]
| &nbsp; &nbsp;
|[[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]]<br />[[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]]<br />[[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:MissingDot.svg|16px]][[Файл:MissingDot.svg|16px]]<br />[[Файл:MissingDot.svg|16px]][[Файл:MissingDot.svg|16px]][[Файл:MissingDot.svg|16px]][[Файл:MissingDot.svg|16px]][[Файл:MissingDot.svg|16px]]<br />[[Файл:MissingDot.svg|16px]][[Файл:MissingDot.svg|16px]][[Файл:MissingDot.svg|16px]][[Файл:MissingDot.svg|16px]][[Файл:MissingDot.svg|16px]]
| &nbsp; &nbsp;
|[[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]]<br />[[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]]<br />[[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]]<br />[[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:MissingDot.svg|16px]][[Файл:MissingDot.svg|16px]][[Файл:MissingDot.svg|16px]]<br />[[Файл:MissingDot.svg|16px]][[Файл:MissingDot.svg|16px]][[Файл:MissingDot.svg|16px]][[Файл:MissingDot.svg|16px]][[Файл:MissingDot.svg|16px]][[Файл:MissingDot.svg|16px]][[Файл:MissingDot.svg|16px]]<br />[[Файл:MissingDot.svg|16px]][[Файл:MissingDot.svg|16px]][[Файл:MissingDot.svg|16px]][[Файл:MissingDot.svg|16px]][[Файл:MissingDot.svg|16px]][[Файл:MissingDot.svg|16px]][[Файл:MissingDot.svg|16px]]<br />[[Файл:MissingDot.svg|16px]][[Файл:MissingDot.svg|16px]][[Файл:MissingDot.svg|16px]][[Файл:MissingDot.svg|16px]][[Файл:MissingDot.svg|16px]][[Файл:MissingDot.svg|16px]][[Файл:MissingDot.svg|16px]]
|- align="center" valign="top"
| <math>C_{4,1} = (1 + 1) / 2</math>
| &nbsp; &nbsp;
| <math>C_{4,2} = (9 + 1) / 2</math>
| &nbsp; &nbsp;
| <math>C_{4,3} = (25 + 1) / 2</math>
| &nbsp; &nbsp;
| <math>C_{4,4} = (49 + 1) / 2</math>
|}

Как и другие [[центрированные полигональные числа]], центрированные квадратные числа могут быть выражены в [[Треугольное число|треугольных числах]]:

: <math>C_{4,n} = 1 + 4\, T_{n-1},</math>

где

: <math>T_n = {n(n + 1) \over 2} = {n^2 + n \over 2} = {n+1 \choose 2}</math>

есть ''n''-ое треугольное число. Это легко увидеть, если просто удалить центральную точку и разделить оставшиеся на четыре треугольника, как ниже:

{|
|- align="center" valign="middle"
|[[Файл:BlackDot.svg|16px]]
| &nbsp; &nbsp;
|[[Файл:RedDot.svg|16px]]<br />[[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:BlackDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]]<br />[[Файл:RedDot.svg|16px]]
| &nbsp; &nbsp;
|[[Файл:RedDot.svg|16px]]<br />[[Файл:RedDot.svg|16px]][[Файл:RedDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]]<br />[[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:BlackDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]]<br />[[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:RedDot.svg|16px]][[Файл:RedDot.svg|16px]]<br />[[Файл:RedDot.svg|16px]]
| &nbsp; &nbsp;
|[[Файл:RedDot.svg|16px]]<br />[[Файл:RedDot.svg|16px]][[Файл:RedDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]]<br />[[Файл:RedDot.svg|16px]][[Файл:RedDot.svg|16px]][[Файл:RedDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]]<br />[[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:BlackDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]]<br />[[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:RedDot.svg|16px]][[Файл:RedDot.svg|16px]][[Файл:RedDot.svg|16px]]<br />[[Файл:GrayDot.svg|16px]][[Файл:RedDot.svg|16px]][[Файл:RedDot.svg|16px]]<br />[[Файл:RedDot.svg|16px]]
|- align="center" valign="top"
| <math>C_{4,1} = 1</math>
| &nbsp; &nbsp;
| <math>C_{4,2} = 1 + 4 \times 1</math>
| &nbsp; &nbsp;
| <math>C_{4,3} = 1 + 4 \times 3</math>
| &nbsp; &nbsp;
| <math>C_{4,4} = 1 + 4 \times 6.</math>
|}

Разность между двумя последовательными [[Восьмиугольное число|восьмиугольными числами]] есть центрированное квадратное число (Conway and Guy, p.&nbsp;50).

== Свойства ==
Первые несколько центрированных квадратных чисел<ref>{{OEIS long|A001844}}</ref>:

: [[1 (число)|1]], [[5 (число)|5]], [[13 (число)|13]], [[25 (число)|25]], [[41 (число)|41]], [[61 (число)|61]], [[85 (число)|85]], [[113 (число)|113]], [[145 (число)|145]], 181, 221, 265, [[313 (число)|313]], [[365 (число)|365]], 421, 481, 545, 613, 685, 761, 841, 925, 1013, 1105, 1201, 1301, 1405, 1513, 1625, 1741, 1861, 1985, 2113, 2245, 2381, 2521, 2665, 2813, 2965, 3121, 3281, 3445, 3613, 3785, 3961, 4141, 4325, …

Все центрированные квадратные числа нечётны, и последняя цифра в десятичном представлении дает последовательность 1-5-3-5-1.

Все центрированные квадратные числа и их делители дают остаток 1 при делении на 4.
Отсюда все центрированные квадратные числа и их делители сравнимы с 1 или 5 по модулю 6, 8 или 12.

Все центрированные квадратные числа, за исключением 1, есть гипотенуза в одном из [[Пифагорова тройка|пифагоровой тройке]] (например, 3-4-5, 5-12-13).

=== Центрированные квадратные простые ===
'''Центрированные квадратные простые''' — это центрированные квадратные числа, являющиеся также [[Простое число|простыми]]. В отличие от обычных [[Квадратное число|квадратных чисел]], которые никогда не являются простыми, несколько центрированных квадратных чисел просты.

Несколько первых центрированных квадратных простых<ref>{{OEIS long|A027862}}</ref>:
: 5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761, 1013, 1201, 1301, 1741, 1861, 2113, 2381, 2521, 3121, 3613, …
Замечательный пример можно увидеть в магическом квадрате 10-го столетия ал-Антаакии.

== См. также ==
* Число клеток в [[Окрестность фон Неймана|окрестности фон Неймана]] порядка ''r'' совпадает с центрированным квадратным числом с номером ''r''
* [[Теорема Ферма — Эйлера|Теорема о представлении простых чисел в виде суммы двух квадратов]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{citation
 | last = Alfred | first = U.
 | mr = 1571197
 | issue = 3
 | journal = Mathematics Magazine
 | pages = 155–164
 | title = {{math|''n''}} and {{math|''n'' + 1}} consecutive integers with equal sums of squares
 | jstor = 2688938
 | volume = 35
 | year = 1962}}
* {{citation
 | last = Beiler | first = A. H.
 | location = New York
 | page = 125
 | publisher = Dover
 | title = Recreations in the Theory of Numbers
 | year = 1964}}
* {{citation
 | last1 = Conway | first1 = John H. | author1-link = Конвей, Джон Хортон
 | last2 = Guy | first2 = Richard K. | author2-link = Гай, Ричард Кеннет
 | mr = 1411676
 | isbn = 0-387-97993-X
 | location = New York
 | pages = 41–42
 | publisher = Copernicus
 | title = The Book of Numbers
 | year = 1996}}

== Ссылки ==
* [https://web.archive.org/web/20120716193317/http://www.muljadi.org/Median.htm (n² + 1) / 2 as a special case of M(i, j) = (i² + j) / 2]

{{Фигурные числа}}

[[Категория:Фигурные числа]]