Geometria differenziale delle curve

In matematica, la geometria differenziale delle curve usa l'analisi matematica per studiare le curve nel piano, nello spazio e più generalmente in uno spazio euclideo.

Una curva è una funzione continua ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} ^{m}}$, dove ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ è un intervallo dei numeri reali. Se ${\displaystyle I=[a,b]}$, con ${\displaystyle a<b}$, ${\displaystyle f(a)}$ si dice punto iniziale e ${\displaystyle f(b)}$ punto finale, mentre la variabile in questo intervallo in genere si denota con la lettera ${\displaystyle t}$ e per la funzione si usa la notazione ${\displaystyle f(t)}$. Per sostegno di ${\displaystyle f}$ si intende l'immagine di tale funzione ${\displaystyle \operatorname {Im} f}$.

Si supponga che ${\displaystyle f}$ sia una funzione differenziabile sufficientemente regolare, ovvero una funzione che abbia derivate continue di un ordine sufficientemente alto; inoltre si chiede che la sua derivata prima ${\displaystyle f'(t)}$ sia un vettore mai nullo su tutto l'intervallo ${\displaystyle I}$.

Una riparametrizzazione di ${\displaystyle f}$ è un'altra curva ${\displaystyle g}$ tale che:

${\displaystyle g=f\circ p}$

dove ${\displaystyle p\colon J\to I}$ è una biiezione differenziabile con derivata sempre positiva (e quindi crescente) e ${\displaystyle J}$ è un intervallo dei reali che potrebbe coincidere con ${\displaystyle I}$. In questo caso le curve ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$, benché descritte con parametrizzazioni diverse, sono intese come equivalenti.

La lunghezza di una curva ${\displaystyle f}$ definita su un intervallo chiuso ${\displaystyle I=[a,b]}$ è fornita da:

${\displaystyle L(f)=\int _{a}^{b}\vert f'(t)\vert dt}$

La lunghezza di una curva non cambia se essa viene riparametrizzata. Inoltre è possibile definire l'ascissa curvilinea come:

${\displaystyle L(t)=\int _{a}^{t}\vert f'(t)\vert dt}$

Si consideri che l'intervallo di definizione della curva sia della forma ${\displaystyle [0,T]}$ e che un corpo puntiforme ${\displaystyle P}$ percorra la curva mentre la variabile tempo ${\displaystyle t}$ varia nell'intervallo temporale da 0 a ${\displaystyle T}$; si ha quindi un modello cinematico della curva. La lunghezza della curva percorsa dal corpuscolo dall'istante 0 all'istante ${\displaystyle t}$ è:

${\displaystyle s(t)=\int _{0}^{t}\vert f'(u)\vert du}$

La funzione sempre crescente ${\displaystyle s(t)}$ stabilisce una biiezione tra gli intervalli ${\displaystyle [0,T]}$ e ${\displaystyle [0,L]}$ e porta a una riparametrizzazione della curva. Scrivendo:

${\displaystyle f(t)~=~f_{0}(s(t))}$

si ottiene la cosiddetta parametrizzazione secondo la lunghezza d'arco ${\displaystyle f_{0}}$ della curva. Questa parametrizzazione, in termini cinematici, si legge come il moto di un corpo puntiforme che percorre la curva con velocità costante uguale a ${\displaystyle 1}$:

${\displaystyle \vert f_{0}'(s(t))\vert =1\qquad (\forall t\in I)}$

Questa parametrizzazione della curva è l'unica che presenta la velocità costantemente uguale a ${\displaystyle 1}$. Benché sia spesso difficile da calcolare, essa è utile per dimostrare agevolmente alcuni teoremi.

Un sistema di Frenet è un sistema di riferimento mobile di ${\displaystyle n}$ vettori ortonormali ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} _{n}(t)\,\!}$ dipendenti da ${\displaystyle t}$, utili per descrivere il comportamento locale della curva in ${\displaystyle f(t)}$.

Si supponga che le derivate ${\displaystyle f'(t),\ldots ,f^{(n)}(t)\,\!}$ formino una base, e quindi siano linearmente indipendenti. In questo caso, il sistema di Frenet è definito a partire da questa base tramite il procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.

Le curvature generalizzate sono definite come:

${\displaystyle \chi _{i}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t)\rangle }{|f'(t)|}}.}$

Il sistema di Frenet e le curvature generalizzate non dipendono dalla parametrizzazione scelta.

Nel piano, il primo vettore di Frenet ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t)}$ è il versore tangente ${\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}}$ alla curva al valore ${\displaystyle t}$ del parametro, mentre il vettore ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}(t)}$, detto versore normale ${\displaystyle {\hat {\mathbf {N} }}}$ è il vettore normale a ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t)}$ e punta verso il centro della circonferenza (ha la stessa direzione del raggio).

Il cerchio osculatore è il cerchio tangente a ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t)}$ e di raggio ${\displaystyle r}$. Il cerchio osculatore approssima la curva intorno al valore ${\displaystyle t}$ del parametro "fino al secondo ordine": ha cioè le stesse derivate prima e seconda di ${\displaystyle f}$ nel punto. La curvatura:

${\displaystyle k(t)=\chi _{1}(t)}$

indica lo spostamento della curva dalla linea retta tangente. Il reciproco, corrispondente al raggio del cerchio osculatore in ${\displaystyle t}$, è chiamato raggio di curvatura:

${\displaystyle r(t)={\frac {1}{k(t)}}}$

Ad esempio, una circonferenza di raggio ${\displaystyle r}$ ha curvatura costante ${\displaystyle k=1/r}$, mentre una linea retta ha curvatura nulla.

Nello spazio tridimensionale, i vettori di Frenet prendono il nome di terna intrinseca, mentre le curvature generalizzate sono dette curvatura e torsione.

Il versore tangente ${\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}}$ è il primo vettore di Frenet ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$, che è definito come:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}=\mathbf {e} _{1}(t)={\frac {f'(t)}{|f'(t)|}}}$

Pertanto sarà possibile riscrivere la derivata in funzione della lunghezza d'arco:

${\displaystyle f'(t)=(L)'{\hat {\mathbf {T} }}}$

Se ${\displaystyle f}$ è parametrizzato secondo la lunghezza d'arco, questa assume valore unitario, perciò la relazione si riduce semplicemente a

${\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}=f'(t)}$

Dalle relazioni precedenti si ricava un'ulteriore relazione tra il rapporto tra la lunghezza d'arco e il versore tangente, infatti:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f'}{\mathrm {d} L}}={\hat {\mathbf {T} }}}$

Il versore normale ${\displaystyle {\hat {\mathbf {N} }}}$ è il secondo vettore di Frenet che misura quanto la curva differisce da una linea retta; è definito come:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {N} }}=\mathbf {e} _{2}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} }}_{2}(t)}{|{\overline {\mathbf {e} }}_{2}(t)|}},\quad {\overline {\mathbf {e} }}_{2}(t)=f''(t)-\langle f''(t),\mathbf {e} _{1}(t)\rangle \ \mathbf {e} _{1}(t)}$

Esiste una relazione che lega il versore normale alla lunghezza d'arco:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\hat {\mathbf {T} }}}{\mathrm {d} L}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}f'}{\mathrm {d} L^{2}}}=k(t){\hat {\mathbf {N} }}}$

I versori tangente e normale generano un piano, chiamato piano osculatore della curva al punto ${\displaystyle t}$.

Il versore binormale ${\displaystyle {\hat {\mathbf {B} }}}$ è il terzo vettore di Frenet ${\displaystyle \mathbf {e} _{3}(t)}$, che è ortogonale al piano osculatore, definito con il prodotto vettoriale semplicemente come:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {B} }}=\mathbf {e} _{3}(t)=\mathbf {e} _{1}(t)\times \mathbf {e} _{2}(t)}$

La prima curvatura generalizzata ${\displaystyle \chi _{1}(t)}$ è chiamata semplicemente curvatura di ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle t}$, ed è data da

${\displaystyle k(t)=\chi _{1}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} _{1}'(t),\mathbf {e} _{2}(t)\rangle }{|f^{'}(t)|}}}$

La seconda curvatura generalizzata ${\displaystyle \chi _{2}(t)}$ è chiamata torsione e misura quanto la curva esce dal piano osculatore.

${\displaystyle \tau (t)=\chi _{2}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} _{2}'(t),\mathbf {e} _{3}(t)\rangle }{|f'(t)|}}}$

Il reciproco della curvatura nel punto ${\displaystyle t}$ è il raggio di curvatura ${\displaystyle \rho (t)=\left[k(t)\right]^{-1}}$; inoltre una curva ha torsione nulla se e solo se è una curva piana.

Le formule di Frenet-Serret sono delle equazioni differenziali ordinarie del I ordine, la cui soluzione è il sistema di Frenet che descrive la curva. I coefficienti dell'equazione differenziale sono dati dalle curvature generalizzate ${\displaystyle \chi _{i}}$.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&k(t)\\-k(t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\mathbf {e} _{3}'(t)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&k(t)&0\\-k(t)&0&\tau (t)\\0&-\tau (t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\mathbf {e} _{3}(t)\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\\\vdots \\\\\mathbf {e} _{n}'(t)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(t)&\dots &0\\-\chi _{1}(t)&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &0&\chi _{n-1}(t)\\0&\dots &-\chi _{n-1}(t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\\\vdots \\\\\mathbf {e} _{n}(t)\\\end{bmatrix}}}$

Le curvature determinano la curva. Formalmente, date ${\displaystyle n}$ funzioni:

${\displaystyle \chi _{i}\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n},\ i=1,\ldots ,n}$

sufficientemente differenziabili, con:

${\displaystyle \chi _{i}(t)>0{\mbox{, }}1\leq i\leq n-1}$

esiste un'unica curva ${\displaystyle f}$ avente quelle curvature, a meno di traslazioni e altre isometrie dello spazio euclideo.

In geometria differenziale delle curve, la velocità angolare e la velocità areolare sono la velocità con cui il raggio vettore di un punto che si muove lungo una curva spazza, rispettivamente, un angolo e una superficie. I due vettori risultano paralleli e hanno lo stesso verso del vettore binormale.

• (EN) Erwin Kreyszig, Differential Geometry, Dover Publications, New York, 1991, ISBN 0-486-66721-9. Chapter II is a classical treatment of Theory of Curves in 3-dimensions.
• E. Cesàro Lezioni di geometria intrinseca (1896)

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