Lihat sumber Lingkaran dalam dan lingkaran singgung luar segitiga

← Lingkaran dalam dan lingkaran singgung luar segitiga
Anda tidak memiliki hak akses untuk menyunting halaman ini, karena alasan berikut:
Your IP address is in a range that has been blocked on all Wikimedia Foundation wikis.
The block was made by ‪EPIC‬. The reason given is Open proxy/Webhost: See the help page if you are affected.
Start of block: 2 Juli 2024 08.48
Expiry of block: 2 Juli 2025 08.48
Your current IP address is 206.189.44.186. The blocked range is 206.189.32.0/20.
Harap sertakan semua perincian di atas dalam setiap pertanyaan yang Anda ajukan. If you believe you were blocked by mistake, you can find additional information and instructions in the No open proxies global policy.
Otherwise, to discuss the block please post a request for review on Meta-Wiki. You could also send an email to the stewards VRT queue at stewards@wikimedia.org including all above details.
Anda dapat melihat atau menyalin sumber halaman ini.
[[Berkas:Incircle and Excircles.svg|jmpl|Sebuah segitiga berwarna {{Colorbox|black}} dengan lingkaran dalam {{Colorbox|#a5c2da}}, [[pusat lingkaran dalam]] (<math>I</math>), lingkaran singgung luar {{Colorbox|orange}}, pusat lingkaran singgung luar (<math>J_A</math>, <math>J_B</math>, dan <math>J_C</math>), [[garis pembagi sudut]] dalam berwarna {{Colorbox|red}} dan garis pembagi sudut berwarna {{Colorbox|#32cd32}}. Segitiga berwarna hijau {{Colorbox|#32cd32}} merupakan segitiga pusat singgung luar.]]
{{Periksa terjemahan|en|Incircle and excircles of a triangle}}

Dalam [[geometri]], '''lingkaran dalam''' segitiga merupakan lingkaran terbesar yang terisi di dalam segitiga; ini bersinggung (merupakan [[garis singgung]] dengan) tiga sisi. Pusat dari lingkaran adalah [[pusat segitiga]] disebut [[pusat lingkaran dalam]] segitiga.<ref>{{harvtxt|Kay|1969|p=140}}</ref>

Sebuah '''pusat lingkaran singgung luar<ref>{{harvtxt|Altshiller-Court|1925|p=74}}</ref>''' dari segitiga merupakan sebuah lingkaran yang terletak di luar segitiga, singgung dengan satu sisinya singgung dengan [[Sisi diperluas|perluasan dari dua lainnya]]. Setiap segitiga memiliki tiga pusat lingkaran singgung luar yang berbeda, setiap garis singgung dengan salah satu dari sisi-sisi segitiga.<ref name="Altshiller-Court 1925 73">{{harvtxt|Altshiller-Court|1925|p=73}}</ref>

Pusat dari lingkaran dalam, disebut '''pusat lingkaran dalam''', dapat ditemukan sebagai perpotongan dari tiga [[garis bagi]] [[Sudut dalam dan luar|dalam]].<ref name="Altshiller-Court 1925 732">{{harvtxt|Altshiller-Court|1925|p=73}}</ref><ref>{{harvtxt|Kay|1969|p=117}}</ref> Pusat lingkaran singgung luar merupakan perpotongan dari garis bagi dalam dari satu sudut (di verteks <math>A</math>, sebagai contohnya) dan garis bagi [[Sudut dalam dan luar|luar]] dari dua lainnya. Pusat dari lingkaran singgung luar ini disebut '''pusat lingkaran singgung luar''' relatif terhadap verteks <math>A</math>, atau '''pusat lingkaran singgung luar''' <math>A</math>.<ref name="Altshiller-Court 1925 733">{{harvtxt|Altshiller-Court|1925|p=73}}</ref> Karena garis bagi dalam dari sebuah sudut tegak lurus dengan garis bagi luarnya, ini mengikuti bahwa pusat dari lingkaran dalam bersama-sama dengan tiga pusat lingkaran singgung luarnya membentuk sebuah [[sistem ortosentrik]].<ref name="Johnson">Johnson, Roger A., ''Advanced Euclidean Geometry'', Dover, 2007 (orig. 1929).</ref>{{rp|p. 182}}

Semua [[poligon beraturan]] memiliki garis singgung lingkaran dalam untuk semua sisi, tetapi tidak semua poligon; yang ada [[poligon singgung]].

Lihat pula: [[Garis singgung dengan lingkaran]]

== Lingkaran dalam dan pusat lingkaran dalam ==
Andaikan <math>\triangle ABC</math> memiliki sebuah lingkaran dalam dengan jari-jari <math>r</math> dan pusat <math>I </math>. Misalkan <math>a</math> menjadi panjangnya <math>BC</math>, <math>b</math> adalah panjang <math>AC</math>, dan <math>c</math> panjangnya <math>AB</math>. Juga misalkan <math>T_A</math>, <math>T_B</math>, dan <math>T_C</math> menjadi titik singgung dimana lingkaran dalam menyinggung <math>BC</math>, <math>AC</math>, dan <math>AB</math>.

=== Pusat lingkaran dalam ===
{{See also|Pusat lingkaran dalam}}
Pusat lingkaran dalam merupakan titik dimana [[garis bagi]] dalam <math>\angle ABC, \angle BCA, \text{ dan } \angle BAC</math> bertemu.

Jarak dari verteks <math>A </math> ke pusat lingkaran dalam <math>I  </math> adalah{{Citation needed|date=May 2020}}

<math display="block">d(A, I) 
  = c \frac{\sin\left(\frac{B}{2}\right)}{\cos\left(\frac{C}{2}\right)}
  = b \frac{\sin\left(\frac{C}{2}\right)}{\cos\left(\frac{B}{2}\right)}</math>

==== Koordinat trilinear ====
[[Korodinat trilinear]] untuk sebuah titik dalam segitiga merupakan nisbah dari semua jarak ke sisi-sisi segitiga. Karena pusat lingkaran dalam adalah jarak yang sama dari semua sisi-sisi dari segitiga, koordinat trilinear untuk pusat lingkaran dalam adalah<ref name="etc">[http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html Encyclopedia of Triangle Centers] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120419171900/http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html|date=2012-04-19}}, accessed 2014-10-28.</ref>

<math display="block">1 : 1 : 1</math>

==== Koordinat barisentrik ====
[[Koordinat barisentrik]] untuk sebuah titik dalam sebuah segitiga memberikan bobot sehingga titiknya adalah rerata berbobot dari posisi verteks segitiga. Koordinat barisentrik untuk pusat lingkaran dalam diberikan oleh{{Citation needed|date=May 2020}}

<math display="block">a : b : c</math>

dimana <math>a </math>, <math>b </math>, dan <math>c </math> adalah panjang sisi-sisi dari segitiga, atau dengan setara (menggunakan [[hukum sinus]]) oleh

<math display="block">\sin(A) : \sin(B) : \sin(C)</math>

dimana <math>A </math>, <math>B</math>, dan <math>C</math> adalah sudut-sudut pada tiga verteksnya.

==== Koordinat Cartesius ====
[[Koordinat Kartesius|Koordinat Cartesius]] dari pusat lingkaran dalam adalah sebuah rerata berbobot dari koordinat dari tiga verteks menggunakan panjang sisi dari segitiga relatif terhadap keliling (yaitu, menggunakan koordinat barisentrik yang diberikan di atas, ternormalkan untuk menjumlahkan kesatuannya) sebagai bobot. Bobotnya positif sehingga pusat lingkaran dalam terletak di dalam segitiga ketika dinyatakan di atas. Jika ketiga verteksnya terletak di <math>(x_a,y_a)</math>, <math>(x_b,y_b)</math>, dan <math>(x_c,y_c)</math>, dan sisi-sisinya berlawanan dengan verteks-verteks ini memiliki padanan panjang <math>a </math>, <math>b </math>, dan <math>c </math>, maka pusat lingkaran dalamnya di{{Citation needed|date=May 2020}}

<math display="block">\left(\frac{a x_a + b x_b + c x_c}{a + b + c}, \frac{a y_a + b y_b + c y_c}{a + b + c}\right)
  = \frac{a\left(x_a, y_a\right) + b\left(x_b, y_b\right) + c\left(x_c, y_c\right)}{a + b + c}</math>

==== Jari-jari ====
Jari-jari lingkaran dalam <math>r </math> dalam sebuah segitiga dengan sisi-sisi panjang <math>a </math>, <math>b </math>, <math>c </math> diberikan oleh<ref>{{harvtxt|Kay|1969|p=201}}</ref>

<math display="block">r = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}</math>

..., dimana <math display="block">s = \frac{a+b+c}{2} </math>Lihat [[Teorema Heron|rumus Heron]]

==== Jarak ke verteks ====
Melambangkan pusat lingkaran dalam <math>\triangle ABC </math> sebagai <math>I  </math>, jarak dari pusat lingkaran dalam ke verteks digabungkan dengan panjang dari sisi-sisi segitiga mematuhi persamaannya<ref>{{citation|last1=Allaire|first1=Patricia R.|last2=Zhou|first2=Junmin|last3=Yao|first3=Haishen|date=March 2012|journal=[[Mathematical Gazette]]|pages=161–165|title=Proving a nineteenth century ellipse identity|volume=96}}.</ref>

<math display="block">\frac{IA \cdot IA}{CA \cdot AB} + \frac{IB \cdot IB}{AB \cdot BC} + \frac{IC \cdot IC}{BC \cdot CA} = 1</math>

Sebagai tambahan,<ref>{{citation|last=Altshiller-Court|first=Nathan|author-link=Nathan Altshiller Court|title=College Geometry|publisher=Dover Publications|year=1980}}. #84, p.&nbsp;121.</ref>

<math display="block">IA \cdot IB \cdot IC = 4Rr^2</math>

dimana <math>R</math> dan <math>r </math> masing-masing adalah [[radius lingkaran luar]] dan [[Lingkaran dalam dan lingkaran singgung luar segitiga#Hubungan dengan luas dari segitiga|jari-jari lingkaran dalam]] segitiga.

==== Sifat-sifat lainnya ====
Kumpulan pusat-pusat segitiga dapat diberikan struktur grup di bawah perkalian secara koordinat mengenai koordinat trilinear, dalam grup ini, pusat lingkaran dalam membentuk [[elemen identitas]].<ref name="etc2">[http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html Encyclopedia of Triangle Centers] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120419171900/http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html|date=2012-04-19}}, accessed 2014-10-28.</ref>

=== Lingkaran dalam dan sifat-sifat radiusnya ===

==== Jarak antara verteks dan titik singgung paling terdekat ====
Jarak dari sebuah verteks ke dua titik singgung paling terdekat adalah sama; misalnya:<ref name=":0">''Mathematical Gazette'', July 2003, 323-324.</ref>

<math display="block">d\left(A, T_B\right) = d\left(A, T_C\right) = \frac{1}{2}(b + c - a)</math>

==== Sifat-sifat lainnya ====
Andaikan titik-titik singgung dari lingkaran dalam membagi sisi-sisi menjadi panjang <math>x</math> dan <math>y</math>, <math>y</math> dan <math>z</math>, serta <math>z</math> dan <math>x</math>. Maka lingkaran dalam memiliki jari-jari<ref>Chu, Thomas, ''The Pentagon'', Spring 2005, p. 45, problem 584.</ref>

<math display="block">r = \sqrt{\frac{xyz}{x + y + z}}</math>

dan luas dari segitiganya adalah

<math display="block">\Delta = \sqrt{xyz(x + y + z)}</math>

Jika [[Tinggi (segitiga)|tingginya]] dari sisi-sisi panjang <math>a </math>, <math>b </math>, dan <math>c </math> adalah <math>h_a</math>, <math>h_b</math>, dan <math>h_c</math>, maka jari-jari lingkaran dalam <math>r </math> adalah sepertiga dari [[purata harmonik]] tinggi ini; yaitu,<ref>{{harvtxt|Kay|1969|p=203}}</ref>

<math display="block"> r = \frac{1}{\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}}</math>

Darab dari jari-jari lingkaran dalam <math>r </math> dan jari-jari [[lingkaran luar]] <math>R</math> dari sebuah segitiga dengan sisi-sisi <math>a </math>, <math>b </math>, dan <math>c </math> adalah<ref name="Johnson2">Johnson, Roger A., ''Advanced Euclidean Geometry'', Dover, 2007 (orig. 1929).</ref>{{rp|189,#298(d)}}

<math display="block">rR = \frac{abc}{2(a + b + c)}</math>

Beberapa hubungan di sekitar sisi-sisi, jari-jari lingkaran dalam, dan jari-jari lingkaran luar adalah:<ref name="Bell">[http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200639.pdf Bell, Amy, "Hansen’s right triangle theorem, its converse and a generalization", ''Forum Geometricorum'' 6, 2006, 335–342.]</ref>

<math display="block">\begin{align}
     ab + bc + ca &=  s^2 +  (4R + r)r \\
  a^2 + b^2 + c^2 &= 2s^2 - 2(4R + r)r
\end{align}</math>

Setiap garis melalui sebuah segitiga yang kedua luas segitiga dan kelilingnya terbelah dua menuju ke pusat lingkaran segitiga (pusat lingkaran dalamnya). Terdapat baik satu, dua, atau tiga ini untuk suatu segitiga yang diberikan.<ref>Kodokostas, Dimitrios, "Triangle Equalizers," ''Mathematics Magazine'' 83, April 2010, pp. 141-146.</ref>

Melambangkan pusat dari lingkaran dalam <math>\triangle ABC </math> sebagai <math>I  </math>, kita mempunyai<ref>Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; and Yao, Haishen, "Proving a nineteenth century ellipse identity", ''[[Mathematical Gazette]]'' 96, March 2012, 161-165.</ref>

<math display="block">\frac{IA \cdot IA}{CA \cdot AB} + \frac{IB \cdot IB}{AB \cdot BC} + \frac{IC \cdot IC}{BC\cdot CA} = 1</math>

dan<ref>Altshiller-Court, Nathan. ''College Geometry'', Dover Publications, 1980.</ref>{{rp|121,#84}}

<math display="block">IA \cdot IB \cdot IC = 4Rr^2</math>

Jari-jari lingkaran dalam tidak lebih besar daripada sepersembilan jumlah dari tinggi.<ref>Posamentier, Alfred S., and Lehmann, Ingmar. ''[[The Secrets of Triangles]]'', Prometheus Books, 2012.</ref>{{rp|289}}

Jarak kuadrat dari pusat <math>I  </math> ke pusat lingkaran luar <math>O</math> diberikan oleh<ref name="Franzsen">{{cite journal|last=Franzsen|first=William N.|year=2011|title=The distance from the incenter to the Euler line|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201126.pdf|journal=Forum Geometricorum|volume=11|pages=231–236|mr=2877263}}.</ref>{{rp|232}}

<math display="block">OI^2 = R(R - 2r)</math>

dan jarak dari pusat lingkaran dalam dengan pusat <math>N</math> dari [[lingkaran sembilan]] adalah<ref name="Franzsen2">{{cite journal|last=Franzsen|first=William N.|year=2011|title=The distance from the incenter to the Euler line|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201126.pdf|journal=Forum Geometricorum|volume=11|pages=231–236|mr=2877263}}.</ref>{{rp|232}}

<math display="block">IN = \frac{1}{2}(R - 2r) < \frac{1}{2}R</math>

Pusat lingkaran dalam terletak di [[segitiga tengah]] (yang verteks-verteksnya merupakan titik tengah dari sisinya).<ref name="Franzsen3">{{cite journal|last=Franzsen|first=William N.|year=2011|title=The distance from the incenter to the Euler line|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201126.pdf|journal=Forum Geometricorum|volume=11|pages=231–236|mr=2877263}}.</ref>{{rp|233, Lemma 1}}

==== Hubungan dengan luas dari segitiga ====
Jari-jari dari lingkaran dalam berkaitan dengan [[luas]] dari segitiga.<ref>Coxeter,  H.S.M. "Introduction to Geometry'' 2nd ed. Wiley, 1961.''</ref> Nisbah dari luas lingkaran dalam dengan luas segitiga lebih kecil atau sama dengan <math>\frac{\pi}{3\sqrt{3}}</math>, dengan persamaannya berlaku hanya untuk [[segitiga sama sisi]].<ref>Minda, D., and Phelps, S., "Triangles, ellipses, and cubic polynomials", ''[[American Mathematical Monthly]]'' 115, October 2008, 679-689: Theorem 4.1.</ref>

Andaikan <math>\triangle ABC  </math> memiliki sebuah lingkaran dalam dengan jari-jari <math>r  </math> dan pusat <math>I   </math>. Misalkan <math>a  </math> menjadi panjang <math>BC</math>, <math>b</math> menjadi panjang <math>AC</math>, dan <math>c</math> menjadi panjang <math>AB </math>. Sekarang, lingkaran dalam singgung dengan <math>AB </math> pada suatu titik <math>T_C </math>, dan demikian <math>\angle AT_C I</math> adalah siku-siku. Demikian, <math>\triangle IAB</math> memiliki alas dengan panjang <math>c</math> dan tinggi <math>r</math>, dan jadi memiliki luas <math>\frac{1}{2}cr</math>. Dengan cara yang serupa, <math>\triangle IAC</math> memiliki luas <math>\frac{1}{2}br</math> dan <math>\triangle IBC</math> memiliki luas <math>\frac{1}{2}ar</math>. Karena ketiga segitiga ini memisahkan <math>\triangle ABC</math>, kita lihat bahwa luas <math>\Delta</math> dari <math>\triangle ABC</math> adalah:{{Citation needed|date=May 2020}}

<math display="block">\Delta = \frac{1}{2} (a + b + c)r = sr</math>dan

<math display="block">r = \frac{\Delta}{s}</math>

dimana <math>\Delta</math> adalah luas dari <math>\triangle ABC</math> dan <math>s = \frac{1}{2}(a + b + c)</math> adalah [[semiperimeter]]<nowiki/>nya.

Untuk sebuah rumus yang alternatif, anggap <math>\triangle IT_CA</math>. Ini adalah segitiga siku-siku dengan satu sisinya sama dengan <math>r</math> dan sisi lainnya sama dengan <math>r \cot \left(\frac{A}{2}\right)</math>. Kesamaannya benar untuk <math>\triangle IB'A</math>. Segitiga yang besar dikomposisi enam segitiga dan luas totalnya adalah:{{Citation needed|date=May 2020}}

<math display="block">\Delta = r^2 \left(\cot\left(\frac{A}{2}\right) + \cot\left(\frac{B}{2}\right) + \cot\left(\frac{C}{2}\right)\right)</math>

=== Segitiga dan titik Gergonne ===
[[Berkas:Intouch Triangle and Gergonne Point.svg|jmpl|Sebuah segitiga, <math>\triangle ABC</math>, dengan lingkaran dalam berwarna {{Colorbox|#a5c2da}}, pusat lingkaran dalam (<math>I</math>) berwarna {{Colorbox|#1e90ff}}, segitiga kontak (<math>\triangle T_A T_B T_C</math>) berwarna {{Colorbox|red}} dan titik Gergonee (<math>G_e</math>) berwarna {{Colorbox|#32cd32}}.]]


'''Segitiga Gergonne''' (dari <math> \triangle ABC</math>) didefinisikan oleh tiga titik singgung dari lingkaran dalam pada tiga sisi. Titik singgung berlawanan <math> A</math> dilambangkan <math>T_A </math>, dll.

Segitiga Gergonne, <math>\triangle T_A T_B T_C</math>, juga dikenal sebagai '''segitiga kontak''' atau '''segitiga singgung dalam''' dari <math> \triangle ABC</math>. Luasnya adalah

<math display="block">K_T = K\frac{2r^2 s}{abc}</math>

dimana <math>K</math>, <math>r  </math>, dan <math>s</math> adalah luasnya, jari-jari dari [[lingkaran dalam]] dari segitiga asalnya, dan <math>a  </math>, <math>b  </math>, serta <math>c  </math> adalah panjang sisi dari segitiga asalnya. Ini adalah luas yang sama seperti yang dari [[segitiga singgung luar]].<ref>Weisstein, Eric W. "Contact Triangle." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ContactTriangle.html</ref>

Tiga garis <math>AT_A</math>, <math>BT_B</math>, dan <math>CT_C</math> memotong dalam sebuah titik tunggal disebut '''titik Gergonne''', dilambangkan sebagai <math>G_e</math> (pusat segitiga <math>X_7</math>). Titik Gergonne terletak di [[cakram ortosentroidal]] terbuka tertusuk di pusatnya sendiri, dan dapat menjadi suatu titik di situ.<ref name="Bradley">Christopher J. Bradley and Geoff C. Smith, "The locations of triangle centers", ''[[Forum Geometricorum]]'' 6 (2006), 57–70.  http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200607index.html</ref>

Titik Gergonne dari sebuah segitiga memiliki sebuah bilangan sifat-sifat, termasuk bahwa ini adalah sebuah [[titik simedian]] dari segitiga Gergonne.<ref>{{Cite journal|last=Dekov|first=Deko|year=2009|title=Computer-generated Mathematics : The Gergonne Point|url=http://www.dekovsoft.com/j/2009/01/JCGEG200901.pdf|journal=Journal of Computer-generated Euclidean Geometry|volume=1|pages=1–14.|archive-url=https://web.archive.org/web/20101105045604/http://www.dekovsoft.com/j/2009/01/JCGEG200901.pdf|archive-date=2010-11-05|url-status=dead}}</ref>

Koordinat trilinear untuk verteks-verteks dari segitiga singgung dalam diberikan oleh{{Citation needed|date=May 2020}}

<math display="block">\begin{align}
\text{verteks } T_A &= 0 : \sec^2 \left(\frac{B}{2}\right) : \sec^2\left(\frac{C}{2}\right) \\
\text{verteks } T_B &= \sec^2 \left(\frac{A}{2}\right) : 0 : \sec^2\left(\frac{C}{2}\right) \\
\text{verteks } T_C &= \sec^2 \left(\frac{A}{2}\right) : \sec^2\left(\frac{B}{2}\right) : 0
\end{align}</math>

Koordinat trilinear untuk titik Gergonne diberikan oleh{{Citation needed|date=May 2020}}


atau, dengan setara, oleh [[Hukum sinus|Hukum Sinus]]

<math display="block">\frac{bc}{b + c - a} : \frac{ca}{c + a - b} : \frac{ab}{a + b - c}</math>

== Lingkaran singgung luar dan pusat lingkaran singgung luar ==
[[Berkas:Incircle and Excircles.svg|jmpl|Sebuah segitiga berwarna {{Colorbox|black}} dengan lingkaran dalam {{Colorbox|#a5c2da}}, [[pusat lingkaran dalam]] (<math>I</math>), lingkaran singgung luar {{Colorbox|orange}}, pusat lingkaran singgung luar (<math>J_A</math>, <math>J_B</math>, dan <math>J_C</math>), [[garis pembagi sudut]] dalam berwarna {{Colorbox|red}} dan garis pembagi sudut berwarna {{Colorbox|#32cd32}}. Segitiga berwarna hijau {{Colorbox|#32cd32}} merupakan segitiga pusat singgung luar.]]


Sebuah '''lingkaran singgung luar<ref>{{harvtxt|Altshiller-Court|1925|p=74}}</ref>''' dari segitiga adalah sebuah lingkaran yang terletak di luar segitiga, bersinggung dengan satu sisinya dan singgung dengan perluasan [[Sisi diperluas|dari keduanya]]. Setiap segitiga memiliki tiga lingkaran yang berbeda, setiap singgung ke satu dari sisi-sisi segitiga.<ref name="Altshiller-Court 1925 73">{{harvtxt|Altshiller-Court|1925|p=73}}</ref>

Pusat sebuah lingkaran singgung luar merupakan perpotongan dari garis bagi dalam satu sudut (di verteks <math>A  </math>, contohnya) dan garis bagi [[Sudut dalam dan luar|luar]] dari dua lainnya. Pusat lingkaran singgung ini disebut '''pusat lingkaran singgung luar''' relatif terhadap verteks dari <math>A  </math>, atau '''pusat lingkaran singgung luar''' dari <math>A  </math>.<ref name="Altshiller-Court 1925 734">{{harvtxt|Altshiller-Court|1925|p=73}}</ref> Karena garis bagi dalam sudut tegak lurus dengan garis bagi luarnya, ini mengikuti bahwa pusat dari lingkaran dalam bersama dengan tiga pusat lingkaran singgung luar membentuk sebuah [[sistem ortosentrik]].<ref name="Johnson3">Johnson, Roger A., ''Advanced Euclidean Geometry'', Dover, 2007 (orig. 1929).</ref>{{rp|182}}

=== Koordinat trilinear pusat lingkaran singgung luar ===
Saat [[Lingkaran dalam dan lingkaran singgung luar#Pusat lingkaran dalam|pusat lingkaran dalam]] <math>\triangle  ABC</math> memiliki [[koordinat trilinear]] <math>1:1:1</math>, pusat lingkaran singgung luar memiliki trilinear <math>-1:1:1</math>, <math>1:-1:1</math>, dan <math>1:1:-1</math>.{{Citation needed|date=May 2020}}

=== Jari-jari pusat lingkaran singgung luar ===
Jari-jari dari lingkaran singgung luar disebut '''jari-jari lingkaran singgung luar'''''.''

Jari-jari lingkaran singgung luar dari lingkaran singgung luar berlawanan <math>A  </math> (jadi menyentuh <math>BC </math>, berpusat di <math>J_A </math>) adalah<ref>{{harvtxt|Altshiller-Court|1925|p=79}}</ref><ref>{{harvtxt|Kay|1969|p=202}}</ref>

<math display="block">r_a = \frac{rs}{s - a} = \sqrt{\frac{s(s - b)(s - c)}{s - a}}</math>..., dimana <math>s = \frac{1}{2}(a+b+c)</math>.

Lihat [[rumus Heron]]

==== Penurunan rumus pusat lingkaran singgung luar<ref>{{harvtxt|Altshiller-Court|1925|p=79}}</ref> ====
{{hst}}
Misalkan lingkaran singgung di sisi <math>AB</math> bersinggung di sisi <math>AC</math> diperpanjang di <math>G</math>, dan misalkan jari-jari lingkaran singgung luar menjadi <math>r_c</math> dan pusatnya mnejadi <math>J_c</math>. Maka <math>J_c G </math> merupakan sebuah tinggi dari <math>\triangle ACJ_c</math>, jadi <math>\triangle ACJ_c</math> memiliki luas <math>\tfrac{1}{2}br_c</math>. Dengan menggunakan argumen yang serupa, <math> \triangle BCJ_c </math> memiliki luas <math>\tfrac{1}{2}ar_c</math> dan <math>\triangle ABJ_c</math> memiliki luas <math>\tfrac{1}{2}cr_c</math>. Demikian luasnya <math>\Delta</math> dari <math>\triangle ABC</math> adalah

: <math>\Delta = \frac{1}{2}(a + b - c)r_c = (s - c)r_c</math>.

Jadi, oleh simetri, melambangkan <math>r</math> sebagai jari-jari lingkaran dalam,

: <math>\Delta = sr = (s - a)r_a = (s - b)r_b = (s - c)r_c</math>.

Oleh [[Hukum kosinus|Hukum Kosinus]], kita memiliki

: <math>\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}</math>

Menggabungkan ini dengan identitas <math>\sin^2 A + \cos^2 A = 1</math>, kita memiliki

: <math>\sin(A) = \frac{\sqrt{-a^4 - b^4 - c^4 + 2a^2 b^2 + 2b^2 c^2 + 2 a^2 c^2}}{2bc}</math>

Tetapi <math>\Delta = \tfrac{1}{2}bc \sin(A)</math>, dan demikian

:<math>\begin{align}
  \Delta &= \frac{1}{4} \sqrt{-a^4 - b^4 - c^4 + 2a^2b^2 + 2b^2 c^2 + 2 a^2 c^2} \\
         &= \frac{1}{4} \sqrt{(a + b + c)(-a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)} \\
         & = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)},
\end{align}</math>

yang merupakan [[Teorema Heron|rumus Heron]].

Menggabungkan ini dengan <math>sr = \Delta</math>, kita memiliki

:<math>r^2 = \frac{\Delta^2}{s^2} = \frac{(s - a)(s - b)(s - c)}{s}.</math>

Dengan cara yang serupa, <math>(s - a)r_a = \Delta</math> memberikan

:<math>r_a^2 = \frac{s(s - b)(s - c)}{s - a}</math>

dan

:<math>r_a = \sqrt{\frac{s(s - b)(s - c)}{s - a}}.</math>
{{hsb}}


==== Sifat-sifat lainnya ====
Dari rumus di atas salah satunya dapat melihat bahwa lingkaran singgun luar selalu lebih besar dari lingkaran dalam dan bahwa lingkaran singgung paling terbesar merupaakan salah satu bersinggung dengan sisi terpanjang serta lingkaran singgung luar bersinggung dengan sisi terpendek. Lebih lanjut, menggabungkan rumus-rumus ini menghasilkan:<ref>Baker, Marcus, "A collection of formulae for the area of a plane triangle," ''Annals of Mathematics'', part 1 in vol. 1(6), January 1885, 134-138. (See also part 2 in vol. 2(1), September 1885, 11-18.)</ref>

<math display="block">\Delta = \sqrt{r r_a r_b r_c}</math>

=== Sifat-sifat lingkaran singgung luar lainnya ===
[[Lambung cembung|Lambung]] lingkar dari lingkaran singgung luar secara internal menyinggung dengan setiap dari lingkaran singgung luar dan dengan demikian merupakan sebuah [[Masalah Apollonius|lingkaran Apollonius]].<ref>[http://forumgeom.fau.edu/FG2002volume2/FG200222.pdf Grinberg, Darij, and Yiu, Paul, "The Apollonius Circle as a Tucker Circle", ''Forum Geometricorum'' 2, 2002: pp. 175-182.]</ref> Jari-jari lingkaran Apollonius ini adalah <math>\frac{r^2 + s^2}{4r}</math> dimana <math> r</math> adalah jari-jari lingkaran dalam dan <math>s</math> adalah semiperimeter dari segitiga.<ref>[http://forumgeom.fau.edu/FG2003volume3/FG200320.pdf Stevanovi´c, Milorad R., "The Apollonius circle and related triangle centers", ''Forum Geometricorum'' 3, 2003, 187-195.]</ref>

Hubungan berikut berlaku di antara jari-jari lingkaran dalam <math> r</math>, jari-jari lingkaran luar <math>R </math>, semiperimeter <math>s</math>, dan jari-jari lingkaran singgung luar <math>r_a</math>, <math>r_b</math>, <math>r_c</math>:<ref name="Bell2">[http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200639.pdf Bell, Amy, "Hansen’s right triangle theorem, its converse and a generalization", ''Forum Geometricorum'' 6, 2006, 335–342.]</ref>

<math display="block">\begin{align}
              r_a + r_b + r_c &= 4R + r \\
  r_a r_b + r_b r_c + r_c r_a &= s^2 \\
        r_a^2 + r_b^2 + r_c^2 &= \left(4R + r\right)^2 - 2s^2
\end{align}</math>

Lingkaran melalui pusat-pusat dari tiga lingkaran singgung luar memiliki jari-jari <math>2R</math>.<ref name="Bell3">[http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200639.pdf Bell, Amy, "Hansen’s right triangle theorem, its converse and a generalization", ''Forum Geometricorum'' 6, 2006, 335–342.]</ref>

Jika <math>H</math> adalah [[titik tinggi]] dari <math>\triangle ABC   </math>, maka<ref name="Bell4">[http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200639.pdf Bell, Amy, "Hansen’s right triangle theorem, its converse and a generalization", ''Forum Geometricorum'' 6, 2006, 335–342.]</ref>

<math display="block">\begin{align}
          r_a + r_b + r_c + r &= AH + BH + CH + 2R \\
  r_a^2 + r_b^2 + r_c^2 + r^2 &= AH^2 + BH^2 + CH^2 + (2R)^2
\end{align}</math>

=== Segitiga Nagel dan titik Nagel ===
[[Berkas:Extouch Triangle and Nagel Point.svg|jmpl|Segitiga singgung luar (<math>\triangle T_A T_B T_C</math>) berwarna {{Color box|red}} dan [[titik Nagel]] (<math>N </math>) berwarna {{Colorbox|#4682b4}} dari sebuah segitiga (<math>\triangle ABC</math>) berwarna {{Colorbox|black}}. Lingkaran berwarna jingga adalah [[lingkaran singgung luar]] dari segitiga. ]]


'''Segitiga Nagel''' atau '''segitiga singgung luar''' <math>\triangle ABC</math> dilambangkan oleh verteks-verteks <math> T_A </math>, <math>T_B</math>, dan <math>T_C</math> yang terdapat tiga titik dimana lingakran singgung luar menyinggung rujukan <math>\triangle ABC</math> dan dimana <math> T_A</math> adalah lawannya dari <math>A</math>, dst. <math>\triangle T_A T_B T_C</math> ini juga dikenal sebagai '''segitiga singgung luar''' <math> \triangle ABC  </math>. Lingkaran luar dari singgung luar <math>\triangle T_A T_B T_C </math> disebut '''lingkaran Mandart'''.{{Citation needed|date=May 2020}}

Tiga garis <math>AT_A </math>, <math>BT_B</math>, dan <math>CT_C </math> disebut [[Pembagi (geometri)|pembagi]] dari segitiga, mereka membagi garis setiap keliling dari segitiga,{{Citation needed|date=May 2020}}

<math display="block">AB + BT_A = AC + CT_A = \frac{1}{2}\left( AB + BC + AC \right)</math>

Pembaginya memotong dalam sebuah titik tunggal, titik Nagel segitiga <math>N_a</math> (atau [[pusat segitiga]] <math>X_8</math>).

Koordinat trilinear untuk verteks-verteks dari segitiga singgung luar diberikan oleh{{Citation needed|date=May 2020}}

<math display="block">\begin{align}
\text{verteks } T_A &= 0 : \csc^2\left(\frac{B}{2}\right) : \csc^2\left(\frac{C}{2}\right) \\
\text{verteks } T_B &= \csc^2\left(\frac{A}{2}\right) : 0 : \csc^2\left(\frac{C}{2}\right) \\
\text{verteks } T_C &= \csc^2\left(\frac{A}{2}\right) : \csc^2\left(\frac{B}{2}\right) : 0
\end{align}</math>

Koordinat trilinear untuk titik Nagel diberikan oleh{{Citation needed|date=May 2020}}

<math display="block">\csc^2\left(\frac{A}{2}\right) : \csc^2 \left(\frac{B}{2}\right) : \csc^2\left(\frac{C}{2}\right)</math>

atau, dengan setara, oleh [[Hukum sinus|Hukum Sinus]],

<math display="block">\frac{b + c - a}{a} : \frac{c + a - b}{b} : \frac{a + b - c}{c}</math>

Titik Nagel merupakan [[sekawan isotomik]] dari titik Gergonne.{{Citation needed|date=May 2020}}

== Konstruksi yang berkaitan ==

=== Lingkaran sembilan titik dan titik Feuerbach ===
[[Berkas:Circ9pnt3.svg|jmpl|Lingkaran sembilan titik bersinggung dengan lingkaran dalam dengan lingkaran singgung luar]]


Dalam [[geometri]], '''lingkaran sembilan titik''' merupakan sebuah lingkaran yang dapat dikonstruksikan untuk suatu [[segitiga]] yang diberikan. Ini dinamakan demikian  karena ini lewat melalui sembilan [[titik konsiklik]] bermakna didefinisikan dari segitiga. Sembilan [[Titik (geometri)|titik]] ini adalah:<ref>{{harvtxt|Altshiller-Court|1925|pp=103–110}}</ref><ref>{{harvtxt|Kay|1969|pp=18,245}}</ref>

* [[Titik tengah]] setiap sisi dari segitiga
* [[Tegak lurus|Kaki]] dari setiap [[Tinggi (segitiga)|tinggi]]
* Titik tengah dari [[ruas garis]] dari setiap verteks-verteks segitiga ke [[titik tinggi]] (dimana tiga ketinggiannya bertemu; ruas garis ini terletak pada masing-masing ketinggiannya).

Pada tahun 1822, Karl Feuerbach menemukan bahwa setiap lingkaran sembilan titik segitiga secara eksternal [[Lingkaran singgung|bersinggungan]] dengan tiga [[lingkaran singgung luar]]<nowiki/>nya dan secara internal bersinggung dengan [[lingkaran dalam]]<nowiki/>nya; hasil ini diknel sebagia [[teorema Feuerbach]]. Dia membuktikan bahwa:{{Citation needed|date=May 2020}}

{{Quote|... lingkarannya yang lewat melalui kaki dari tinggi segitiga bersinggungan dengan semua empat lingkaran yang pada gilirannya bersinggungan dengan tiga sisi dari segitiga ... (Feuerbach 1822)}}
[[Pusat segitiga]] di mana singgung lingkaran dalam dan lingkaran sembilan disebut [[titik Feuerbach]].

=== Segitiga pusat dalam dan pusat singgung luar ===
Titik perpotongan dari garis bagi sudut dalam <math>\triangle  ABC </math> dengan ruas <math> BC </math>, <math> CA </math>, dan <math> AB </math> adalah verteks-verteks dari '''segitiga pusat dalam'''. Koordinat trilinear untuk verteks-verteks dari segitiga pusat dalam diberikan oleh 

<math display="block">\begin{align}
\left( \text{lawan dari verteks }A\right) &= 0 : 1 : 1 \\
\left( \text{lawan dari verteks }B\right) &= 1 : 0 : 1 \\
\left( \text{lawan dari verteks }C\right) &= 1 : 1 : 0
\end{align}</math>

'''Segitiga pusat singgung luar''' dari sebuah segitiga acuan memiliki verteks-verteks pada pusat dari lingkaran singgung luar segitiga acuan. Sisinya pada garis bagi sudut luar dari segitiga acuan (lihat gambar pada halaman di atas). Koordinat trilinear untuk verteks-verteks mengenai segitiga pusat singgung luar diberikan oleh{{Citation needed|date=May 2020}}

<math display="block">\begin{align}
(\text{hadapan verteks} \, A) = -1 :  1 :  1 \\
(\text{hadapan verteks} \, B) =  1 : -1 :  1 \\
(\text{hadapan verteks} \, C) =  1 :  1 : -1
\end{align}</math>

== Persamaan untuk empat lingkaran ==
Misalkan <math>x:y:z</math> menjadi sebuah titik peubah dalam [[koordinat trilinear]], dan misalkan <math>u = \cos^2 \left( \frac{A}{2}\right)</math>, <math>v = \cos^2 \left( \frac{B}{2} \right)</math>, dan <math>w = \cos^2 \left(\frac{C}{2} \right)</math>. Keempat lingkaran digambarkan di atas diberikan dengan setara oleh baik dari dua persamaan yang diberikan:<ref name="WW">Whitworth, William Allen. ''Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions'', Forgotten Books, 2012 (orig. Deighton, Bell, and Co., 1866).  http://www.forgottenbooks.com/search?q=Trilinear+coordinates&t=books</ref>

* Lingkaran dalam:

<math display="block">\begin{align}
  u^2 x^2 + v^2 y^2 + w^2 z^2 - 2vwyz - 2wuzx - 2uvxy &= 0 \\
  \pm\sqrt{x}\cos\left(\frac{A}{2}\right) \pm \sqrt{y}\cos\left(\frac{B}{2}\right) \pm \sqrt{z}\cos\left(\frac{C}{2}\right) &= 0
\end{align}</math>

* Lingkaran singgung luar <math>A</math>:

<math display="block">\begin{align}
  u^2 x^2 + v^2 y^2 + w^2 z^2 - 2vwyz + 2wuzx + 2uvxy &= 0 \\
  \pm\sqrt{-x}\cos\left(\frac{A}{2}\right) \pm \sqrt{y}\cos\left(\frac{B}{2}\right) \pm \sqrt{z}\cos\left(\frac{C}{2}\right) &= 0
\end{align}</math>

* Lingkaran singgung luar <math>B</math>:

<math display="block">\begin{align}
  u^2 x^2 + v^2 y^2 + w^2 z^2 + 2vwyz - 2wuzx + 2uvxy &= 0 \\
  \pm\sqrt{x}\cos\left(\frac{A}{2}\right) \pm \sqrt{-y}\cos\left(\frac{B}{2}\right) \pm \sqrt{z}\cos\left(\frac{C}{2}\right) &= 0
\end{align}</math>

* Lingkaran singgung luar <math>C</math>:

<math display="block">\begin{align}
  u^2 x^2 + v^2 y^2 + w^2 z^2 + 2vwyz + 2wuzx - 2uvxy &= 0 \\
  \pm\sqrt{x}\cos\left(\frac{A}{2}\right) \pm \sqrt{y}\cos\left(\frac{B}{2}\right) \pm \sqrt{-z}\cos\left(\frac{C}{2}\right) &= 0
\end{align}</math>

== Teorema Euler ==
[[Teorema Euler dalam geometri|Teorema Euler]] menyatakan bahwa dalam sebuah segitiga:

<math display="block">(R - r)^2 = d^2 + r^2</math>

dimana <math>R</math> dan <math>r</math> adalah jari-jari lingkaran luar dan jari-jari lingkaran dalam masing-masing, dan <math>d</math> adalah jarak antara [[pusat lingkaran luar]] dan pusat lingkaran dalam.

Untuk lingkaran singgung luar, persamaannya menyerupai:

<math display="block">\left(R + r_\text{ex}\right)^2 = d_\text{ex}^2 + r_\text{ex}^2</math>

dimana <math>r_\text{ex}</math> merupakan jari-jari mengenai salah satu dari lingkaran singgung luar, dan <math>d_\text{ex}</math> adalah jarak antara pusat lingkaran luar dan pusat lingkaran singgung luarnya.<ref name="Nelson">Nelson, Roger, "Euler's triangle inequality via proof without words," ''Mathematics Magazine'' 81(1), February 2008, 58-61.</ref><ref>Johnson, R. A. ''Modern Geometry'', Houghton Mifflin, Boston, 1929: p. 187.</ref><ref>[http://forumgeom.fau.edu/FG2001volume1/FG200120.pdf Emelyanov, Lev, and Emelyanova, Tatiana. "Euler’s formula and Poncelet’s porism", ''Forum Geometricorum'' 1, 2001: pp. 137–140.]</ref>

== Perampatan dengan poligon lainnya ==
Beberapa (tapi tidak semua) [[segi empat]] memiliki sebuah lingkaran dalam. Ini disebut [[segi empat singgung]]. Di antaranya banyak sifat-sifat yang mungkin paling terpenting adalah bahwa dua pasangannya mengenai sisi berhadapan memiliki jumlah yang sama. Ini disebut [[teorema Pitot]].<ref>{{Cite book|last=Pritsker|first=Boris|date=2017-08-22|url=https://books.google.com/books?id=MUQyDwAAQBAJ&newbks=0&printsec=frontcover&hl=en|title=Geometrical Kaleidoscope|publisher=Courier Dover Publications|isbn=978-0-486-82481-9|pages=51|language=en|url-status=live}}</ref>

Lebih umumnya, sebuah poligon dengan suatu jumlah sisi bahwa memiliki sebuah lingkaran dalam (yaitu, salah satunya yang bersinggung dengan setiap sisi disebut sebuah [[poligon singgung]].{{Citation needed|date=May 2020}}

== Lihat pula ==

* {{Annotated link|Segi luar}}
* {{Annotated link|Lingkaran luar}}– ;Lingkaran yang lewat melalui semua verteks-verteks poligon
* {{Annotated link|Segi empat ekstangensial}}
* {{Annotated link|Teorema Harcourt}} – Luas segitiga dari jarak sisi dan verteksnya untuk suatu garis singgung ke lingkaran dalamnya
* {{Annotated link|Runjung luar dan runjung dalam}} – Sebuah irisan runjunt yan lewat melalui verteks segiiga atau garis singgung ke sisinya
* {{Annotated link|Bola dalam}}
* {{Annotated link|Kuasa titik}}
* {{Annotated link|Elips dalam Steiner}}
* {{Annotated link|Segi empat singgung}}
* {{Annotated link|Teorema Trillium}} – Sebuah pernyataan mengenai sifat-sifat lingkaran dalam dan lingkaran luar.

== Catatan ==
<references />

== Referensi ==

* {{citation|first1=Nathan|last1=Altshiller-Court|year=1925|lccn=52013504|title=College Geometry:  An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle|edition=2|publisher=[[Barnes & Noble]]|location=New York}}
* {{citation|first1=David C.|last1=Kay|year=1969|lccn=69012075|title=College Geometry|publisher=[[Holt, Rinehart and Winston]]|location=New York}}
* {{cite journal|last=Kimberling|first=Clark|year=1998|title=Triangle Centers and Central Triangles|journal=Congressus Numerantium|issue=129|pages=i-xxv,1–295}}
* {{cite journal|last=Kiss|first=Sándor|year=2006|title=The Orthic-of-Intouch and Intouch-of-Orthic Triangles|journal=Forum Geometricorum|issue=6|pages=171–177}}

== Pranala luar ==

* [http://www.mathalino.com/reviewer/derivation-of-formulas/derivation-of-formula-for-radius-of-incircle Derivation of formula for radius of incircle of a triangle]
* {{MathWorld|title=Incircle|urlname=Incircle}}

=== Interaktif ===

* [http://www.mathopenref.com/triangleincenter.html Pusat lingkaran dalam segitiga]&nbsp; &nbsp;[http://www.mathopenref.com/triangleincircle.html Lingkaran dalam segitiga]&nbsp;&nbsp;[http://www.mathopenref.com/polygonincircle.html Lingkaran segi banyak beraturan]&nbsp; &nbsp;Dengan animasi interaktif
* [http://www.mathopenref.com/constincircle.html Membangun sebuah pusat lingkaran dalam/lingkaran dalam segitiga dengan jangka dan sejajar]
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/AdjacentIncircles.shtml Teorema Lingkaran Dalam Sama] di [[Cut-the-Knot]]
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/FourIncircles.shtml Lima Teorema Lingkaran Dalam] di [[Cut-the-Knot]]
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/IncirclesInQuadri.shtml Pasangan Lingkaran Dalam di sebuah Segi Empat] di [[Cut-the-Knot]]
* [https://web.archive.org/web/20151105214641/http://www.uff.br/trianglecenters/X0001.html An interactive Java applet for the incenter]

[[Kategori:Lingkaran terdefinisi untuk sebuah segitiga]]
Templat yang digunakan di halaman ini:
Bola dalam (lihat sumber)
Elips dalam Steiner (lihat sumber)
Kuasa titik (lihat sumber)
Runjung luar dan runjung dalam (lihat sumber)
Segi empat ekstangensial (lihat sumber)
Segi empat singgung (lihat sumber)
Segi luar (lihat sumber)
Teorema Harcourt (lihat sumber)
Teorema Trillium (lihat sumber)
Templat:Ambox (lihat sumber) (dilindungi)
Templat:Annotated link (sunting)
Templat:Blockquote (sunting)
Templat:Blockquote/styles.css (sunting)
Templat:Butuh rujukan (lihat sumber) (dilindungi)
Templat:Citation (lihat sumber) (dilindungi)
Templat:Citation needed (lihat sumber) (dilindungi)
Templat:Cite book (lihat sumber) (dilindungi)
Templat:Cite journal (lihat sumber) (dilindungi)
Templat:Cite web (lihat sumber) (dilindungi)
Templat:Color box (lihat sumber) (semi-dilindungi)
Templat:Colorbox (sunting)
Templat:En (lihat sumber) (dilindungi)
Templat:En icon (lihat sumber) (dilindungi)
Templat:Fix (lihat sumber) (dilindungi)
Templat:Greater color contrast ratio (sunting)
Templat:Harvard citation text (sunting)
Templat:Harvtxt (sunting)
Templat:Hidden begin (sunting)
Templat:Hidden begin/styles.css (sunting)
Templat:Hidden end (sunting)
Templat:Hsb (sunting)
Templat:Hst (sunting)
Templat:Languageicon (lihat sumber) (dilindungi)
Templat:Legend/styles.css (sunting)
Templat:Link language (lihat sumber) (dilindungi)
Templat:MathWorld (sunting)
Templat:Periksa terjemahan (lihat sumber) (dilindungi)
Templat:Quote (sunting)
Templat:Refpage (sunting)
Templat:Rp (sunting)
Templat:See also (lihat sumber) (semi-dilindungi)
Templat:SfnRef (sunting)
Templat:Webarchive (lihat sumber) (dilindungi)
Modul:Arguments (lihat sumber) (dilindungi)
Modul:Check for unknown parameters (lihat sumber) (dilindungi)
Modul:Citation/CS1 (lihat sumber) (dilindungi)
Modul:Citation/CS1/COinS (lihat sumber) (dilindungi)
Modul:Citation/CS1/Configuration (lihat sumber) (dilindungi)
Modul:Citation/CS1/Date validation (lihat sumber) (dilindungi)
Modul:Citation/CS1/Identifiers (lihat sumber) (dilindungi)
Modul:Citation/CS1/Suggestions (sunting)
Modul:Citation/CS1/Utilities (lihat sumber) (dilindungi)
Modul:Citation/CS1/Whitelist (lihat sumber) (dilindungi)
Modul:Color contrast (lihat sumber) (dilindungi)
Modul:Color contrast/colors (lihat sumber) (dilindungi)
Modul:Footnotes (lihat sumber) (dilindungi)
Modul:Hatnote (lihat sumber) (dilindungi)
Modul:Hatnote/styles.css (lihat sumber) (dilindungi)
Modul:Hatnote list (sunting)
Modul:Labelled list hatnote (sunting)
Modul:Message box (lihat sumber) (dilindungi)
Modul:Message box/ambox.css (sunting)
Modul:Message box/configuration (lihat sumber) (dilindungi)
Modul:ResolveEntityId (lihat sumber) (dilindungi)
Modul:Template wrapper (sunting)
Modul:Webarchive (lihat sumber) (dilindungi)
Modul:WikidataDescription (sunting)
Modul:Yesno (lihat sumber) (dilindungi)
Kembali ke Lingkaran dalam dan lingkaran singgung luar segitiga.
Diperoleh dari "https://id.wikipedia.org/wiki/Lingkaran_dalam_dan_lingkaran_singgung_luar_segitiga"