가군의 근기

환론에서, 가군의 근기(根基, 영어: radical 래디컬^[*])는 모든 극대 부분 가군에 포함되는 가장 큰 부분 가군이다. 반대로, 가군의 주각(柱脚, 영어: socle 소클^[*])은 모든 극소 부분 가군을 포함하는 가장 작은 부분 가군이다.

환을 스스로 위의 가군으로 여겼을 때의 근기를 제이컵슨 근기(Jacobson根基, 영어: Jacobson radical)라고 한다. 이는 대략 단순 가군으로서 관찰할 수 없을 정도로 "나쁜" 원소들로 구성된 아이디얼이다.

환 ${\displaystyle R}$ 위의 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{R}M}$이 주어졌다고 하자. ${\displaystyle M}$의 진부분 가군 가운데 극대 원소를 극대 부분 가군이라고 하자. (즉, 극대 부분 가군 ${\displaystyle _{R}N\subsetneq {}_{R}M}$은 ${\displaystyle _{R}(M/N)}$이 단순 가군이 되는 것이다.) 마찬가지로, ${\displaystyle M}$의, 영가군이 아닌 부분 가군 가운데 극소 원소(즉, 부분 가군 가운데 단순 가군인 것)를 극소 부분 가군(영어: minimal submodule)이라고 하자.

환 ${\displaystyle R}$ 위의 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{R}M}$이 주어졌을 때, 그 특별한 부분 가군인 근기(根基, 영어: radical) ${\displaystyle \operatorname {rad} M}$와 주각(柱脚, 영어: socle) ${\displaystyle \operatorname {soc} M}$을 정의할 수 있으며, 이 둘은 서로 쌍대 개념이다.

왼쪽 가군 ${\displaystyle M}$의 모든 극대 부분 가군들의 교집합은 ${\displaystyle M}$의 잉여적 부분 가군들의 합과 일치하며, 이를 ${\displaystyle M}$의 근기 ${\displaystyle \operatorname {rad} M\subseteq M}$라고 한다. (만약 극대 부분 가군이 존재하지 않는다면 이는 ${\displaystyle M}$과 같다.) 왼쪽 가군 ${\displaystyle M}$의 모든 극소 부분 가군들의 합은 ${\displaystyle M}$의 본질적 부분 가군들의 교집합과 일치하며, 이를 ${\displaystyle M}$의 주각 ${\displaystyle \operatorname {soc} M\subseteq M}$이라고 한다. (만약 극소 부분 가군이 존재하지 않는다면 이는 영가군이다.) 오른쪽 가군의 근기 및 주각 역시 마찬가지로 정의된다.

환 ${\displaystyle R}$를 스스로 위의 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{R}R}$ 또는 오른쪽 가군 ${\displaystyle R_{R}}$으로 생각할 수 있다. 이 경우, ${\displaystyle _{R}R}$와 ${\displaystyle R_{R}}$의 근기 및 주각을 생각할 수 있다.

${\displaystyle _{R}R}$와 ${\displaystyle R_{R}}$의 근기는 ${\displaystyle R}$의 동일한 부분 집합을 정의한다.

${\displaystyle \operatorname {rad} (_{R}R)=\operatorname {rad} (R_{R})\subseteq R}$

이는 (왼쪽 아이디얼이자 오른쪽 아이디얼이므로) 양쪽 아이디얼을 이루며, ${\displaystyle R}$의 제이컵슨 근기(영어: Jacobson radical)라고 한다.

근기의 경우와 달리, 일반적으로 ${\displaystyle \operatorname {soc} (_{R}R)}$(=모든 단순 왼쪽 아이디얼의 합)과 ${\displaystyle \operatorname {soc} (R_{R})}$(=모든 단순 오른쪽 아이디얼의 합)은 일반적으로 서로 다르며, 이를 ${\displaystyle R}$의 왼쪽 주각(영어: left socle) 및 오른쪽 주각(영어: right socle)이라고 한다.

임의의 ${\displaystyle R}$-가군 준동형 ${\displaystyle f\colon {}_{R}M\to {}_{R}N}$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle f(\operatorname {rad} M)\subseteq \operatorname {rad} N}$

${\displaystyle f(\operatorname {soc} M)\subseteq \operatorname {soc} N}$

모든 유한 생성 가군은 (초른 보조정리에 따라) 적어도 하나 이상의 극대 부분 가군을 가지므로, 영가군이 아닌 가군 ${\displaystyle _{R}M}$의 경우 ${\displaystyle M\neq \operatorname {rad} (_{R}M)}$이다.

가군의 (유한 또는 무한) 직합

${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}}$

에 대하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {soc} M\cong \bigoplus _{i\in I}\operatorname {soc} M_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {rad} M\cong \bigoplus _{i\in I}\operatorname {rad} M_{i}}$

모든 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{R}M}$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {rad} \left(_{M}R/\operatorname {rad} (_{R}M)\right)=0}$

${\displaystyle \operatorname {soc} \left(\operatorname {soc} (_{R}M)\right)=\operatorname {soc} (_{R}M)}$

왼쪽 가군 ${\displaystyle _{R}M}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 반단순 가군���다.
• ${\displaystyle \operatorname {soc} (_{R}M)=M}$이다.

환 ${\displaystyle R}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 반단순환이다.
• ${\displaystyle \operatorname {soc} (_{R}R)=R}$이다.
• ${\displaystyle \operatorname {soc} (R_{R})=R}$이다.
• 모든 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{R}M}$에 대하여 ${\displaystyle \operatorname {soc} (_{R}M)=M}$이다.
• 모든 오른쪽 가군 ${\displaystyle M_{R}}$에 대하여 ${\displaystyle \operatorname {soc} (M_{R})=M}$이다.

환 ${\displaystyle R}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 반원시환이다.
• ${\displaystyle \operatorname {rad} R=0}$이다.

제이컵슨 근기는 양쪽 아이디얼이다. 모든 환은 (초른 보조정리에 따라) 적어도 하나 이상의 극대 아이디얼을 가지므로, 자명환이 아닌 환 ${\displaystyle R}$의 경우 ${\displaystyle R\neq \operatorname {rad} (R)}$이다.

환 ${\displaystyle R}$의 왼쪽 주각 및 오른쪽 주각은 둘 다 양쪽 아이디얼이다.

환 ${\displaystyle R}$ 위의 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{R}M}$이 주어졌다고 하자. ${\displaystyle \operatorname {rad} R}$는 아이디얼이므로,

${\displaystyle (\operatorname {rad} R)M=\left\{r_{1}m_{1}+r_{2}m_{2}+\cdots +r_{k}m_{k}\colon k\in \mathbb {N} ,\;r_{1},\dots ,r_{k}\in \operatorname {rad} R,\;m_{1},\dots ,m_{k}\in M\right\}\subseteq M}$

는 ${\displaystyle _{R}M}$의 부분 가군을 이룬다. 나카야마 보조정리(영어: Nakayama lemma)에 따르면, 다음 세 명제 가운데 적어도 하나가 성립한다.

• ${\displaystyle M}$은 유한 생성 왼쪽 가군이 아니다.
• ${\displaystyle (\operatorname {rad} R)M\subsetneq M}$이다.
• ${\displaystyle M=0}$이다.

환 ${\displaystyle R}$의 원소 ${\displaystyle r\in R}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle r\in \operatorname {rad} R}$이다.
• 임의의 왼쪽 단순 가군 ${\displaystyle M}$에 대하여, ${\displaystyle rM=\{0\}}$이다.
• 임의의 오른쪽 단순 가군 ${\displaystyle M}$에 대하여, ${\displaystyle Mr=\{0\}}$이다.
• 모든 왼쪽 극대 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$에 대하여, ${\displaystyle r\in {\mathfrak {m}}}$
• 모든 오른쪽 극대 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$에 대하여, ${\displaystyle r\in {\mathfrak {m}}}$
• 모든 ${\displaystyle s\in R}$에 대하여, ${\displaystyle 1-rs}$는 가역원이다.
• 모든 ${\displaystyle s\in R}$에 대하여, ${\displaystyle 1-sr}$는 가역원이다.
• 모든 ${\displaystyle s,s'\in R}$에 대하여, ${\displaystyle 1-srs'}$는 가역원이다.

즉, 제이컵슨 근기는 모든 (왼쪽 또는 오른쪽) 극대 아이디얼들의 교집합이자 모든 (왼쪽 또는 오른쪽) 단순 가군들의 소멸자들의 교집합이다. (이는 가환환의 영근기가 모든 소 아이디얼들의 교집합인 것과 유사하다.)

가환환 ${\displaystyle R}$의 제이컵슨 근기는 영근기를 부분 아이디얼로 갖는다.

${\displaystyle {\sqrt {(0)}}\subseteq \operatorname {rad} R}$

만약 가환환 ${\displaystyle R}$가 정수환 위의 유한 생성 단위 결합 대수이거나, 아니면 체 위의 유한 생성 단위 결합 대수라면, 제이컵슨 근기는 영근기와 같다.

체 ${\displaystyle K}$는 영 아이디얼와 전체 아이디얼 밖의 아이디얼을 갖지 않는다. 따라서 체의 근기는 영 아이디얼이며, 체의 주각은 전체 아이디얼이다.

${\displaystyle \operatorname {rad} K=0}$

${\displaystyle \operatorname {soc} K=K}$

보다 일반적으로, 모든 원시환의 근기는 영 아이디얼이다. 정수환 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$의 근기는 영 아이디얼이다.

국소환 ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}$의 근기는 (극대 아이디얼이 하나밖에 없으므로) 유일한 극대 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$이다.

정수환의 몫환 ${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}$의 극대 아이디얼들은 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$의 소인수들의 주 아이디얼이다. 따라서, ${\displaystyle n}$의 소인수 분해가

${\displaystyle n=\prod _{i}p_{i}^{n_{i}}}$

라면, ${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}$의 제이컵슨 근기는 다음과 같은 주 아이디얼이다. 이는 영근기와 같으며, 만약 ${\displaystyle n}$이 제곱 인수가 없는 정수라면 이는 영 아이디얼과 같다.

${\displaystyle \operatorname {rad} (\mathbb {Z} /(n))={\sqrt {(0)}}=(\prod _{i}p_{i})\subseteq \mathbb {Z} /(n)}$

아벨 군은 정수환 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 위의 가군과 같으며, 따라서 아벨 군의 근기와 주각을 정의할 수 있다.

무한 순환군 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$은 극소 부분군을 갖지 않으며, 극대 부분군은 소수 ${\displaystyle p}$에 대하여 ${\displaystyle p\mathbb {Z} }$의 꼴이다. 따라서, 근기와 주각 둘 다 자명군이다.

${\displaystyle \operatorname {rad} (_{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} )=\operatorname {soc} (_{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} )=0}$

임의의 자연수 ${\displaystyle n}$의 소인수 분해

${\displaystyle n=p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}\cdots p_{k}^{n_{k}}}$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 자연수의 근기

${\displaystyle \operatorname {rad} (n)=p_{1}p_{2}\cdots p_{k}}$

를 정의할 수 있다. ${\displaystyle n}$차 순환군 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$의 극소 부분군은 ${\displaystyle n}$의 소인수 ${\displaystyle p_{i}}$ 크기의 순환군 ${\displaystyle (n/p_{i})\mathbb {Z} /n}$이며, 극대 부분군은 ${\displaystyle n/p_{i}}$ 크기의 순환군 ${\displaystyle (p_{i})\mathbb {Z} /n}$에 대응한다. 따라서, 이 경우

${\displaystyle \operatorname {rad} (_{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n))=(\operatorname {rad} n)\mathbb {Z} /n\cong \mathbb {Z} /(n/\operatorname {rad} n))}$

${\displaystyle \operatorname {soc} (_{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n))=(n/\operatorname {rad} n)\mathbb {Z} /n\cong \mathbb {Z} /(\operatorname {rad} n)}$

이다.

나눗셈군(예를 들어, 유리수체의 덧셈군이나 프뤼퍼 군)은 극대 부분군을 갖지 않으므로, 나눗셈군은 스스로의 근기와 같다. 유리수체의 덧셈군은 극소 부분군 또한 갖지 않으므로, 주각은 자명군이다.

${\displaystyle \operatorname {rad} (_{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} }$

${\displaystyle \operatorname {soc} (_{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )=0}$

프뤼퍼 군의 부분군들은

${\displaystyle 0\subsetneq p^{-1}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} \subsetneq p^{-2}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} \subsetneq \cdots \subset \mathbb {Z} (p^{\infty })}$

이므로, 그 유일한 극소 부분군은 ${\displaystyle p^{-1}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} }$이��, 이는 그 주각과 같다.

${\displaystyle \operatorname {rad} (_{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} (p^{\infty }))=\mathbb {Z} (p^{\infty })}$

${\displaystyle \operatorname {soc} (_{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} (p^{\infty }))=p^{-1}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} }$

환의 주각의 개념은 장 디외도네가 1942년에 도입하였다.^[1][2]:168

제이컵슨 근기의 개념은 네이선 제이컵슨이 1945년에 도입하였다.^[3]

나카야마 보조정리는 나카야마 다다시가 1951년에 도입하였다.^[4]

• “Jacobson radical”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Radical of rings and algebras”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Socle”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Jacobson radical”. 《nLab》 (영어). 
• “Socle”. 《nLab》 (영어). 
• “Definition: Jacobson radical”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Characterisation of Jacobson radical”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Nakayama's lemma”. 《ProofWiki》 (영어). 
• Yuan, Qiaochu (2012년 5월 30일). “The Jacobson radical”. 《Annoying Precision》 (영어). 
• “Radical of a module”. 《Mathematics and Such》 (영어). 2015년 1월 9일. 
• “Origin of the socle of a module” (영어). Math Overflow. 
• “How to memorise (understand) Nakayama's lemma and its corollaries” (영어). Math Overflow. 

• 영근기
• 소근기
• 반원시환