Twierdzenie Schaudera o operatorze sprzężonym

Twierdzenie Schaudera – twierdzenie analizy funkcjonalnej udowodnione w 1930 przez Juliusza Schaudera^[1] i mówiące, że operator liniowy między przestrzeniami Banacha jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jego operator sprzężony również jest zwarty. W 1951 Shizuo Kakutani udowodnił twierdzenie Schaudera^[2] w oparciu o twierdzenie Arzeli-Ascolego.

Odpowiednikiem twierdzenia Schaudera dla operatorów słabo zwartych jest twierdzenie Gantmachier.

Niech ${\displaystyle E}$ i ${\displaystyle F}$ będą przestrzeniami Banacha oraz niech ${\displaystyle T\colon E\to F}$ będzie operatorem liniowym. Twierdzenie Schaudera mówi, że ${\displaystyle T\colon E\to F}$ jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy operator ${\displaystyle T^{*}\colon F^{*}\to E^{*}}$ jest zwarty.

• Przypadek, gdy ${\displaystyle T}$ jest operatorem zwartym, tj. z każdego ciągu ${\displaystyle (x_{n})}$ elementów kuli jednostkowej ${\displaystyle B}$ przestrzeni ${\displaystyle E}$ można z ciągu wartości ${\displaystyle (Tx_{n})}$ wybrać podciąg zbieżny w ${\displaystyle F.}$ By wykazać zwartość operatora sprzężonego ${\displaystyle T^{*}}$ należy ustalić ciąg elementów ${\displaystyle (f_{n})}$ kuli jednostkowej przestrzeni sprzężonej ${\displaystyle F^{*}}$ i wykazać, że ciąg ${\displaystyle (T^{*}f_{n})}$ ma podciąg zbieżny. Ze zwartości operatora ${\displaystyle T}$ wynika zwartość domknięcia obrazu ${\displaystyle T(B).}$ Niech zatem ${\displaystyle K}$ oznacza domknięcie zbioru ${\displaystyle T(B).}$ Dla wszystkich liczb naturalnych ${\displaystyle n}$ restrykcja ${\displaystyle f_{n}^{*}}$ do ${\displaystyle K}$ jest ciągła. Z liniowości i wspólnej ograniczności przez 1 funkcjonałów ${\displaystyle f_{n}}$ wynika równociągłość ich restrykcji do ${\displaystyle K.}$ Rzeczywiście,

${\displaystyle \|f_{n}(x)-f_{n}(y)\|=\|f_{n}(x-y)\|\leqslant \|x-y\|\quad (x,y\in K,n\in \mathbb {N} ).}$

Z twierdzenia Arzeli-Ascolego wynika istnienie podciągu ${\displaystyle (f_{n_{k}})}$ ciągu ${\displaystyle (f_{n}),}$ który jest zbieżny jednostajnie na ${\displaystyle K.}$ Ostatecznie,

${\displaystyle \|T^{\ast }f_{n_{i}}-T^{\ast }f_{n_{j}}\|=\sup _{x\in B}\|f_{n_{i}}(Tx)-f_{n_{j}}(Tx)\|=\sup _{z\in K}|f_{n_{i}}(z)-f_{n_{j}}(z)|\quad (i,j\in \mathbb {N} ).}$

Ze zbieżności ciągu ${\displaystyle (f_{n_{k}}|_{K})}$ wynika, że ciąg ${\displaystyle (T^{*}f_{n_{k}})}$ jest ciągiem Cauchy’ego w ${\displaystyle E^{*},}$ a więc z zupełności przestrzeni sprzężonych, jest on zbieżny.

• Przypadek, gdy ${\displaystyle T^{*}}$ jest operatorem zwartym. Z udowodnionej wyżej implikacji wynika, że operator ${\displaystyle T^{**}\colon E^{**}\to F^{**}}$ jest zwarty. Wówczas

${\displaystyle T=\kappa _{F}^{-1}T^{**}|_{\kappa _{E}(E)},}$

gdzie ${\displaystyle \kappa _{X}\colon X\to X^{**}}$ oznacza kanoniczne włożenie przestrzeni Banacha ${\displaystyle X}$ w swoją drugą przestrzeń sprzężoną. Ostatecznie operator ${\displaystyle T}$ jest zwarty jako złożenie z restrykcją operatora zwartego (która sama wówczas jest zwarta)^[3][4].

Niech ${\displaystyle E}$ i ${\displaystyle F}$ będą przestrzeniami Banacha oraz niech ${\displaystyle T\colon E\to F}$ będzie operatorem zwartym. By wykazać zwartość operatora sprzężonego ${\displaystyle T^{*},}$ bez straty ogólności można przyjąć, że przestrzeń ${\displaystyle F}$ jest ośrodkowa, ponieważ obraz operatora zwartego jest ośrodkowy^[5]. Z twierdzenia Banacha-Alaoglu wynika, że kule domknięte w przestrzeni ${\displaystyle F^{*}}$ są zwarte w topologii *-słabej. Z ośrodkowości przestrzeni ${\displaystyle F}$ wynika metryzowalność topologii *-słabej na kulach domkniętych w ${\displaystyle F^{*}.}$ Niech ${\displaystyle (f_{n})}$ będzie ciągiem z kuli jednostkowej w ${\displaystyle F^{*},}$ która jest zwarta i metryzowalna w *-słabej topologii. Ponieważ metryzowalne przestrzenie zwarte są ciągowo zwarte ${\displaystyle (f_{n})}$ ma podciąg ${\displaystyle (f_{n_{k}})}$ *-słabo zbieżny do pewnego elementu ${\displaystyle f\in F^{*}}$ (który również należy do kuli jednostkowej ${\displaystyle F^{*}}$). By udowodnić zwartość operatora ${\displaystyle T^{*}}$ wystarczy wykazać, że ciąg ${\displaystyle (T^{*}f_{n_{k}})}$ jest zbieżny (w normie).

Niech ${\displaystyle B}$ będzie kulą jednostkową w ${\displaystyle E}$ oraz niech ${\displaystyle \varepsilon >0.}$ Z całkowitej ograniczoności obrazu ${\displaystyle T(B)}$ wynika istnienie takich elementów ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{m}\in F,}$ że

${\displaystyle T(B)\subseteq \bigcup _{j=1}^{m}\{y\in F\colon \|y-y_{j}\|<{\frac {\varepsilon }{3}}\}.}$

Z *-słabej zbieżności ciągu ${\displaystyle (f_{n_{k}})}$ do ${\displaystyle f}$ wynika istnienie takiego ${\displaystyle N\geqslant 1,}$ że dla ${\displaystyle n_{k}\geqslant N}$ zachodzą nierówności

${\displaystyle |f(y)-f_{n_{k}}(y_{j})|<{\frac {\varepsilon }{3}}\quad (1\leqslant j\leqslant m).}$

Niech ${\displaystyle x\in B.}$ Istnieje wówczas takie ${\displaystyle 1\leqslant j\leqslant m,}$ że

${\displaystyle \|Tx-y_{j}\|<{\frac {\varepsilon }{3}},}$

stąd

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}|T^{*}f(x)-T^{*}f_{n_{k}}(x)|&=&|f(Tx)-f_{n_{k}}(Tx)|\\&\leqslant &|(f-f_{n_{k}})(Tx-y_{j})|+|(f-f_{n_{k}})(y_{j})|\\&\leqslant &2\|Tx-y_{j}\|+{\frac {\varepsilon }{3}}\leqslant \varepsilon .\end{array}}}$

Ostatecznie

${\displaystyle \|T^{*}f-T^{*}f_{n_{k}}\|=\sup _{x\in B}|T^{*}f(x)-T^{*}f_{n_{k}}(x)|\leqslant \varepsilon }$

dla ${\displaystyle n_{k}\geqslant N.}$ Oznacza to, że ciąg ${\displaystyle (T^{*}f_{n_{k}})}$ jest zbieżny do ${\displaystyle T^{*}f}$^[6].

Przypadek gdy ${\displaystyle T^{*}}$ jest operatorem zwartym nie ma odrębnego dowodu i dowodzony jest jak w poprzednim ustępie.

Twierdzenie Schaudera zachodzi także dla operatorów na przestrzeniach Hilberta w sensie sprzężenia operatorów na przestrzeni Hilberta. Jako takie jest ono wnioskiem z udowodnionej wyżej wersji twierdzenia Schaudera. Rzeczywiście, jeżeli ${\displaystyle T^{\star }}$ oznacza sprzężenie operatora na przestrzeni Hilberta ${\displaystyle H,}$ to

${\displaystyle T^{\star }=U^{-1}T^{*}U}$^[7],

gdzie ${\displaystyle U\colon H\to H^{*}}$ jest antyliniowym izomorfizmem przestrzeni Hilberta ${\displaystyle H}$ i ${\displaystyle H^{*}}$ (zob. twierdzenie Riesza). Korzystając z refleksywności przestrzeni Hilberta, można podać jednak krótszy dowód.

• Niech ${\displaystyle T\colon H\to H}$ będzie operatorem zwartym oraz niech ${\displaystyle (x_{n})}$ będzie ciągiem w kuli jednostkowej ${\displaystyle B}$ przestrzeni ${\displaystyle H.}$ Wówczas, z refleksywności przestrzeni ${\displaystyle H,}$ ciąg ten ma podciąg ${\displaystyle (x_{n_{k}})}$ słabo zbieżny do pewnego ${\displaystyle x\in H.}$ Wystarczy wykazać, że ciąg ${\displaystyle (T^{\star }x_{n})}$ ma zbieżny podciąg.

Zachodzą następujące oszacowania:

${\displaystyle {\begin{aligned}\|T^{\star }(x_{n_{k}}-x)\|^{2}&=\langle T^{\star }(x_{n_{k}}-x),T^{\star }(x_{n_{k}}-x)\rangle \\&=\langle x_{n_{k}}-x,TT^{\star }(x_{n_{k}}-x)\rangle \\&\leqslant \|x_{n_{k}}-x\|\cdot \|TT^{\star }(x_{n_{k}}-x)\|\\&\leqslant 2\cdot \|TT^{\star }(x_{n_{k}}-x)\|.\end{aligned}}}$

Ponieważ ciągłe operatory liniowe zachowują słabą zbieżność ciągów, ciąg ${\displaystyle (TT^{\star }(x_{n_{k}}-x))}$ jest słabo zbieżny do 0. Ze zwartości operatora ${\displaystyle T}$ wynika, że ciąg ten ma podciąg zbieżny do 0 w ${\displaystyle H.}$ Z powyższej nierówności wynika, że i sam ciąg ${\displaystyle (T^{\star }(x_{n_{k}}-x))}$ ma podciąg zbieżny do 0 w normie, a więc z liniowości, ostatecznie sam ciąg ${\displaystyle (T^{\star }x_{n})}$ ma podciąg zbieżny.

• alternatywa Fredholma
• twierdzenie Pitta

• John B. Conway: A Course in Functional Analysis. Wyd. Second Edition. New York: Springer-Verlag, 2010, seria: Graduate Texts in Mathematics 96. ISBN 1-4419-3092-2.
• Erwin Kreyszig: Introductory functional analysis with applications. New York: John Wiley & Sons Inc., 1989.
• Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. New York: Springer-Verlag, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.
• Terry J. Morrison: Functional Analysis: An Introduction to Banach Space Theory. New York: John Wiley & Sons, Inc., 2001. ISBN 978-0-471-37214-1.