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Carré parfait

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En mathématiques, un carré parfait (ou nombre carré s'il est non nul, voire simplement carré s'il n'y a pas ambiguïté) est le carré d'un entier. Dans le système de numération décimal, le chiffre des unités d'un carré parfait ne peut être que 0, 1, 4, 5, 6, ou 9.

Définition et liste

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Un carré parfait est le carré d'un entier naturel.

Un nombre carré est un nombre polygonal (donc entier strictement positif) qui peut être représenté géométriquement par un carré de n × n points. Les nombres carrés sont donc les carrés parfaits non nuls, le n-ième étant n2.

Les 70 plus petits carrés parfaits sont[Note 1] :

02 = 0 52 = 25 102 = 100 152 = 225 202 = 400 252 = 625 302 = 900 352 = 1 225 402 = 1 600 452 = 2 025 502 = 2 500 552 = 3 025 602 = 3 600 652 = 4 225
12 = 1 62 = 36 112 = 121 162 = 256 212 = 441 262 = 676 312 = 961 362 = 1 296 412 = 1 681 462 = 2 116 512 = 2 601 562 = 3 136 612 = 3 721 662 = 4 356
22 = 4 72 = 49 122 = 144 172 = 289 222 = 484 272 = 729 322 = 1 024 372 = 1 369 422 = 1 764 472 = 2 209 522 = 2 704 572 = 3 249 622 = 3 844 672 = 4 489
32 = 9 82 = 64 132 = 169 182 = 324 232 = 529 282 = 784 332 = 1 089 382 = 1 444 432 = 1 849 482 = 2 304 532 = 2 809 582 = 3 364 632 = 3 969 682 = 4 624
42 = 16 92 = 81 142 = 196 192 = 361 242 = 576 292 = 841 342 = 1 156 392 = 1 521 442 = 1 936 492 = 2 401 542 = 2 916 592 = 3 481 642 = 4 096 692 = 4 761

Propriétés

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On considère a, b, et c des entiers naturels.

  • 1. Si a et b sont des carrés parfaits, alors le produit ab est aussi un carré parfait.
  • 3. ab ≠ 0 ; si ab est un carré parfait et si a et b sont premiers entre eux, alors a et b sont aussi des carrés parfaits[1].
    Ne pas oublier la seconde condition. Par exemple : 12×3 = 62, mais 12 et 3 ne sont pas premiers entre eux ; 12 et 3 ne sont pas des carrés parfaits.
  • 4. a ≠ 0 ; a(a + 1) et a(a + 2) ne sont pas des carrés parfaits.
  • 6. Un carré parfait ne peut se terminer que par 0, 1, 4, 5, 6, ou 9 dans le système décimal.


Les mathématiciens se sont souvent intéressés à certaines curiosités concernant les nombres carrés. La plus connue, notamment pour sa référence au théorème de Pythagore, est l'égalité 32 + 42 = 52, le plus petit des triplets pythagoriciens. D'après le théorème de Fermat-Wiles, démontré en 1995, il n'y a que les nombres carrés qui peuvent former une identité comme celle des triplets pythagoriciens. Par exemple, il n'y a aucune solution à l'équation a3 + b3 = c3 avec a, b, et c entiers non nuls.

  • 7. La représentation du 1-ier nombre carré, 1, est un point. Celle du n-ième, n2, s'obtient en bordant deux côtés consécutifs du (n − 1)-ième carré de points par un « L » de 2n – 1 points, c.-à-d. en lui adjoignant le (n − 1)-ième gnomon :

1 = 12
       
1 + 3 = 4 = 22
       
4 + 5 = 9 = 32
       
9 + 7 = 16 = 42
       
1 + 3 + 5 + 7 = 42
Cette propriété fournit un moyen pratique pour former une table de carrés[2]. Elle est aussi utilisée comme méthode d'extraction de racine carrée, y compris avec un boulier.
Animation de deux vues d'un tétraèdre pour illustrer que la somme des n plus petits nombres impairs égale n2. (Ne pas confondre avec les nombres tétraédriques, dont les représentations comportent des points aussi à l'intérieur des tétraèdres.)
La somme du 3e et du 4e nombres triangulaires égale le 4e nombre carré.
  • 9. Le n-ième nombre carré est égal à la somme du n-ième et du (n − 1)-ième nombres triangulaires :
  • 12. est un carré parfait. Plus précisément :

Démonstrations

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  • 2. Si a ≠ 0 est un carré parfait, alors il existe un entier m > 0 tel que a = m2. En notant la décomposition de en produit de facteurs premiers, on déduit : donc tous les exposants dans la décomposition de a sont pairs.
Réciproquement : si tous les exposants dans la décomposition de a sont pairs, alors a est de la forme
  • 3. Supposons que pgcd(a, b) = 1 et que ab = n2
Notons c = pgcd(a, n). On a :
De même, notons d = pgcd(b, n). On a :
b = d2.
  • 4. Il suffit de remarquer que
  • 5. Par la propriété 3, a est un carré parfait si et seulement si les exposants jp dans sa décomposition en produit de facteurs premiers sont tous pairs, ce qui équivaut à l'imparité du produit Or ce produit est le nombre de diviseurs de a.

Concept associé

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On dit qu'un entier q est un résidu quadratique modulo un entier m s'il existe un entier n tel que :

.

Ce concept permet notamment de démontrer que certaines équations diophantiennes n'admettent pas de solution. Par exemple, avec k entier, l'équation n'admet pas de solution dans . En effet, les résidus quadratiques modulo 4 étant 0 et 1, un carré parfait ne peut pas posséder un reste égal à 2 dans la division euclidienne par 4.

Calcul mental

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On peut calculer mentalement les carrés des nombres entiers s'écrivant avec deux (voire trois) chiffres en notation décimale assez facilement[3]. Soit un nombre x s'écrivant , avec b un chiffre non nul. On obtient son carré facilement en calculant de la façon suivante :

  • si b est compris entre 1 et 4,
  • si b est égal à 5,
  • si b est compris entre 6 et 9, avec .

Cela réduit la difficulté du calcul au produit d'un nombre de deux chiffres par un nombre réduit à un chiffre, et à l'élévation au carré des nombres 1 à 4. Ainsi :

Notes et références

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  1. suite A000290 de l'OEIS

Références

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  1. « Cours d'arithmétique », sur Animath, p. 56.
  2. Anna et Élie Cartan, Arithmétique : Classes de 4e et de 3e, Paris, Armand Colin, , 5e éd., p. 161, paragraphe no 237.
  3. Y. Pérelman, L'algèbre récréative, Éditions Mir, Moscou, , 91-94 p.

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Articles connexes

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Lien externe

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Carré parfait sur recreomath.qc.ca