Funzione differenziabile

In matematica, in particolare in analisi matematica e geometria differenziale, una funzione differenziabile in un punto è una funzione che può essere approssimata a meno di un resto infinitesimo da una trasformazione lineare in un intorno abbastanza piccolo di quel punto.

Affinché ciò si verifichi è necessario (ma non sufficiente) che tutte le derivate parziali calcolate nel punto esistano, cioè se è differenziabile, allora è derivabile nel punto poiché esistono e sono finiti i limiti dei rapporti incrementali direzionali. Il concetto di differenziabilità permette di generalizzare il concetto di funzione derivabile a funzioni vettoriali di variabile vettoriale, e la differenziabilità di una funzione permette di individuare per ogni punto del suo grafico un iperpiano tangente.

Una funzione può essere differenziabile ${\displaystyle k}$ volte, e si parla in questo caso di funzione di classe ${\displaystyle C^{k}}$. Una funzione differenziabile infinite volte è inoltre detta liscia. Nell'analisi funzionale le distinzioni fra le varie classi ${\displaystyle C^{k}}$ sono molto importanti, mentre in altri settori della matematica queste differenze sono meno tenute in considerazione, e spesso si usa impropriamente il termine "funzione differenziabile" per definire una funzione liscia.

Una funzione:

${\displaystyle \mathbf {F} \colon U\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$

definita su un insieme aperto dello spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ è detta differenziabile in un punto ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ del dominio se esiste una applicazione lineare:

${\displaystyle \mathbf {L} (\mathbf {x} _{0})\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$

tale che valga l'approssimazione:^[1]

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-\mathbf {F} (\mathbf {x} _{0})=\mathbf {L} (\mathbf {x} _{0})\mathbf {h} +\mathbf {r} (\mathbf {h} ),}$

dove ${\displaystyle \mathbf {r} (\mathbf {h} )}$ si annulla, con ordine di infinitesimo maggiore di 1, all'annullarsi dell'incremento ${\displaystyle \mathbf {h} }$. Tale condizione si può scrivere in modo equivalente:

${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-\mathbf {F} (\mathbf {x} _{0})-\mathbf {L} (\mathbf {x} _{0})\mathbf {h} }{\begin{Vmatrix}\mathbf {h} \end{Vmatrix}}}=\mathbf {0} .}$

Se la funzione ${\displaystyle \mathbf {F} }$ è differenziabile in ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$, l'applicazione ${\displaystyle \mathbf {L} }$ è rappresentata dalla matrice jacobiana ${\displaystyle J_{F}}$.

Il vettore:

${\displaystyle \mathbf {L} (\mathbf {x} _{0})\mathbf {h} =\mathrm {d} \mathbf {F} (\mathbf {x} _{0})=J_{F}\mathbf {h} }$

si chiama differenziale (esatto) di ${\displaystyle \mathbf {F} }$ in ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ ed ${\displaystyle \mathbf {L} (\mathbf {x_{0}} )}$ viene detto derivata o anche derivata totale della funzione ${\displaystyle \mathbf {F} }$.

La funzione ${\displaystyle \mathbf {F} }$ è infine differenziabile se lo è in ogni punto del dominio.^[2] In particolare, il teorema del differenziale totale afferma che una funzione è differenziabile in un punto se tutte le derivate parziali esistono in un intorno del punto per ogni componente della funzione e se sono inoltre funzioni continue. Se inoltre l'applicazione che associa ${\displaystyle \mathbf {x} }$ a ${\displaystyle \mathbf {L} (\mathbf {x} )}$ è continua, la funzione si dice differenziabile con continuità.^[3]

Nel caso di una funzione ${\displaystyle f}$ di una variabile definita su un intervallo aperto dell'asse reale, essa è detta differenziabile in ${\displaystyle {x}_{0}}$ se esiste un'applicazione lineare ${\displaystyle {L}({x}_{0}):\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ tale che:^[4]

${\displaystyle \lim _{{h}\to {0}}{\frac {{f}({x}_{0}+{h})-{f}({x}_{0})-{L}({x}_{0}){h}}{h}}={0}}$

ed in tal caso si ha:

${\displaystyle L(x)=f'(x).}$

Se una funzione è differenziabile in un punto allora tutte le derivate parziali calcolate nel punto esistono, ma non vale il viceversa. Tuttavia, se tutte le derivate parziali esistono e sono continue in un intorno del punto allora la funzione è differenziabile nel punto, ovvero è di classe ${\displaystyle C^{1}}$.

Dette ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{j}\}_{1\leq j\leq n}}$ e ${\displaystyle \{\mathbf {u} _{i}\}_{1\leq i\leq m}}$ le basi canoniche di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ e ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ rispettivamente, si ha:

${\displaystyle \mathbf {L} (\mathbf {x} )\cdot \mathbf {e} _{j}=\sum _{i=1}^{m}{\frac {\partial F_{i}(\mathbf {x} )}{\partial x_{j}}}\cdot \mathbf {u} _{i}.}$

L'applicazione lineare ${\displaystyle \mathbf {L} (\mathbf {x} _{0})}$ è quindi rappresentata nelle basi canoniche da una matrice ${\displaystyle m\times n}$, detta matrice jacobiana ${\displaystyle J_{F}}$ di ${\displaystyle F}$ in ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$.

Il ${\displaystyle j}$-esimo vettore colonna della matrice jacobiana è dato dalla precedente relazione, e si ha:^[5]

${\displaystyle \mathbf {L} (\mathbf {x} )\mathbf {h} =\sum _{i=1}^{m}\left[\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial F_{i}(\mathbf {x} )}{\partial x_{j}}}h_{j}\right]\mathbf {u} _{i}=J_{F}\mathbf {h} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial F_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial F_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial F_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial F_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}\mathbf {h} .}$

A seconda delle dimensioni ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle n}$, il jacobiano ha diverse interpretazioni geometriche:

• Se ${\displaystyle m=1}$, la matrice jacobiana si riduce ad un vettore ${\displaystyle n}$-dimensionale, chiamato gradiente di ${\displaystyle F}$ in ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$. In tal caso si ha:

${\displaystyle L(\mathbf {x} )=\nabla F(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F(\mathbf {x} )}{\partial x_{j}}}\mathbf {e} _{i}\qquad \lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {{F}(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-{F}(\mathbf {x} _{0})-\nabla F(\mathbf {x} _{0})\cdot \mathbf {h} }{\begin{Vmatrix}\mathbf {h} \end{Vmatrix}}}={0}.}$

Il gradiente indica la direzione di "massima pendenza" del grafico della funzione nel punto.

• Se ${\displaystyle n=1}$, la funzione ${\displaystyle F}$ parametrizza una curva in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$, il suo differenziale è una funzione che definisce la direzione della retta tangente alla curva nel punto.

• Se ${\displaystyle m=n=1}$, la condizione di differenziabilità coincide con la condizione di derivabilità. La matrice jacobiana si riduce ad un numero, pari alla derivata.

Sia ${\displaystyle U}$ un sottoinsieme aperto del piano complesso ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Una funzione ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$ è differenziabile in senso complesso (${\displaystyle \mathbb {C} }$-differenziabile) in un punto ${\displaystyle z_{0}}$ di ${\displaystyle U}$ se esiste il limite:

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}.}$

Il limite va inteso in relazione alla topologia del piano. In altre parole, per ogni successione di numeri complessi che convergono a ${\displaystyle z_{0}}$ il rapporto incrementale deve tendere allo stesso numero, indicato con ${\displaystyle f'(z_{0})}$. Se ${\displaystyle f}$ è differenziabile in senso complesso in ogni punto ${\displaystyle z_{0}}$ di ${\displaystyle U}$, essa è una funzione olomorfa su ${\displaystyle U}$. Si dice inoltre che ${\displaystyle f}$ è olomorfa nel punto ${\displaystyle z_{0}}$ se è olomorfa in qualche intorno del punto, e che ${\displaystyle f}$ è olomorfa in un insieme non aperto ${\displaystyle A}$ se è olomorfa in un aperto contenente ${\displaystyle A}$.

La relazione tra la differenziabilità di funzioni reali e funzioni complesse è data dal fatto che se una funzione complessa ${\displaystyle f(z)\equiv f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)}$ è olomorfa allora ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$ possiedono derivata parziale prima rispetto a ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.}$

In modo equivalente, la derivata di Wirtinger ${\displaystyle \partial f/\partial {\overline {z}}}$ di ${\displaystyle f}$ rispetto al complesso coniugato ${\displaystyle {\overline {z}}}$ di ${\displaystyle z}$ è nulla.

• Una funzione differenziabile in un punto ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ è continua in ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$. Infatti:

${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }F(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-F(\mathbf {x} _{0})=\lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\begin{Vmatrix}\mathbf {h} \end{Vmatrix}}{\frac {F(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-F(\mathbf {x} _{0})-A\mathbf {h} }{\begin{Vmatrix}\mathbf {h} \end{Vmatrix}}}+{A\mathbf {h} }=\mathbf {0} }$

per la definizione data di funzione differenziabile e per la continuità delle funzioni lineari.

• Se ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ è una funzione differenziabile in ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$, allora essa ammette tutte le derivate parziali in ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$. Viceversa non è sempre vero che l'esistenza delle derivate parziali in un punto garantisca anche la differenziabilità nel punto. Ad esempio, la funzione reale di due variabili reali:

${\displaystyle F(x,y)=\left\{{\begin{matrix}0&(x,y)=(0,0)\\{\frac {xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}}&(x,y)\neq (0,0)\end{matrix}}\right.}$

ammette derivate parziali ovunque, ma il fatto che in ${\displaystyle (0,0)}$ la funzione non sia continua impedisce la sua differenziabilità in ${\displaystyle (0,0)}$. Tuttavia, se ${\displaystyle F}$ è di classe ${\displaystyle C^{1}}$ in un intorno di ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$, cioè se esistono tutte le derivate parziali di ${\displaystyle F}$ e queste sono funzioni continue, allora ${\displaystyle F}$ è differenziabile in ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$. Vale quindi, se ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ è aperto, che ${\displaystyle F\in C^{1}(\Omega )}$ implica la differenziabilità in ${\displaystyle \Omega }$ che implica a sua volta che ${\displaystyle F\in C^{0}(\Omega )}$.

Da un punto di vista informale, una funzione differenziabile è una funzione tale da apparire sempre più simile ad una trasformazione affine quando viene vista ad ingrandimenti sempre maggiori. La trasformazione affine che approssima ${\displaystyle F}$ in un intorno di ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ è la funzione:

${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto F(\mathbf {x} _{0})+\mathrm {D} F(\mathbf {x} _{0})(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}).}$

Per verificarlo, si consideri un intorno di ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ di raggio ${\displaystyle \delta }$.

Se si effettua uno zoom sul grafico di ${\displaystyle F}$ in modo che l'intorno ci appaia di raggio ${\displaystyle 1}$, la distanza che si vede tra la funzione ${\displaystyle F}$ e la funzione affine che la approssima in corrispondenza del punto ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} }$ è uguale a:

${\displaystyle {\frac {F(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-F(\mathbf {x} _{0})-\mathrm {D} F(\mathbf {x} _{0})\mathbf {h} }{\delta }},}$

dove la divisione per ${\displaystyle \delta }$ corrisponde al riscalamento dovuto allo "zoom" che si sta operando sull'intorno. Quindi la massima distanza che si vede nell'intorno riscalato è:

${\displaystyle \sup _{\left\|\mathbf {h} \right\|\leq \delta }{\frac {F(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-F(\mathbf {x} _{0})-\mathrm {D} F(\mathbf {x} _{0})\mathbf {h} }{\delta }},}$

ora si può dimostrare che dalla definizione di differenziabilità di ${\displaystyle F}$ si deduce che:

${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\sup _{\left\|\mathbf {h} \right\|\leq \delta }{\frac {F(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-F(\mathbf {x} _{0})-DF(\mathbf {x} _{0})\mathbf {h} }{\delta }}=0,}$

il che significa che quello che si osserva ingrandendo progressivamente il grafico di ${\displaystyle F}$ e della sua approssimazione affine intorno a ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ è che questi tendono a coincidere. Viceversa, la relazione implica direttamente la differenziabilità di ${\displaystyle F}$.

• Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Elementi di Analisi Matematica Due, Napoli, Liguori Editore, 2001, ISBN 9788820731373. (capitolo 2, paragrafo 13)
• Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Lezioni di Analisi Matematica Due, Bologna, Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203. (capitolo 3, paragrafo 29)
• Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.

• Derivata
• Derivata direzionale
• Derivata parziale
• Differenziale (matematica)
• Funzione continua
• Gradiente
• Matrice jacobiana
• Modulo di continuità

• Wikibooks contiene testi o manuali sulla funzione differenziabile

• funzione derivabile, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Funzione differenziabile, su MathWorld, Wolfram Research.

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