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== Dimensione tre ==
[[Immagine:Hyperbolic orthogonal dodecahedral honeycomb.png|thumb| Uno spazio tridimensionale con [[geometria iperbolica]] visto dall'interno.]]
Una [[3-varietà]] è intuitivamente un "universo possibile". A differenza di quanto avviene nelle dimensioni 1 e 2, non esiste ancora nessuna classificazione soddisfacente delle varietà di dimensione 3. Le varietà tridimensionali sono costruite con varie tecniche, ad esempio tramite [[triangolazione|triangolazioni]]. 

Il quadro generale è fornito dalla [[congettura di geometrizzazione]], enunciata da [[William Thurston]] alla fine degli [[anni 1970|anni settanta]], e dimostrata da [[Grigori Perelman]] nel [[2003]]. Questa congettura contiene la [[congettura di Poincaré]] come caso particolare. Secondo questa congettura, ogni 3-varietà si decompone in "pezzi geometrici", separati da alcune "pareti": ciascuna parete è una sfera o un [[toro (geometria)|toro]] (entrambi oggetti bidimensionali). Ciascuno di questi "pezzi geometrici" ha una [[spazio metrico|metrica]], che non è a [[curvatura]] costante ma quasi: è una delle 8 possibili metriche derivate da [[spazio omogeneo|spazi omogenei]] tridimensionali. Come per le superfici, la metrica più interessante, di gran lunga quella maggiormente oggetto di studio, è l'[[geometria iperbolica|iperbolica]].

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