Indykator bankructwa

Indykator bankructwa^[1] – proces stochastyczny wyrażający się wzorem:

${\displaystyle I(t)=\mathbb {I} _{\{\tau \leq t\}}}$ dla ${\displaystyle t\geq 0,}$ gdzie:

${\displaystyle I(t,\omega )={\begin{cases}0,&{\text{gdy }}t<\tau (\omega ){\text{ (przed bankructwem)}},\\1,&{\text{gdy }}\tau (\omega )\leqslant t{\text{ (po bankructwie)}},\end{cases}}}$

gdzie:

${\displaystyle \tau }$ – moment bankructwa.

Ten proces ma niemalejące i prawostronnie ciągłe trajektorie i zmienia wartość z zera na jeden w momencie bankructwa. Indykator bankructwa jest wykorzystywany w ryzyku kredytowym do określenia kwoty jaką odzyska bank po bankructwie firmy, której udzielono kredyt.

Filtracja ${\displaystyle ({\mathcal {I_{t}}})_{t\geq 0}}$ generowana przez indykator bankructwa jest zdefiniowana wzorem:

${\displaystyle {\mathcal {I_{t}}}=\sigma (\{I(s):s\in [0,t]\}),}$

gdzie:

${\displaystyle {\mathcal {I_{t}}}}$ jest najmniejszym ${\displaystyle \sigma }$ – ciałem takim, że każde ${\displaystyle I(s),s\leqslant t}$ jest mierzalne. ${\displaystyle I(t)}$ jest ${\displaystyle {\mathcal {I_{t}}}}$-mierzalne, więc ${\displaystyle \tau }$ jest momentem stopu:

${\displaystyle \{\tau \leqslant t\}=\{I(t)=1\}\in {\mathcal {I_{t}}}.}$

${\displaystyle ({\mathcal {I_{t}}})_{t\geq 0}}$ jest najmniejszą filtracją taką, że ${\displaystyle \tau }$ jest momentem stopu względem tej filtracji.

Rozpatrzymy dowolną filtrację ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t},}$ ${\displaystyle \forall t>0}$ względem której ${\displaystyle \tau }$ jest momentem stopu. Z własności filtracji wiemy, że:

${\displaystyle \forall s\leq t:\sigma (I(t))\subset {\mathcal {F}}_{s}\subset {\mathcal {F}}_{t}.}$

Z definicji filtracji ${\displaystyle {\mathcal {I_{t}}}{:}}$

${\displaystyle {\mathcal {I_{t}}}=\sigma (\{I(s):s\in [0,t]\})\subset \sigma ({\mathcal {F}}_{t})={\mathcal {F}}_{t}.}$

Pokazaliśmy, że ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{t}\subset {\mathcal {F}}_{t},}$ więc ${\displaystyle {\mathcal {I_{t}}}}$ jest najmniejszą filtracją względem której ${\displaystyle \tau }$ jest momentem stopu.${\displaystyle \Box }$