표준 오차

표준 오차(標準誤差, 영어: standard error, SE)는 통계의 표본 분포의 표준 편차이다.^[1] 평균의 표준 오차(平均- 標準誤差, 영어: standard error of the mean, SEM)는 표본 평균 분포의 표준 편차를 가리킨다. 표준오차는 단관측에 대한 표준편차를 ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$로 나눈 것과 같다. ${\displaystyle {\bar {x}}}$를 표본 평균, ν를 잔차라 할 때,

${\displaystyle \sigma =\pm {\sqrt {\frac {\Sigma (x-{\bar {x}})^{2}}{n(n-1)}}}=\pm {\sqrt {\frac {\Sigma \nu ^{2}}{n(n-1)}}}}$

만일 경중률이 다르다면 다음과 같이 계산한다. 경중률을 w라 할 때,^[2]

${\displaystyle \sigma =\pm {\sqrt {\frac {\Sigma w(x-{\bar {x}})^{2}}{(\Sigma w)(n-1)}}}=\pm {\sqrt {\frac {\Sigma w\nu ^{2}}{(\Sigma w)(n-1)}}}}$

모 평균에 대한 표준 오차(standard error of the mean, SEM)는

${\displaystyle {\sigma }_{\bar {x}}\ ={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}$이다.

σ는 모집단 표준편차(standard deviation), n은 모집단의 크기

${\displaystyle {\sigma }_{\bar {x}}\ \approx {\frac {s}{\sqrt {n}}}}$

표본 표준 편차 s를 이용하여 근사값으로 구하기

${\displaystyle {\text{s}}_{\bar {x}}\ ={\frac {s}{\sqrt {n}}}}$

s는 표본의 표준편차(standard deviation), n은 표본의 크기

표본 평균에 대한 표준 편차는 표본 평균의 오차에 대한 표준 편차와 동일하다. 이러한 맥락은 중심극한정리(CLT)를 의미한다.

모집단에서 취한 표본 평균값의 분포는 표본 수가 커질수록 평균값을 중심으로 하는 정규 분포에 가까워진다고하는 중심극한정리(中心極限定理)의 예는 다음과 같다.

표준편차의 정의에 의해서 확률변수 ${\displaystyle X}$의 모 집단의 표준 편차 ${\displaystyle \sigma _{X}}$가

${\displaystyle \sigma _{X}={\sqrt {\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))^{2})}}}$ 일때

분산의 정의에 의해서 확률변수 ${\displaystyle X}$의 기댓값(혹은 평균) ${\displaystyle \mu =\operatorname {E} (X)}$ 일 때, 분산 ${\displaystyle \operatorname {var} (X)}$는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\operatorname {E} ((X-\mu )^{2})}$

따라서 표본 평균(sample mean) ${\displaystyle {\overline {X}}}$는

${\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\operatorname {E} \left(\left({\overline {X}}-\operatorname {E} \left({\overline {X}}\right)\right)^{2}\right)}$

${\displaystyle var\left({\overline {X}}\right)=\sigma _{X}^{2}}$

${\displaystyle var\left({{X_{1}+X_{2}+X_{3}+\cdots +X_{n}} \over {n}}\right)=\sigma _{X}^{2}}$

${\displaystyle var\left({{1} \over {n}}\left(X_{1}+X_{2}+X_{3}+\cdots +X_{n}\right)\right)=\sigma _{X}^{2}}$

${\displaystyle {{1} \over {n}}\left(var\left({{1} \over {n}}\left(X_{1}+X_{2}+X_{3}+\cdots +X_{n}\right)\right)\right)={{1} \over {n}}\left(\sigma _{X}^{2}\right)}$

${\displaystyle {{1} \over {n^{2}}}\left(var\left(X_{1}+X_{2}+X_{3}+\cdots +X_{n}\right)\right)={{\sigma _{X}^{2}} \over {n}}}$

${\displaystyle {{1} \over {n^{2}}}\left(var(X_{1})+var(X_{2})+var(X_{3})+\cdots +var(X_{n})\right)={{\sigma _{X}^{2}} \over {n}}}$

${\displaystyle {{1} \over {n^{2}}}var(X_{1})+{{1} \over {n^{2}}}var(X_{2})+{{1} \over {n^{2}}}var(X_{3})+\cdots +{{1} \over {n^{2}}}var(X_{n})={{\sigma _{X}^{2}} \over {n}}}$

${\displaystyle {{1} \over {n^{2}}}\sigma _{X}^{2}+{{1} \over {n^{2}}}\sigma _{X}^{2}+{{1} \over {n^{2}}}\sigma _{X}^{2}+\cdots +{{1} \over {n^{2}}}\sigma _{X}^{2}={{\sigma _{X}^{2}} \over {n}}}$

${\displaystyle \left({{1+1+1+\cdots +1} \over {n^{2}}}\right)\sigma _{X}^{2}={{\sigma _{X}^{2}} \over {n}}}$

${\displaystyle {{n} \over {n^{2}}}\sigma _{X}^{2}={{\sigma _{X}^{2}} \over {n}}}$

${\displaystyle {{1} \over {n}}\sigma _{X}^{2}={{1} \over {n}}\sigma _{X}^{2}}$

${\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\sigma _{X}^{2}}$

• 변동 계수
• 표본 평균의 분포
• Z검정

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