Dominio semplice

I domini delle funzioni a più variabili possono presentare una forma di regolarità per cui è possibile delimitare la regione da intervalli e grafici di funzione. Si parla quindi di dominio semplice o normale rispetto alla variabile delimitabile da un intervallo. La normalità di un dominio è molto importante in molte definizioni di integrale multiplo e della sua risoluzione tramite le formule di riduzione. Inoltre la presenza di un dominio regolare permette ulteriori teoremi e formule d'integrazione, come le formule di Gauss-Green, il teorema della divergenza e il teorema del rotore.

In ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ esistono due casi di normalità, rispetto agli assi:

Dominio normale all'asse ${\displaystyle x}$

Dominio normale all'asse ${\displaystyle y}$

La regione è delimitata per l'asse ${\displaystyle x}$ da due valori numerici e per l'asse ${\displaystyle y}$ da due funzioni della variabile ${\displaystyle x}$ continue nell'intervallo che la delimita:

${\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ |\ a\leq x\leq b,\ f(x)\leq y\leq g(x),f,g\in C[a,b]\}.}$

La regione è delimitata per l'asse ${\displaystyle y}$ da due valori numerici e per l'asse ${\displaystyle x}$ da due funzioni della variabile ${\displaystyle y}$ continue nell'intervallo che la delimita:

${\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ |\ a\leq y\leq b,\ f(y)\leq x\leq g(y),f,g\in C[a,b]\}.}$

In ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ esistono sei tipi diversi di normalità, rispetto ai piani coordinati. Sia ${\displaystyle T\subset \mathbb {R} ^{3}}$ l'insieme considerato e ${\displaystyle D}$ la proiezione ortogonale di ${\displaystyle T}$ sul piano coordinato fissato, allora si hanno le seguenti sei possibilità:

${\displaystyle T}$ è normale al piano ${\displaystyle (x,y)}$

• con ${\displaystyle D}$ normale all'asse ${\displaystyle x;}$
• con ${\displaystyle D}$ normale all'asse ${\displaystyle y.}$

${\displaystyle T}$ è normale al piano ${\displaystyle (y,z)}$

• con ${\displaystyle D}$ normale all'asse ${\displaystyle y;}$
• con ${\displaystyle D}$ normale all'asse ${\displaystyle z.}$

${\displaystyle T}$ è normale al piano ${\displaystyle (z,x)}$

• con ${\displaystyle D}$ normale all'asse ${\displaystyle x;}$
• con ${\displaystyle D}$ normale all'asse ${\displaystyle z.}$

Nell'esempio in figura il dominio semplice è il cilindroide con "base" ${\displaystyle D}$ e compreso tra le funzioni ${\displaystyle a(x,y)}$e ${\displaystyle b(x,y)}$:

${\displaystyle T=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ |\ (x,y)\in D,\ a(x,y)\leq z\leq b(x,y)\}}$, con ${\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ |\ a\leq y\leq b,\ f(y)\leq x\leq g(y)\}.}$

In generale in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ il numero dei domini semplici è dato dalla relazione ${\displaystyle n!}$, ossia tutte le possibili combinazioni tra versori.

Un dominio normale regolare è per definizione un dominio normale la cui frontiera è unione di un numero finito di curve di classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$. Inoltre un dominio regolare ${\displaystyle N}$ è sempre descrivibile come l'unione di un numero finito di domini normali regolari ${\displaystyle N_{i}}$, a due a due privi di punti interni in comune:

${\displaystyle N=\bigcup _{i=1}^{n}N_{i}.}$

Sia ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}$ dominio regolare, convenzionalmente si dice che ${\displaystyle \partial D}$ è orientata positivamente se è rappresentata da un numero finito di curve regolari a tratti ${\displaystyle \gamma _{1},\dots ,\gamma _{k}\in {\mathcal {C}}^{1}}$ tali che i versori normali ${\displaystyle N_{1}(t),\dots ,N_{k}(t)}$ canonicamente associati puntano verso l'esterno. Pertanto la sua frontiera ammette versore tangente e versore normale in ogni suo punto, tranne, al più, un numero finito. Tale orientamento si indica con ${\displaystyle +\partial D}$.

Siano ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}$ e ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{3}}$ domini normali si ha che ${\displaystyle \forall \delta ,\varepsilon >0}$ esiste una decomposizione di ${\displaystyle D}$ e di ${\displaystyle E}$ del tipo ${\displaystyle D=\bigcup _{i=1}^{n}D_{i}}$ e ${\displaystyle E=\bigcup _{i=1}^{n}E_{i}}$ tali che:

1. ${\displaystyle D_{i}}$ ed ${\displaystyle E_{i}}$ sono domini normali;
2. ${\displaystyle D_{i}^{^{\!\!\!^{\circ }}}\cap D_{j}^{^{\!\!\!^{\circ }}}=\varnothing \quad }$ e ${\displaystyle \quad E_{i}^{^{\!\!\!^{\circ }}}\cap E_{j}^{^{\!\!\!^{\circ }}}=\varnothing ,\quad \forall i\neq j;}$
3. ${\displaystyle \operatorname {diam} (D_{i})<\delta \quad }$ e ${\displaystyle \quad \operatorname {diam} (E_{i})<\varepsilon ,\quad \forall i=1,\dots ,n,\quad }$ dove ${\displaystyle \operatorname {diam} (A):=\sup\{\|x-y\|\ |\ x,y\in A\subset \mathbb {R} ^{n}\}}$ è il diametro del dominio.

• Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Nicola Fusco Analisi Matematica Due, Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-2675-0, 1996.

• Dominio (matematica)
• Integrale multiplo

V · D · M Analisi matematica
Calcolo infinitesimale	Numero reale · Infinitesimo · O-grande · Successione (di funzioni) · Successione di Cauchy · Teorema di Bolzano-Weierstrass · Stima asintotica · Limite (di una funzione · di una successione · Forma indeterminata) · Teorema dei due carabinieri · Limite notevole · Punto di accumulazione · Punto isolato · Intorno · Serie (di funzioni) · Criteri di convergenza · Limite di funzioni a più variabili
Studio della continuità	Funzione continua · Punto di discontinuità · Continuità uniforme · Funzione lipschitziana · Teorema di Bolzano · Teorema di Weierstrass · Teorema dei valori intermedi · Teorema di Heine-Cantor · Modulo di continuità · Funzione semicontinua · Continuità separata · Teorema di approssimazione di Weierstrass
Calcolo differenziale	Derivata · Differenziale · Regole di derivazione · Teorema di Fermat · Teorema di Rolle · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teorema di Darboux · Teorema di Taylor · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiana · Hessiana · Forma differenziale · Generalizzazioni della derivata · Derivata parziale · Derivata mista
Integrale	Primitiva · Integrale di Riemann · Integrale improprio · Integrale di Lebesgue · Teorema fondamentale · Metodi di integrazione · Tavole · Integrale multiplo, di linea (1ª specie · 2ª specie) e di superficie (di volume)
Studio di funzione	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
Disuguaglianze	Disuguaglianza triangolare · Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Altro	Approssimazione di Stirling · Prodotto di Wallis · Funzione Gamma · Teorema delle funzioni implicite · Teorema della funzione inversa · Funzione hölderiana · Spazio metrico · Spazio normato · Intervallo · Insieme trascurabile · Insieme chiuso · Insieme aperto · Palla · Omeomorfismo · Omeomorfismo locale · Diffeomorfismo · Diffeomorfismo locale · Classe C di una funzione · Equazione differenziale · Problema di Cauchy

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