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En mathématiques, le théorème de Cauchy-Lipschitz est un théorème qui assure l'existence locale et l'unicité de la solution d'une équation différentielle. Énoncé par Augustin Louis Cauchy en 1820, c'est Rudolf Lipschitz qui lui donnera sa forme définitive en 1868. Dans de nombreux pays, l'appellation la plus courante est celle de théorème de Picard-Lindelöf, du nom des mathématiciens Émile Picard et Ernst Lindelöf.

Un vocabulaire doit être précisé pour permettre d'exprimer le théorème. Dans tout le reste de l'article, E désigne un espace de Banach, Ω un ouvert de RxE et f une fonction continue de Ω dans E. L'objectif est d'étudier l'équation différentielle du premier ordre suivante :

${\displaystyle (1)\quad {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}(t)=f(t,x(t))}$

Avec la condition de Cauchy C : x(t₀) = x₀, où le couple (t₀, x₀) est un élément de Ω.

Il existe plusieurs manières d'exprimer le théorème de Cauchy-Lipschitz, l'une des plus générales est la suivante^[1] :

• Si la fonction f est localement lipschitzienne par rapport à la deuxième variable, il existe une et une seule solution maximale à l'équation (1) respectant la condition de Cauchy C. Son intervalle de définition est ouvert^[2].

Ce théorème dispose des corollaires suivant :

• Sous les mêmes conditions que le théorème, si σ est une solution de l'équation différentielle (1) respectant la condition C et définie sur un intervalle, cet intervalle est inclus dans celui de la solution maximale et la restriction de la solution maximale à cet intervalle est confondue avec σ.
• Les graphes des solutions maximales forment une partition de Ω.

Plusieurs termes ne sont pas nécessairement intuitifs, ce paragraphe propose les définitions.^{[Note 1]}

Un espace de Banach^[3] est un espace vectoriel normé et complet, c'est à dire que toute suite de Cauchy converge. Un exemple simple est un espace vectoriel réel normé de dimension finie. Pour une compréhension plus facile, le lecteur peut imaginer que E désigne par exemple l'ensemble des nombres réels. Dans l'article tous les Banach considérés sont des espaces réels.

Si ce terme n'a pas été utilisé ici pour l'expression du théorème et de ses corollaires, on le trouve néanmoins fréquemment dans la littérature.

• Une courbe intégrale^[4] de l'équation (1) est une fonction d'un intervalle de R dans E dont le graphe est élément de Ω et qui est solution de l'équation (1).

L'équation différentielle (1) possède plusieurs solutions maximales, mais si le couple (t₀, x₀) appartient à Ω, il existe une seule solution maximale s qui vérifie s(t₀) = x₀. Ce qui amène aux définitions suivantes :

• Une condition de Cauchy C est un couple (t₀, x₀) élément de Ω. Une fonction s définie sur un intervalle de R et à valeurs dans E solution de l'équation (1) vérifie la condition de Cauchy C si, et seulement si, l'intervalle contient t₀ et s(t₀) = x₀.

Cette définition est un peu intuitive. Si l'équation différentielle modélise un courant parcourant une étendue d'eau, c'est à dire qu'à l'instant t et au point x le courant est égal à f(t,p), il est possible de poser dans l'eau un bouchon à l'instant t₀ au point x₀, la trajectoire du bouchon est la solution de l'équation. Il existe bien une solution pour chaque couple (t₀, x₀) (qui peuvent d'ailleurs être confondues).

Remarque : A la place de l'expression condition de Cauchy, on parle parfois de condition initiale^[5]. Les deux expressions sont synonymes.

Résoudre le problème de Cauchy^[6] consiste à trouver une solution de l'équation (1) vérifiant la condition de Cauchy C.

Pour que les hypothèses du théorème soient vérifiées, il est nécessaire que la fonction f vérifie une propriété de régularité. Si P(Ω) est la projection canonique sur E de Ω :

• La fonction f est dite localement lipschitzienne par rapport à la deuxième variable si, et seulement si, pour tout x de P(Ω) , il existe un réel k strictement positif et un voisinage V de x dans P(Ω) tel que :

${\displaystyle \forall (t,x_{1}),(t,x_{2})\in \Omega \quad {\text{avec}}\quad x_{1},x_{2}\in V\quad \|f(t,x_{1})-f(t,x_{2})\|\leq k\|x_{1}-x_{2}\|}$

Considérons l'ensemble S des solutions de l'équation (1) vérifiant la condition de Cauchy C et définies sur un intervalle. Cet ensemble est munis d'une relation d'ordre. Une solution s₁ de S est plus petite qu'une solution s₂ de S lorsque le domaine de définition de s₁ est inclus dans celui de s₂.

• Une courbe intégrale de S est dite maximale si, et seulement si, elle l'est pour la relation d'ordre définie dans ce paragraphe.

L'équation (1) est dite du premier ordre. Dans le cas général, une équation différentielle d'ordre n est du type^[7], si g désigne une fonction définie sur un ouvert de RxEⁿ :

${\displaystyle (2)\quad {\frac {\mathrm {d} ^{n}x}{\mathrm {d} t^{n}}}(t)=g\left(t,x(t),{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}(t),\cdots ,{\frac {\mathrm {d} ^{n-1}x}{\mathrm {d} t^{n-1}}}(t)\right)}$

Il peut sembler étonnant de restreindre le théorème uniquement aux équations du premier ordre. En fait, le théorème se généralise aisément à une équation d'ordre n. L'équation (2) peut se lire^[8] aussi comme une équation du premier ordre à valeur dans Eⁿ de variable y(t) = (x₁(t),...,x_n(t)). L'équation (2) s'écrit encore :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}(t)=f(t,y(t))\quad {\text{avec}}\quad f(t,y(t))={\Big (}t,x_{2}(t),x_{3}(t),\cdots ,x_{n}(t),g(t,x_{1}(t),\cdots x_{n}(t)){\Big )}}$

La solution est alors la première coordonnée de la fonction y(t).

Si l'on affaiblie les hypothèses en ne supposant que la continuité en y de f(x,y) au voisinage de (x0, y0) donc sans la condition de Lipschitz, il se peut qu'il n'y ait pas unicité de la solution. C'est par exemple le cas dans les exemples suivants donnés par Peano^[9]

L'équation ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=3x^{2/3}}$ où le second membre est continu en x=0 sans être lipschitzien, admet les solutions x=t^3 et x=0 qui s'annulent toutes les deux en t=0 ainsi que les fonctions qui sont nulles dans l'intervalle [0,a] et qui prennent la valeur (t-a)^3 pour t>a.

L'équation ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\frac {4xt^{3}}{x^{2}+t^{4}}}}$ toujours avec la condition y(0)=0, admet les cinq solutions (C étant une constante arbitraire positive)

1. ${\displaystyle x(t)=t^{2}}$
2. ${\displaystyle x(t)=-t^{2}}$
3. ${\displaystyle x(t)=0}$
4. ${\displaystyle x(t)=C-{\sqrt {C^{2}+t^{4}}}}$
5. ${\displaystyle x(t)={\sqrt {C^{2}+t^{4}}}-C}$

L'origine de la question traitée par le théorème est ancienne, elle porte initialement le nom de « problème inverse des tangentes »^[10]. A chaque point de l'espace, une droite est associée, le problème à résoudre est de trouver la courbe ayant, comme tangente en chaque point, une de ces droites, ce qui correspond en terme moderne à une équation différentielle autonome, de la forme x' = f(x). Kepler est un initiateur de cette question dans une étude sur la contenance d'un tonneau de vin en 1615^[11]. Si cette question est abordée par des mathématiciens comme Descartes, Fermat ou Roberval, qui développent cette approche dans des cas particuliers durant le XVII^e siècle, le progrès essentiel est l'œuvre de Newton et Leibnitz avec la découverte du calcul infinitésimal^[12]. Newton cherche surtout à obtenir un résultat à l'aide d'une série, Leibnitz recherche aussi des solutions exactes, sous forme de primitives de fonctions connues^[13].

Le siècle suivant est l'objet d'une systématisation de l'étude. Dans un premier temps « Des trésors d'ingéniosité ont été dépensés pour ramener à des quadratures d'innombrables équations différentielles particulières et comme l'écrit Painlevé : la vague s'arrêta quand tout ce qui était intégrable, dans les problèmes naturels fût intégré. »^[14]. Euler, en 1768 étudie la manière d'approximer une solution^[15]. Il étudie le cas particulier x'(t) = f(t) et cherche une solution sur un intervalle [a, b]. Pour se faire, il partitionne l'intervalle à l'aide d'une suite a₀ = a, a₁, ..., a_n = b et, si c est élément de l'intervalle [a_i, a_i+1] il propose l'approximation suivante :

${\displaystyle x(c)\approx x(a)+\sum _{j=0}^{i}(a_{j+1}-a_{j})f(a_{j})}$

Dans le cas plus général de l'équation x'(t) = f(t, x(t)), il utilise la même méthode, qui donne :

${\displaystyle x_{0}=x(a),\;x_{1}\approx x_{0}+(a_{1}-a_{0})f(a_{1},x_{0}),\;\cdots ,\;x(a_{i})\approx x_{0}+\sum _{j=0}^{i}(a_{j+1}-a_{j})f(a_{j},x_{j-1})}$

Euler ne se pose pas la question de la convergence si le découpage est de plus en plus fin.

Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) établit les premiers résultats généraux. Dans un premier temps, il précise sa méthode « Dans mes leçons données à l'École Polytechnique, comme dans la plupart des ouvrages ou mémoires que j'ai publié sur le calcul intégral, j'ai cru devoir renverser cet ordre et placer placer en premier lieu la recherche, non pas des intégrales générales, mais des particulières; en sorte que la détermination des constantes ou des fonctions arbitraires [pour l'équation aux dérivées partielles] ne fût plus séparée de la recherche des intégrales. »^[16]. Ce que Cauchy décrit ici est la démarche formalisée par le problème de Cauchy.

A l'aide de la formalisation de la notion de limite par Bolzano, son approche lui permet d'aller plus loin. La question x' = f(x) sur l'intervalle [a, b], si on lui ajoute la condition de Cauchy x(a) = x₀, change de nature. Ce n'est plus la recherche d'une primitive de f, mais le calcul d'une intégrale. Il montre que, avec les notations du paragraphe précédent, si a_i+1 - a_i tend vers 0 et que f est continue, la limite converge. Cette démarche est appliquée à l'équation x'(t) = f(t, x(t)) dans le cas où f, ainsi que sa différentielle sont continues et bornées, avec les mêmes conditions, on obtient encore une convergence. C'est la première version du théorème de l'article^[17]. En 1835, sa méthode est généralisée aux fonctions holomorphes^[18].

Rudolf Lipschitz (1332 - 1903) reprend la même direction que son prédécesseur Cauchy, sans manifestement connaître la teneur de ses travaux. Il ne suppose plus que f possède une différentielle continue et bornée mais uniquement qu'elle vérifie la condition qui porte maintenant son nom. Cauchy utilise dans sa démonstration originale cette même propriété, mais la déduit à l'aide de l'une de ses découvertes, qu'il affectionne particulièrement : le théorème des accroissements finis^[19].^{[Note 2]}

Paul Painlevé (1863 - 1933) avec Picard s'intéresse aux singularités des équations différentielles de premier et second ordre. C'est dans ce contexte qu'il établit l'existence et l'unicité d'une solution maximale, généralisant ainsi le résultat de Cauchy^[20].^{[Note 3]}

Pour comprendre le mécanisme de la preuve, illustrons là sur un cas particulier d'équation différentielle définissant la courbe logistique, avec la condition de Cauchy C :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=x-x^{2}\quad {\text{avec la condition C :}}\quad x(0)={\frac {1}{2}}}$

On définit une suite de fonctions polynomiales (u_n) par récurrence :

${\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} \quad u_{0}(t)={\frac {1}{2}}\quad {\text{et}}\quad u_{n+1}(t)={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{t}u_{n}(\tau )-u_{n}^{2}(\tau )\,\mathrm {d} \tau }$

Sur l'intervalle [-5/2, 5/2], la suite (u_n) converge uniformément. Sa limite est un point fixe de la fonction φ qui à une fonction continue f de [-5/2, 5/2] dans R associe la fonction φ_f :

${\displaystyle \varphi _{f}(t)={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{t}f(\tau )-f^{2}(\tau )\,\mathrm {d} \tau }$

En dérivant l'égalité φ_u = u, on vérifie que u est bien une solution de l'équation différentielle étudiée et par construction u(0) = 1/2. Cette démarche est celle de la démonstration de Rudolf Lipschitz. Il constate que si l'intervalle est bien choisi, la fonction φ vérifie la condition de Lipschitz avec un coefficient strictement plus petit que 1, elle est donc contractante, ce qui permet de faire usage du théorème du point fixe. Comme une application contractante n'admet qu'un unique point fixe, l'unicité d'une solution locale est démontrée.

Cette méthode permet de trouver localement une solution. En revanche, pour la valeur 3, la suite (u_n) diverge. Cependant rien n'empêche de répéter la même démarche avec les deux conditions de Cauchy (5/2, u(5/2)) et (-5/2, u(-5/2)), il devient ainsi possible de prolonger la solution, quitte à réitérer la démarche une infinité de fois, jusqu'à obtenir une solution maximale.

La démarche possède un intérêt surtout théorique. Dans le cas particulier de l'exemple, il est aisé d'intégrer directement l'équation différentielle^{[Note 4]}. Dans le cas général, il existe des méthodes plus rapides pour obtenir une approximation de la solution, comme celle d'Euler décrite dans la partie histoire ou encore celle de Runge-Kutta. En revanche, il est possible de démontrer, le cadre du théorème de l'article qu'une fonction construite comme φ est contractante, ce qui montre l'existence et l'unicité d'un point fixe, ici solution de l'équation différentielle.

On considère, dans un premier temps, le cas où la fonction f ne dépend pas de la variable t. L'équation (1) s'écrit : x'(t) = f(t) et l'ouvert Ω est maintenant un ouvert de E. Une telle équation différentielle est dite autonome. L'objectif de ce paragraphe est de montrer que l'équation (1) admet localement une unique solution satisfaisant la condition de Cauchy C. On suppose de f est localement lipschitzienne . Comme Ω est un ouvert, il existe un réel strictement positif a tel que la boule, noté B, fermée de centre x₀ et de rayon a soit inclus dans Ω et tel que la fonction f soit k-lipschitzienne avec k strictement supérieur à 0^{[Note 5]}. Soit m un majorant strictement positif de la norme de f sur B, qui existe car f est k-lipschitzienne sur B. Soit enfin b un entier positif, strictement plus petit que a/m et que 1/k. Ce réel b permet de définir un espace de fonctions sur lequel on définit une application contractante.

Soit F_x0 l'ensemble des fonctions de [-b + t₀, b + t₀] à valeurs dans B, m-lipschitziennes et dont l'image de t₀ soit égale à x₀.

• Lemme 1 : Munis de la norme de la convergence uniforme, F_x0 est un espace complet.

Il devient maintenant possible de définir de manière générale la fonction φ du paragraphe précédent. C'est une fonction définie sur F_x0, qui à la fonction u associe la fonction φ_u définie par :

${\displaystyle \forall t\in [-b+t_{0},b+t_{0}]\quad \varphi _{u}(t)=x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(u(\tau ))\mathrm {d} \tau }$

Deux lemmes sont nécessaire pour pouvoir appliquer le théorème du point fixe :

• Lemme 2 : La fonction φ est à valeurs dans F_x0.

Une application est dite contractante lorsqu'elle est α-lipschitzienne avec α strictement plus petit que 1.

• Lemme 3 : La fonction φ est contractante.

Les hypothèses du théorème du point fixe sont réunies, on en déduit que φ admet un unique point fixe s dans F_x0. En remarquant que la fonction qui à τ associe f(s(τ)) est continue on en déduit que s est une application continument dérivable. En dérivant l'égalité définissant φ_s, on en déduit l'existence et l'unicité d'une fonction de F_x0 qui vérifie :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} s(t)}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \varphi _{s}(t)}{\mathrm {d} t}}=f(s(t))\quad {\text{avec}}\quad s(t_{0})=x_{0}}$

Ce qui se résume en un premier théorème :

• Théorème : Il existe une unique fonction définie sur [-b + t₀, b + t₀] solution de l'équation (1) et vérifiant la condition de Cauchy C.^{[Note 6]}

Une méthode pratique pour trouver le point fixe est de construire une suite (u_n) qui vérifie la relation de récurrence : u_n+1 = φ_un, la suite converge nécessairement vers le point fixe. Cette technique est celle utilisée dans le préambule.

Démonstrations des lemmes

• Munis de la norme de la convergence uniforme, F_x0 est un espace complet :

Pour montrer ce lemme, il suffit de montrer qu'une suite de Cauchy (u_n) de F_x0 converge vers un élément de F_x0. L'espace des fonctions continues définie sur [-b + t₀, b + t₀] et à valeurs B est complet car B l'est. La suite (u_n) admet donc une limite u à valeurs dans B, il suffit de montrer que cette limite est m-Lipschitzienne. Le fait que la suite (u_n) converge uniformément vers u montre que si ε est un réel strictement positif :

${\displaystyle \exists N\in \mathbb {N} ,\;\forall x,y\in B,\;\forall n\geq N\quad \|u_{n}(x)-u(x)\|\leq {\frac {\epsilon }{2}}\;{\text{et}}\;\|u_{n}(y)-u(y)\|\leq {\frac {\epsilon }{2}}}$

Le fait que toutes les fonctions de F_x0 soient m-lipschitziennes, montre que :

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\;\forall x,y\in B\quad \|u_{n}(x)-u_{n}(y)\|\leq m\|x-y\|}$

On en déduit, si n est un entier plus grand que N :

${\displaystyle \forall x,y\in B\quad \|u(x)-u(y)\|\leq \|u(x)-u_{n}(x)\|+\|u_{n}(x)-u_{n}(y)\|+\|u_{n}(y)-u(y)\|\leq m\|x-y\|+\epsilon }$

La dernière majoration est vraie pour tout ε strictement positif, ce qui montre que la fonction u est bien m-lipschitzienne.

• La fonction φ est à valeurs dans F_x0 :

Soit u une fonction de F_x0, φ_u est une fonction à valeurs dans E dont l'image de t₀ est égale à x₀. Il suffit de montrer qu'elle prend ses valeurs dans B et qu'elle est m-lipschitzienne. Montrons dans un premier temps qu'elle est m-lipschitzienne. Soient t₁ et t₂ deux éléments de [-b + t₀, b + t₀], on a :

${\displaystyle \|\varphi _{u}(t_{1})-\varphi _{u}(t_{2})\|=\left\|\int _{t_{1}}^{t_{2}}f(u(\tau ))\mathrm {d} \tau \right\|\leq \left|\int _{t_{1}}^{t_{2}}\|f(u(\tau ))\|\mathrm {d} \tau \right|\leq m|t_{1}-t_{2}|}$

La dernière majoration montre que φ_u est m-lipschitzienne, il reste à montrer qu'elle est à valeurs dans B. Soit t un élément de [-b + t₀, b + t₀], il faut montrer que φ_u(t) est à une distance inférieure ou égale à 2.a de x₀ :

${\displaystyle \|\varphi _{u}(t)-x_{0}\|=\left\|\int _{t_{0}}^{t}f(u(\tau ))\mathrm {d} \tau \right\|\leq \left|\int _{t_{0}}^{t}\|f(u(\tau ))\|\mathrm {d} \tau \right|\leq m.b<a}$

Cette dernière majoration montre que φ_u est à valeurs dans B et termine la démonstration du lemme.

• La fonction φ est contractante :

Soit u et v deux fonctions de F_x0, déterminons la distance entre leurs deux images par φ. Soit t un élément de [-b + t₀, b + t₀] :

${\displaystyle \|\varphi _{u}(t)-\varphi _{v}(t)\|=\left\|\int _{t_{0}}^{t}f(u(\tau ))-f(v(\tau ))\mathrm {d} \tau \right\|\leq \left|\int _{t_{0}}^{t}\|f(u(\tau ))-f(v(\tau ))\|\mathrm {d} \tau \right|\leq bk\|u-v\|}$

Par définition de b, le réel bk est strictement plus petit que 1, ce qui montre le caractère contractant de φ.

 

Le paragraphe précédent n'offre encore aucune information sur l'existence ou l'unicité d'une solution globale vérifiant la condition de Cauchy C. Ces résultats, plus tardifs, sont presque une conséquence directe du paragraphe précédent. On peut les résumer de la manière suivante^[21]:

• Théorème : Il existe une unique solution de l'équation (1), vérifiant la condition C et maximale. Tout autre solution, définie sur un intervalle J, est confondue avec la restriction de la solution maximale sur J et J est inclus dans l'intervalle de définition de la solution maximale.

• Proposition : L'intervalle de définition d'une solution maximale est ouvert.

A l'aide d'un habile jeu d'écriture^[22], il est possible de généraliser le cas particulier précédent aux équations dépendantes du temps. On considère maintenant l'équation (1) du théorème, associée à la condition de Cauchy C. Soit g, la fonction de Ω dans le Banach RxE, définie par :

${\displaystyle \forall y\in \Omega \quad g(y)=(1,f(y))\quad {\text{avec}}\quad y=(t,x)}$

Si y₀ désigne le point de Ω égal à (t₀, x₀), on considère l'équation différentielle et la condition de Cauchy suivante :

${\displaystyle (2)\quad y'=g(y)\quad {\text{avec la condition de Cauchy }}C_{2}\quad y(t_{0})=y_{0}}$

La fonction g est localement lipschitzienne si f l'est. En effet, si y est un élément de Ω, il existe un voisinage V de y et le réel k strictement positif associée à f (qui est localement lipschitzienne par rapport à la deuxième variable) tel que, si les coordonnées de y₁ (resp. y₂), un point de V, sont notées ((t₁, x₂) (resp. (t₂, x₂))

${\displaystyle \|g(y_{1})-g(y_{2})\|=\|(1,f(y_{1}))-(1,f(y_{2}))\|=\|f(t_{1},x_{1})-f(t_{2},x_{2})\|\leq k\|(t_{1}-t_{2},x_{1}-x_{2})\|}$

Le théorème annoncé est néanmoins un peu plus fort que le résultat issu de la remarque précédente. Le théorème général ne suppose pas que f est localement lipschitzien, mais uniquement que f continue et localement lipschitzien par rapport à la deuxième variable. En fait, pour se rendre compte que ces hypothèses suffisent, il suffit de remarquer que le caractère lipschitzien n'intervient qu'à deux endroits, dans la démonstration.

Dans un premier temps, il apparaît nécessaire que l'image par g de la boule B soit majorée. Remarquons tout d'abord, avec les notations des paragraphes précédents, que la fonction de [-b + t₀, b + t₀] dans Ω, qui à t associe ||f(t, x₀)|| est continue d'un compact dans R₊, elle est donc majorée. Soit m₁ un tel majorant. Montrons maintenant que g est borné sur B. Soit y égal à (t,x) un point de B :

${\displaystyle \|g(y)\|\leq \|g(y_{0})\|+\|g(y_{0})-g(y)\|\leq \|g(y_{0}\|+\|f(t_{0},x_{0})-f(t,x_{0})\|+\|f(t,x_{0})-f(t,x)\|\leq \|g(y_{0})\|+m_{1}+ka}$

On dispose donc d'un majorant de la norme de g(y) indépendant de y si y est un élément de B.

Le deuxième endroit de la démonstration où le caractère lipschitzien apparait est celui qui prouve que la fonction φ (maintenant définie à l'aide de la fonction g) est bien contractante. Cette fois ci, F_x0 est l'ensemble des fonctions u₁(t) de [-b + t₀, b + t₀] dans B, qui à t associe (t, u(t)) où u(t) est une fonction m-lipschitzienne, à valeurs dans E et qui vaut x₀ en t₀. Les mêmes calculs montrent que F_x0 est stable par φ et que φ est bien contractant. Pour montrer que φ est contractant, on considère encore deux fonctions u₁ et v₁ de F_x0 :

${\displaystyle \|\varphi _{u_{1}}(t)-\varphi _{v_{1}}(t)\|=\left\|\int _{t_{0}}^{t}g(u_{1}(\tau ))-g(v_{1}(\tau ))\mathrm {d} \tau \right\|\leq \left|\int _{t_{0}}^{t}\|f(\tau ,u(\tau ))-f(\tau ,v(\tau ))\|\mathrm {d} \tau \right|\leq bk\|u-v\|=bk\|u_{1}-v_{1}\|}$

Le théorème de Cauchy-Lipschitz assurant l'existence et l'unicité de la solution d'une équation différentielle admet une extension aux équations aux dérivées partielles : le théorème de Cauchy-Kovalevskaïa.

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