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극한 (범주론)

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수학의 한 분야인 범주론에서 극한(極限, 영어: limit)은 수학의 여러 분야에서 사용되는 보편적 구성들(예로서 이나 역극한 등)이 갖는 공통된 성질을 잡아내어 일반화시킨 개념이다. 그 쌍대 개념인 쌍대극한(雙對極限, 영어: colimit)은 서로소 합집합이나 직합 등의 일반화이다. 극한과 쌍대극한은 보편 사상수반 함자 등의 범주론적 개념과 밀접한 연관이 있다.

정의

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극한

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함자 (영어: cone) 은 다음 데이터로 구성된다.

  • 의 대상
  • 모든 대상 에 대하여, 의 사상

이 데이터는 다음 가환 조건을 만족시켜야 한다.

  • 모든 대상 에 대하여,

함자 극한은 다음 보편 성질을 만족시키는 뿔 이다.

  • 모든 의 뿔 에 대하여, 다음을 만족시키는 유일한 사상 이 존재한다.
    • 모든 대상 에 대하여,

만약 극한이 존재한다면, 이는 동형 아래 유일하다. 이는 극한의 보편 성질에 의한다. 만약 작은 범주라면, 주어진 함자의 뿔과 뿔 사상(영어: cone morphism)은 범주를 이루며, 이 경우 극한은 뿔 범주의 끝 대상이다. 만약 정의에서 사상의 유일성 조건을 존재로 약화하면 약한 극한(영어: weak limit)의 개념을 얻는다.

쌍대극한

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함자 쌍대뿔(영어: cocone) 은 다음 데이터로 구성된다.

  • 의 대상
  • 모든 대상 에 대하여, 의 사상

이 데이터는 다음 가환 조건을 만족시켜야 한다.

  • 모든 대상 에 대하여,

함자 극한은 다음 보편 성질을 만족시키는 쌍대뿔 이다.

  • 모든 의 쌍대뿔 에 대하여, 다음을 만족시키는 유일한 사상 이 존재한다.
    • 모든 대상 에 대하여,

보편 성질에 따라, 쌍대극한은 만약 존재한다면 동형 아래 유일하다. 만약 작은 범주라면, 쌍대극한은 쌍대뿔과 쌍대뿔 사상(영어: cocone morphism)의 범주의 시작 대상이다. 만약 사상의 유일한 존재를 존재로 대체하면 약한 쌍대극한(영어: weak colimit)의 정의를 얻는다.

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특별한 경우에 붙은 이름은 다음과 같다.

를 지표 범주로 하는 극한 를 지표 범주로 하는 쌍대극한
공(空)범주 끝 대상 시작 대상
이산 범주 쌍대곱
상향 원순서 집합 사영 극한/역극한 귀납적 극한/직접적 극한
동등자 쌍대동등자
당김

참고 문헌

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외부 링크

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