Circulo de Curvatura

Na geometria diferencial das curvas, o círculo osculador de uma curva plana suave em um dado ponto p na curva é definido como o círculo que passa por p e um par de pontos adicionais na curva infinitamente próximo de p . Seu centro fica na linha normal interna e sua curvatura define a curvatura da curva especificada nesse ponto. Esse círculo, que é aquele entre todos os círculos tangentes no ponto em que se aproxima mais da curva, foi nomeado circulus osculans (latim para "círculo do beijo") por Leibniz .

O centro e o raio do círculo osculante em um determinado ponto são chamados de centro de curvatura e raio de curvatura naquela determinado ponto.

Imagine um carro se movendo ao longo de uma estrada curva em um plano. De repente, em um ponto da estrada, o volante trava. Depois disso, o carro se move em um círculo que "beija" a estrada até ponto de tranvar. A curvatura do círculo é igual à da estrada naquele ponto. Esse círculo é o círculo osculante da curva da estrada naquele ponto.

Sendo ${\displaystyle \gamma }$( s ) uma curva plana paramétrica regular, onde s é o comprimento do arco (o parâmetro natural ). Isso determina o vetor tangencial unitário T ( s ), o vetor normal unitário N ( s ), a curvatura k (s ) e o raio da curvatura R (s ) em cada ponto para o qual s é composto:

${\displaystyle T(s)=\gamma '(s),\quad T'(s)=k(s)N(s),\quad R(s)={\frac {1}{\left|k(s)\right|}}.}$

Suponha que P seja um ponto em γ onde k ≠ 0. O centro de curvatura será o ponto Q a uma distância R ao longo de N, na mesma direção se k for positivo e na direção oposta se k for negativo. O círculo com centro em Q e com raio R é chamado de círculo osculante da curva γ no ponto P.

Se C é uma curva espacial regular, o círculo osculante é definido de maneira semelhante, usando o vetor normal principal N. Encontra-se no plano osculante, o plano medido pelos vetores normais tangentes e principais T e N no ponto P.

A curva plana também pode ser dada por uma parametrização regular diferente

${\displaystyle \gamma (t)\,=\,{\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{pmatrix}}\,}$

onde regular significa que ${\displaystyle \gamma '(t)\neq 0}$ para todos ${\displaystyle t}$ . Em seguida, as fórmulas para a curvatura k ( t ), o vetor unitário normal N ( t ), o raio da curvatura R ( t ) e o centro Q ( t ) do círculo osculante são

${\displaystyle k(t)={\frac {x_{1}'(t)\cdot x_{2}''(t)-x_{1}''(t)\cdot x_{2}'(t)}{{\Big (}x_{1}'(t)^{2}+x_{2}'(t)^{2}{\Big )}^{\frac {3}{2}}}}\qquad \qquad \qquad \qquad N(t)\,=\,{\frac {1}{\|\gamma '(t)\|}}\cdot {\begin{pmatrix}-x_{2}'(t)\\x_{1}'(t)\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle R(t)=\left|{\frac {{\Big (}x_{1}'(t)^{2}+x_{2}'(t)^{2}{\Big )}^{\frac {3}{2}}}{x_{1}'(t)\cdot x_{2}''(t)-x_{1}''(t)\cdot x_{2}'(t)}}\right|\qquad \qquad \mathrm {and} \qquad \qquad Q(t)\,=\,\gamma (t)\,+\,{\frac {1}{k(t)\cdot \|\gamma '(t)\|}}\cdot {\begin{pmatrix}-x_{2}'(t)\\x_{1}'(t)\end{pmatrix}}\,.}$

Podemos obter o centro do círculo osculante em coordenadas cartesianas se substituirmos ${\displaystyle t=x}$ e ${\displaystyle y=f(x)}$ para alguma função f . Se fizermos os cálculos, os resultados para as coordenadas X e Y do centro do círculo osculante são:

${\displaystyle x_{c}=x-f'{\frac {1+f'^{2}}{f''}}\qquad \qquad {\text{and}}\qquad \qquad y_{c}=f+{\frac {1+f'^{2}}{f''}}}$

Para uma curva C dada por equações paramétricas suficientemente suaves (duas vezes continuamente diferenciáveis), o círculo osculante pode ser obtido por um procedimento limitador: é o limite dos círculos que passam por três pontos distintos em C quando esses pontos se aproximam de P. ^[2] Isso é totalmente análogo à construção da tangente a uma curva como um limite das linhas secantes através de pares de pontos distintos em C se aproximando de P.

O círculo osculante S para uma curva plana C em um ponto regular P pode ser caracterizado pelas seguintes propriedades:

• O círculo S passa por P.
• O círculo S e a curva C têm a linha tangente comum em P e, portanto, a linha normal comum.
• Perto de P, a distância entre os pontos da curva C e o círculo S na direção normal decai à medida do cubo ou uma potência maior da distância a P na direção tangencial.

Isso geralmente é expresso como "a curva e seu círculo osculatório têm o contato de segunda ou maior ordem" em P. Em termos gerais, as funções vetoriais que representam C e S concordam com suas primeira e segunda derivadas em P.

Se a derivada da curvatura em relação a s for diferente de zero em P, o círculo osculante cruza a curva C em P. Os pontos P nos quais a derivada da curvatura é zero são chamados vértices . Se P é um vértice, C e seu círculo osculatório têm contato de ordem pelo menos três. Além disso, se a curvatura tem um máximo ou mínimo local diferente de zero em P, o círculo osculante toca a curva C em P, mas não a atravessa.

A curva C pode ser obtida como o envelope da família de um parâmetro de seus círculos osculantes. Seus centros, isto é, os centros de curvatura, formam outra curva, chamada evolução de C. Os vértices de C correspondem a pontos singulares em sua evolução.

Em qualquer arco de uma curva C, dentro do qual a curvatura é monotônica (ou seja, longe de qualquer vértice da curva), os círculos osculantes são todos disjuntos e aninhados um no outro. Este resultado é conhecido como o teorema de Tait-Kneser .^[1]

Para a parábola

${\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}t\\t^{2}\end{pmatrix}}}$

o raio de curvatura é

${\displaystyle R(t)=\left|{\frac {\left(1+4\cdot t^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{2}}\right|}$

No vértice ${\displaystyle \gamma (0)={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}$ o raio de curvatura é igual a R (0) = 0,5 (veja a figura). A parábola tem contato de quarta ordem com seu círculo osculante. Para um t grande, o raio de curvatura aumenta ~ t ³, ou seja, a curva se endireita cada vez mais.

Uma curva de Lissajous com razão de frequências (3: 2) pode ser parametrizada da seguinte forma

${\displaystyle \gamma (t)\,=\,{\begin{pmatrix}\cos(3t)\\\sin(2t)\end{pmatrix}}\,.}$

Tem curvatura k ( t ), vetor unitário normal N ( t ) e raio de curvatura R ( t ) dado por

${\displaystyle k(t)={\frac {6\cos(t)(8(\cos t)^{4}-10(\cos t)^{2}+5)}{(232(\cos t)^{4}-97(\cos t)^{2}+13-144(\cos t)^{6})^{3/2}}}\,,}$

${\displaystyle N(t)\,=\,{\frac {1}{\|\gamma '(t)\|}}\cdot {\begin{pmatrix}-2\cos(2t)\\-3\sin(3t)\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle R(t)=\left|{\frac {(232(\cos t)^{4}-97(\cos t)^{2}+13-144(\cos t)^{6})^{3/2}}{6\cos(t)(8(\cos t)^{4}-10(\cos t)^{2}+5)}}\right|\,.}$

Veja a figura para uma animação. Lá, o "vetor de aceleração" é a segunda derivada ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\gamma (s)}{\mathrm {d} s^{2}}}}$ em relação ao comprimento do arco ${\displaystyle s}$ .

Um ciclóide com raio de r pode ser parametrizado da seguinte forma:

${\displaystyle \gamma (t)\,=\,{\begin{pmatrix}r(t-\sin t)\\r(1-\cos t)\end{pmatrix}}}$

Sua curvatura é dada pela seguinte fórmula:^[3]

${\displaystyle \kappa (t)=-{\frac {\left|\csc \left({\frac {1}{2}}t\right)\right|}{4r}}}$

que dá:

${\displaystyle R(t)={\frac {4r}{\left|\csc \left({\frac {1}{2}}t\right)\right|}}}$

• Esfera Osculante

Para algumas notas históricas sobre o estudo da curvatura, consulte

• Grattan-Guinness & H. J. M. Bos (2000). From the Calculus to Set Theory 1630-1910: An Introductory History. Princeton University Press. [S.l.: s.n.] ISBN 0-691-07082-2 
• Roy Porter, editor (2003). The Cambridge History of Science: v4 - Eighteenth Century Science. Cambridge University Press. [S.l.: s.n.] ISBN 0-521-57243-6 

Para aplicação em veículos de manobra, consulte

• JC Alexander e JH Maddocks (1988): Sobre manobras de veículos doi:10.1137/0148002
• Murray S. Klamkin (1990). Problems in Applied Mathematics: selections from SIAM review. Society for Industrial and Applied Mathematics. [S.l.: s.n.] ISBN 0-89871-259-9  Murray S. Klamkin (1990). Problems in Applied Mathematics: selections from SIAM review. Society for Industrial and Applied Mathematics. [S.l.: s.n.] ISBN 0-89871-259-9  Murray S. Klamkin (1990). Problems in Applied Mathematics: selections from SIAM review. Society for Industrial and Applied Mathematics. [S.l.: s.n.] ISBN 0-89871-259-9 

Referências

• Weisstein, Eric W. «Osculating Circle». MathWorld (em inglês) 
• math3d : osculating_circle