Cvadratura parabolei

Cvadratura Parabolei este un tratat de geometrie, scris de Arhimede în secolul al III-lea î.Hr. Lucrarea este scrisă sub formă de scrisoare adresată prietenului său Dositheus și cuprinde 24 de propoziții despre parabolă, culminând cu demonstrația că aria segmentului parabolic (aria dintre parabolă și dreapta secantă) este egală cu 4/3 din aria unui anumit triunghi înscris.

Demonstrația folosește metoda epuizării. Arhimede împarte aria într-o infinitate de triunghiuri a căror arie formează o progresie geometrică. El calculează suma seriei și dovedește că rezultatul reprezintă aria segmentului parabolic. Acest lucru reprezintă cea mai sofisticată folosire a metodei epuizării din antichitate și a rămas neîntrecută până la dezvoltarea calculului integral în secolul al XVII-lea, fiind urmată de formula de cvadratură a lui Cavalieri^{⁠(en)[traduceți]}.

Un segmentul parabolic este regiunea delimitată de parabolă și dreapta secantă care o taie. Pentru a afla aria unui segment parabolic, Arhimede a considerat un anumit triunghi înscris. Baza acestui triunghi este dată de coarda parabolei, iar cel de al treilea vârf al triunghiului este ales în așa fel încât cele trei drepte verticale care trec prin vârfuri sunt egal depărtate și paralele cu axa parabolei. Teorema afirmă că aria segmentului parabolic este 4/3 din aria triunghiului înscris.

Arhimede a dat două demonstrații ale teoremei principale. Prima demonstrație folosește mecanica abstractă, cu care Arhimede argumentează că greutatea segmentului va echilibra greutatea triunghiului când sunt așezate pe o pârghie. Cea de-a doua, faimoasă datorită folosirii geometriei pure, folosește metoda epuizării.

Din cele 24 de propoziții, primele trei sunt citate fără demonstrație după lucrarea lui Euclid Elementele Conicelor (lucrare azi pierdută). Propozițiile patru și cinci stabilesc proprietățile elementare ale parabolei; propozițiile de la șase la șaptesprezece dau demonstrația mecanică a teoremei; iar propozițiile de la optsprezece la douăzeci și patru dau demonstrația geometrică.

Ideea principală a demonstrației constă în împărțirea segmentului parabolic într-o infinitate de triunghiuri, după cum se arată în figura din dreapta. Fiecare dintre aceste triunghiuri sunt înscrise în propriile lor segmente parabolice, în același mod în care triunghiul albastru a fost înscris în segmentul cel mare.

În propozițiile de la optsprezece la douăzeci și unu Arhimede demonstrează că aria fiecărui triunghi verde este 1/8 din aria triunghiului albastru. Din punct de vedere al calcului modern, acest lucru este adevărat deoarece triunghiul verde are prin construcție baza egală cu jumătate din lungimea triunghiului albastru, iar înălțimea egală cu 1/4. Afirmația despre înălțime se datorează proprietăților parabolei și poate fi ușor dovedită folosind calculul modern al geometriei analitice.

Prin extensie, fiecare triunghi galben are aria egală cu 1/8 din aria triunghiului verde, cel roșu 1/8 din cel galben și tot așa. Folosind metoda epuizării, urmează că aria totală a segmentului parabolic este dată de:

${\displaystyle {\mbox{Area}}\;=\;T\,+\,2\left({\frac {T}{8}}\right)\,+\,4\left({\frac {T}{8^{2}}}\right)\,+\,8\left({\frac {T}{8^{3}}}\right)\,+\,\cdots .}$

Aici T reprezintă aria triunghiului albastru, al doilea termen aria totală a celor două triunghiuri verzi, al treilea aria totală a triunghiurilor galbene și tot așa. Simplificând, obținem:

${\displaystyle {\mbox{Area}}\;=\;\left(1\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,{\frac {1}{64}}\,+\,\cdots \right)T.}$

Pentru a completa demonstrația, Arhimede a arătat că

${\displaystyle 1\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,{\frac {1}{64}}\,+\,\cdots \;=\;{\frac {4}{3}}.}$

Expresia din partea stângă este o progresie geometrică cu rația 1/4. Arhimede a evaluat suma folosind metoda geometrică,^[1] ilustrată în figura din dreapta, care arată un pătrat unitate care a fost împărțit într-o infinitate de pătrate mai mici. Fiecare pătrat mov are aria 1/4 din aria pătratului anterior, iar aria tuturor pătratelor mov fiind egală cu suma:

${\displaystyle {\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,{\frac {1}{64}}\,+\,\cdots .}$

Pătratele mov sunt congruente cu cele galbene, astfel că acoperă 1/3 din aria pătratului unitate, arătând că seria este egală cu 1/3.

• Arhimede
• Metoda epuizării
• Progresie geometrică

• Ajose, Sunday and Roger Nelsen (1994). „Proof without Words: Geometric Series”. Mathematics Magazine. 67 (3): 230. doi:10.2307/2690617. JSTOR 2690617. 
• Bressoud, David M. (2006). A Radical Approach to Real Analysis (ed. 2nd). Mathematical Association of America. ISBN 0883857472. .
• Edwards Jr., C. H. (1994). The Historical Development of the Calculus (ed. 3rd). Springer. ISBN 0387943137. .
• Heath, Thomas L. (2005). The Works of Archimedes. Adamant Media Corporation. ISBN 1402171314 Verificați valoarea |isbn=: checksum (ajutor). 
• Simmons, George F. (2007). Calculus Gems. Mathematical Association of America. ISBN 0883855615. .
• Stein, Sherman K. (1999). Archimedes: What Did He Do Besides Cry Eureka?. Mathematical Association of America. ISBN 0883857189. 
• Stillwell, John (2004). Mathematics and its History (ed. 2nd). Springer. ISBN 0387953361. .
• Swain, Gordon and Thomas Dence (1998). „Archimedes' Quadrature of the Parabola Revisited”. Mathematics Magazine. 71 (2): 123–30. doi:10.2307/2691014. JSTOR 2691014. 
• Wilson, Alistair Macintosh (1995). The Infinite in the Finite. Oxford University Press. ISBN 0198539509. .

• Casselman, Bill. „Archimedes' quadrature of the parabola”. Arhivat din original la 20 martie 2012. Accesat în 11 aprilie 2011.  Full text, as translated by T.L. Heath.
• Xavier University Department of Mathematics and Computer Science. „Archimedes of Syracuse”. Arhivat din original la 7 martie 2007. Accesat în 11 aprilie 2011.  Text of propositions 1–3 and 20–24, with commentary.