Corpo ríxido

En física, un corpo ríxido, tamén coñecido como sólido ríxido ou corpo sólido,^[2] é un corpo sólido no que a deformación é cero ou insignificante. A distancia entre dous puntos calquera nun corpo ríxido permanece constante no tempo independentemente das forzas externas ou dos momentos que se exercen sobre el. Un corpo ríxido adoita considerarse como unha distribución continua de masa.

No estudo da relatividade especial, non existe un corpo perfectamente ríxido; e só se pode asumir que os obxectos son ríxidos se non se moven preto da velocidade da luz. En mecánica cuántica, un corpo ríxido adoita considerarse como unha colección de masas puntuais. Por exemplo, as moléculas (que consisten nas masas puntuais: electróns e núcleos) adoitan considerarse corpos ríxidos (ver clasificación de moléculas como rotores ríxidos).

A posición dun corpo ríxido é a posición de todas as partículas das que está composto. A posición de todo o corpo está representada por:

1. a posición linear ou posición do corpo, é dicir, a posición dunha das partículas do corpo, especificamente escollida como punto de referencia (coincidindo normalmente co centro de masas ou centroide do corpo),
2. a posición angular (tamén coñecida como orientación) do corpo.

Así, a posición dun corpo ríxido ten dúas compoñentes: linear e angular, respectivamente. O mesmo ocorre con outras magnitudes cinemáticas e cinéticas que describen o movemento dun corpo ríxido, como a aceleración, a aceleración linear e angular, o impulso e enerxía cinética.

O posición linear pódese representar cun vector coa súa orixe nun punto de referencia arbitrario no espazo (a orixe dun sistema de coordenadas escollido) e a súa punta nun punto de interese arbitrario do corpo ríxido, normalmente coincidente co seu centro de masas. Este punto de referencia pode definir a orixe dun sistema de coordenadas fixado ao corpo.

Existen varias formas de describir numericamente a orientación dun corpo ríxido, incluíndo un conxunto de tres ángulos de Euler, un cuaternión ou unha matriz de rotación.

En xeral, cando un corpo ríxido se move, tanto a súa posición como a súa orientación varían co tempo. No sentido cinemático, estes cambios denomínanse translación e rotación, respectivamente.

A velocidade (tamén chamada velocidade linear) e a velocidade angular mídense en relación a un sistema de referencia.

A velocidade linear dun corpo ríxido é unha cantidade en forma de vector, igual á taxa de cambio temporal da súa posición linear. Durante o movemento puramente de translación (movemento sen rotación), todos os puntos dun corpo ríxido móvense coa mesma velocidade. Porén, cando o movemento implica rotación, a velocidade instantánea de dous puntos calquera do corpo xeralmente non será a mesma. Dous puntos dun corpo en rotación terán a mesma velocidade instantánea só se se atopan nun eixo paralelo ao eixo de rotación instantáneo.

A Velocidade angular é unha magnitude vectorial que describe a velocidade á que muda a orientación do corpo ríxido e o eixo instantáneo sobre o que xira (a existencia deste eixo instantáneo está garantida polo teorema de rotación de Euler). Todos os puntos dun corpo ríxido experimentan a mesma velocidade angular en todo momento. A relación entre orientación e velocidade angular non é directamente análoga á relación entre posición e velocidade. A velocidade angular non é a taxa de cambio temporal da orientación, porque non existe un concepto como un vector de orientación que se poida diferenciar para obter a velocidade angular.

A velocidade angular dun corpo ríxido B nun sistema de referencia N é igual á suma da velocidade angular dun corpo ríxido D en N e a velocidade angular de B en relación a D:^[3]

${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\!{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }={}^{\mathrm {N} }\!{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {D} }+{}^{\mathrm {D} }\!{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }.}$

Neste caso, os corpos ríxidos e os sistemas de referencia son indistinguíbeis e completamente intercambiábeis.

Para calquera conxunto de tres puntos P, Q e R, o vector de posición de P a R é a suma do vector de posición de P a Q e o vector de posición de Q a R:

${\displaystyle \mathbf {r} ^{\mathrm {PR} }=\mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }+\mathbf {r} ^{\mathrm {QR} }.}$

A norma dun vector de posición é a distancia espacial. Aquí as coordenadas dos tres vectores deben expresarse en sistemas de coordenadas coa mesma orientación.

A velocidade do punto P no sistema de referencia N defínese como a derivada temporal en N do vector de posición de O a P:^[4]

${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {P} }={\frac {{}^{\mathrm {N} }\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {r} ^{\mathrm {OP} })}$

onde O é calquera punto arbitrario fixo no sistema de referencia N, e o N á esquerda do operador d/dt indica que a derivada se toma no sistema de referencia N. O resultado é independente da escolla de O sempre que O estea fixo en N.

A aceleración do punto P no sistema de referencia N defínese como a derivada temporal en N da súa velocidade:^[4]

${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {P} }={\frac {^{\mathrm {N} }\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {P} }).}$

Para dous puntos P e Q que están fixos nun corpo ríxido B, onde B ten unha velocidade angular ${\displaystyle \scriptstyle {^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }}}$ no sistema de referencia N, a velocidade de Q en N pódese expresar en función da velocidade de P en N:^[5]

${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {Q} }={}^{\mathrm {N} }\!\mathbf {v} ^{\mathrm {P} }+{}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }.}$

onde ${\displaystyle \mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }}$ é o vector de posición de P a Q.,^[5] con coordenadas expresadas en N (ou un sistema coa mesma orientación que N). Esta relación pódese derivar da invariancia temporal da distancia normal entre P e Q.

Mediante a diferenciación do produto vetorial da ecuación para a velocidade de dous puntos fixos nun corpo ríxido en N en relación ao tempo, a aceleración no sistema de referencia N dun punto Q fixo nun corpo ríxido B pódese expresar como

${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {Q} }={}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {P} }+{}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }\times \left({}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }\right)+{}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\alpha }}^{\mathrm {B} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }}$

onde ${\displaystyle \scriptstyle {{}^{\mathrm {N} }\!{\boldsymbol {\alpha }}^{\mathrm {B} }}}$ é a aceleración angular de B no sistema de referencia N.^[5]

Como se mencionou enriba, todos os puntos dun corpo ríxido B teñen a mesma velocidade angular ${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }}$ nun sistema de referencia fixo N e, polo tanto, a mesma aceleración angular ${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\alpha }}^{\mathrm {B} }.}$

Se o punto R se move no corpo ríxido B mentres que B se move no sistema de referencia N, entón a velocidade de R en N é

${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }={}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {Q} }+{}^{\mathrm {B} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }}$

onde Q é o punto fixo en B que coincide instantaneamente con R no instante de interese.^[6] Esta relación adoita combinarse coa relación para a velocidade de dous puntos fixos nun corpo ríxido.

A aceleración no sistema de referencia N do punto R que se move no corpo B mentres B se move no sistema N vén dada por

${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {R} }={}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {Q} }+{}^{\mathrm {B} }\mathbf {a} ^{\mathrm {R} }+2{}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }\times {}^{\mathrm {B} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }}$

onde Q é o punto fixo en B que coincide instantaneamente con R no instante de interese.^[6] Esta ecuación adoita combinarse coa aceleración de dous puntos fixos nun corpo ríxido.

Se C é a orixe dun sistema de coordenadas local L, unido ao corpo, a aceleración espacial ou torsión dun corpo ríxido defínese como a aceleración espacial de C (en oposición á aceleración material anterior):

${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}(t,\mathbf {r} _{0})=\mathbf {a} (t,\mathbf {r} _{0})-{\boldsymbol {\omega }}(t)\times \mathbf {v} (t,\mathbf {r} _{0})={\boldsymbol {\psi }}_{c}(t)+{\boldsymbol {\alpha }}(t)\times A(t)\mathbf {r} _{0}}$

onde

• ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ representa a posición do punto/partícula en relación ao punto de referencia do corpo en termos do sistema de coordenadas local L (a rixidez do corpo significa que isto non depende do tempo)
• ${\displaystyle A(t)\,}$ é a matriz orientación, unha matriz ortogonal co determinante 1, que representa a orientación (posición angular) do sistema de coordenadas local L, en relación á orientación de referencia arbitraria doutro sistema de coordenadas G. Pense nesta matriz como tres vectores unitarios ortogonais, un en cada columna, que definen a orientación dos eixos de L en relación a G.
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}(t)}$ representa a velocidade angular do corpo ríxido
• ${\displaystyle \mathbf {v} (t,\mathbf {r} _{0})}$ representa a velocidade total do punto/partícula
• ${\displaystyle \mathbf {a} (t,\mathbf {r} _{0})}$ representa a aceleración total do punto/partícula
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}(t)}$ representa a aceleración angular do corpo ríxido
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}(t,\mathbf {r} _{0})}$ representa a aceleración espacial do punto/partícula
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}_{c}(t)}$ representa a aceleración espacial do corpo ríxido (é dicir, a aceleración espacial da orixe de L).

En 2D, a velocidade angular é un escalar, e a matriz A(t) simplemente representa unha rotación no plano xy por un ángulo que é a integral da velocidade angular ao longo do tempo.

Calquera punto que estea ligado rixidamente ao corpo pode usarse como punto de referencia (orixe do sistema de coordenadas L) para describir o movemento linear do corpo (os vectores de posición linear, velocidade e aceleración dependen da escolla).

No entanto, dependendo da aplicación, unha opción conveniente pode ser:

• o centro de masas de todo o sistema, que xeralmente ten o movemento máis sinxelo para un corpo que se move libremente no espazo;
• un punto tal que o movemento de translación é cero ou simplificado, p. ex. nun eixo ou bisagra, no centro dunha articulación esferoidal, etc.

Cando o centro de masas se utiliza como punto de referencia:

• O momento linear é independente do movemento de rotación. En calquera momento é igual á masa total do corpo ríxido multiplicada pola velocidade de translación.
• O momento angular en relación ao centro de masas é o mesmo que sen traslación: en calquera momento é igual ao tensor de inercia multiplicado pola velocidade angular. Cando a velocidade angular se expresa en relación a un sistema de coordenadas que coincide cos eixos principais do corpo, cada compoñente do momento angular é produto dun momento de inercia (un valor principal do tensor de inercia) pola compoñente correspondente da velocidade angular; o torque é o tensor de inercia multiplicado pola aceleración angular.
• Os posíbeis movementos en ausencia de forzas externas son a translación con velocidade constante, a rotación constante sobre un eixo principal fixo e tamén a precesión sen torque.
• A forza externa neta sobre o corpo ríxido é sempre igual á masa total multiplicada pola aceleración de translación (é dicir, a Segunda lei de Newton cúmprese para o movemento de translación, mesmo cando o torque externo neto é distinto de cero e/ou o corpo xira).
• A enerxía cinética total é simplemente a suma da enerxía cinética de translación e a enerxía cinética de rotación.

Dous corpos ríxidos dise que son diferentes (non copias) se non hai rotación propia dun a outro.

Un corpo ríxido chámase quiral se a súa imaxe en espello é diferente nese sentido, é dicir, se non ten simetría ou o seu grupo de simetría só contén rotacións propias. No caso contrario un obxecto chámase aquiral: a imaxe especular é unha copia, non un obxecto diferente.

O espazo de configuración dun corpo ríxido cun punto fixo (é dicir, un corpo con movemento de translación cero) vén dado pola variedade subxacente do grupo de rotación SO(3). O espazo de configuración dun corpo ríxido non fixo (con movemento de translación distinto de cero) é E⁺(3), o subgrupo das isometrías directas do grupo euclidiano de tres dimensións, isto é, combinacións de translacións e rotacións.

Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  Corpo ríxido

• Roy Featherstone (1987). Robot Dynamics Algorithms. Springer. ISBN 0-89838-230-0. 

• Andy Ruina e Rudra Pratap (2015). Introduction to Statitics and Dynamics. Oxford University Press.  (ligazón: [2]).
• Prof. Dr. Dennis M. Kochmann, Dynamics Lecture Notes, ETH Zurich. [3]

• Velocidade angular
• Rotación diferencial
• Dinámica do corpo ríxido
• Ecuacións de Euler (dinámica do corpo ríxido)
• Rotor ríxido
• Mecánica xeométrica
• Mecánica clásica

JPL DARTS ten unha sección sobre álxebra de operadores espaciais así como unha extensa lista de referencias