Discussion:Théorie des ensembles

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Si tout le monde est à peu près d'accord sur le contenu de la théorie naïve des ensembles, il existe par contre PLUSIEURS théories axiomatiques des ensembles, telles que:

• - la théorie de Zermelo-Fränkel (ZF en abrégé)
• - celle de von Neumann, Bernays et Gödel (NBG en abrégé)
• - ou encore celle des types de Russell
• - ...

La plus "sécurisée" est celle des types de Russell : il est certain qu'aucun paradoxe ne peut s'y nicher, mais elle est extrêmement lourde à l'usage.

La plus subtile est la théorie NBG qui introduit une notion de classe (ou plutôt d'univers) à côté des ensembles pour résoudre les paradoxes connus.

La plus employée demeure toutefois la théorie ZF, mais ses axiomes ont évolué au cours du temps...

De plus, il existe des variantes de cette théorie suivant que l'on accepte ou refuse certains axiomes (l'exemple le plus connu est celui de l'axiome du choix, qui affirme en substance qu'il est toujours possible de faire un choix au sein d'une infinité d'objets, ce que contestent les intuitionnistes)...

je suis d'accord, faudrait inclure tout ça dans la page. Tom 22 déc 2004 à 13:58 (CET)

On peut résoudre le paradoxe de Russell en considérant qu'il n'existe pas deux classes d'ensembles distincts (ceux qui s'appartiennent et ceux qui ne s'appartiennent pas) mais deux propriétés complémentaires d'un même ensemble. Ainsi, tout ensemble non vide serait en même temps élément et non élément de lui-même. Il est évident que cette démarche présuppose une approche nouvelle de la relation d'appartenance.

Ianop 4 juin 2007 à 09:46 (CEST)[répondre]

Théorie des ensembles (A) est beaucoup trop court vu le sujet, en fait le vrai article sur la théorie des ensembles est Théorie axiomatique des ensembles (B) qui devrait être légèrement retouché et renommé en Théorie des ensembles (cf. la page de discussion).

Cela dit je ne sais pas comment procéder. Je ne peux pas copier B dans A et faire de B une redirection sur A car alors je perds l'historique de B ; je ne peux pas non plus renommer B car l'article A existe avec le titre que je convoite... Des idées quelqu'un ?

Laurent de Marseille (d) 31 août 2008 à 00:32 (CEST)[répondre]

D'accord pour moi. si je ne dis pas de bêtise on peut :

1. recopier le contenu de Théorie axiomatique des ensembles dans Théorie des ensembles ;
2. transformer Théorie axiomatique des ensembles en redirect sur Théorie des ensembles ;
3. demander ici en suivant l'onglet ad hoc à un administrateur de pratiquer la fusion des historiques pour ne pas perdre celui de Théorie axiomatique des ensembles.

Proz (d) 31 août 2008 à 00:52 (CEST)[répondre]

OK c'est bien ça la procédure de fusion.--Michel421 (d) 31 août 2008 à 09:56 (CEST)[répondre]

Bon, je vais faire ça ; j'attends quelques jours toutefois pour être sûr que personne n'a d'objection majeure. Laurent de Marseille (d) 31 août 2008 à 18:46 (CEST)[répondre]

Sur la fusion, pas d'objection de mon côté; maintenant sur la manière de faire (d'autres ici le diront sans doute), je crois que l'étape 1. de Proz ne convient pas : un copier-coller fait perdre l'historique d'un article et viole donc notre licence qu'est la GFDL. Donc :

1. supprimer Théorie des ensembles (demande à un admin)
2. renommer Théorie axiomatique des ensembles en Théorie des ensembles (renommage qui crée le redirect. (et on gagne une étape ;-).

Mais p.-e. que je me trompe : les admin ont je crois des outils plus efficaces pour faire de jolies fusions, mais là je ne sais pas. --Epsilon0 ε₀ 31 août 2008 à 20:59 (CEST)[répondre]

La démarche indiquée par Proz est très exactement celle décrite dans Aide:Fusion pas de souci.

Il faut tout transférer sans oublier les liens inter-wikis.

Ça me fait penser que dans l'historique de Algèbre des parties d'un ensemble il y a une version avec "l'ensemble-somme" qui relève de Opération ensembliste et je ne vois pas de moyen de la récupérer à moins d'aller chercher l'auteur (et faut-il déranger un admin pour ça?)--Michel421 (d) 31 août 2008 à 21:49 (CEST)[répondre]

Juste un petit mot pour apporter mon soutien moral à l'opération. Pierre de Lyon (d) 2 septembre 2008 à 19:01 (CEST)[répondre]

Je suis d'accord avec l'objection soulevée par Epsilon0 : en copiant-collant Théorie axiomatique des ensembles dans Théorie des ensembles on va perdre l'historique. Je sais bien que c'est la procédure préconisée dans Aide:Fusion, et qu'ensuite on fusionnera les deux historiques mais j'ai peur quand même qu'on y perde quelquechose. C'est pourquoi je suis assez séduit par la proposition de Epsilon0. Sauf que là on perdra l'historique de Théorie des ensembles et que je voudrais en garder le texte en guise d'introduction (je sais je suis compliqué)...Laurent de Marseille (d) 2 septembre 2008 à 20:27 (CEST)[répondre]

Il y a 51 liens inter-wikis dans Théorie des ensembles et 14 dans Théorie axiomatique des ensembles. Donc si tu supprimes Théorie des ensembles, tu perds 37 liens, ce serait donc extrêmement contre-productif. --Michel421 (d) 3 septembre 2008 à 00:41 (CEST)[répondre]

A priori la fusion des historiques permet de ne rien perdre de l'historique. L'ennui c'est qu'il devient assez illisible puisque les modifications qui concernent des articles au départ différents sont entremêlées, mais c'est la procédure standard, qui a surtout l'avantage d'être standard et de demander le moins d'énergie. Il va falloir effectivement faire attention aux interwikis, mais par exemple la version anglaise redirige déjà axiomatic set theory sur set theory. Proz (d) 3 septembre 2008 à 11:21 (CEST)[répondre]

Bon ça va, je me range à votre avis. De toute façon il n'y a pas une bonne solution, seulement plusieurs semi-bonnes... Laurent de Marseille (d) 3 septembre 2008 à 21:14 (CEST)[répondre]

Je crois finalement qu'il n'y pas grand danger de perdre quelque chose, l'admin qui se chargera à un moment ou un autre de l'opération saura sans doute "fusionner" les historiques ... sinon cela s'appelerait "remplacement", non? --Epsilon0 ε₀ 3 septembre 2008 à 21:28 (CEST) se part méditer sur ce que pourrait signifier une fusion de variables ... ah si par codage ou n-uplets, mais il existe p.-e. des idées plus sophistiquées que j'ignore. [répondre]

La fusion est faite. Théorie axiomatique des ensembles est morte, vive Théorie des ensembles ! Merci à tous pour vos conseils. Laurent de Marseille (d) 15 septembre 2008 à 07:50 (CEST)[répondre]

Je suis également partisan de conserver les deux articles. Pour d'autres raisons toutefois. L'article Théorie des ensembles est simple et permet d'orienter le lecteur vers l'article qui l'intéresse en fonction de sa curiosité et de ses connaissances en mathématiques. Théorie des ensembles est lisible par tout un chacun, Théorie axiomatique des ensembles ne l'est pas. C'est d'ailleurs à mon avis l'un des points négatifs de beaucoup d'articles mathématiques dans Wikipédia : l'incessante fuite en avant dans un excès de technicité les rend illisibles pour le commun des mortels, qui, n'en déplaise aux mathématiciens, représentent quand même la très grosse majorité de la population. L'article Théorie des ensembles devrait être développé au contraire pour, par exemple, mettre en évidence son rôle historique dans le débat mathématique. Goliadkine (d) 3 septembre 2008 à 05:01 (CEST)[répondre]

Je crois que tu as lu un peu vite ce qui précède : personne (à part toi) n'est pour le moment contre la fusion, c'est juste un débat sur les modalités. Sinon sur le fond, l'idée est effectivement d'avoir une introduction plus dans le style Théorie des ensembles. L'article Théorie axiomatique des ensembles n'est pas vraiment technique (mais nous somme sûrement capables d'être illisibles sans être techniques ... :) ), on pourrait même mettre éventuellement ailleurs le paragraphe sur les axiomes (il y a un article ZFC). L'aspect historique est déjà traité en partie dans Théorie axiomatique des ensembles (et ce qui est dit dans théorie des ensembles de la théorie de Cantor n'est d'ailleurs pas très correct). Nous sommes tous je crois d'accord pour que l'article Théorie des ensembles reste un article d'aiguillage, tout en donnant une idée de ce que recouvre le domaine "théorie des ensembles" en math (il n'est d'ailleurs pas encore suffisant de ce point de vue). Bref il s'agit d'une simplification de l'organisation des articles sur le sujet, avec une dichotomie théorie/théorie axiomatique qui n'a pas vraiment de sens. Je ne crois pas que ce que tu dénonces soit en jeu, et nous essayerons d'améliorer la lisibilité de l'article obtenu. Proz (d) 3 septembre 2008 à 11:45 (CEST)[répondre]

Il est vrai qu'un point d'entrée comme l'article Théorie des ensembles doit s'adresser à un public large ; mais il me semble que c'est justement le cas de Théorie axiomatique des ensembles, même si on peut le considérer imparfait (mais nous sommes là pour le parfaire s'pas ?).

L'article Théorie des ensembles est effectivement très simple et j'aime bien son texte (que j'ai d'ailleurs l'intention de conserver après la fusion) ; cela dit je ne vois pas l'intérêt de le développer puisque ce faisant on va essentiellement réécrire l'article Théorie axiomatique des ensembles. Par exemple le rôle historique de la théorie des ensembles dans le débat mathématique est déjà fortement esquissé dans Théorie axiomatique des ensembles, notamment dans la section sur l'axiome du choix. Rien n'empêche de développer encore plus cet aspect, mais ça ne résoudra pas le problème du double-emploi entre les deux articles qui est à l'origine de cette proposition de fusion.

Enfin sur la technicité de certains articles de maths, je ne crois pas qu'il faille l'éviter à tout prix : une encyclopédie doit s'adresser à plusieurs publics (et pas exclusivement au « commun des mortels ») et en tant que mathématicien j'apprécie de trouver dans wikipedia des réponses précises à certaines questions que je me pose (il m'arrive même d'aller chercher sur le wikipedia anglais qui est parfois plus complet, et donc en particulier plus technique, que la version française). Laurent de Marseille (d) 3 septembre 2008 à 21:14 (CEST)[répondre]

Il y a aussi une forte partie historique dans Théorie naïve des ensembles, cela te satisfait-il plus Goliadkine ? Cet article fait d'ailleurs un peu redondance, côté historique, avec Théorie axiomatique des ensembles, même si la partie "paradoxes" est plus développée. --Epsilon0 ε₀ 3 septembre 2008 à 21:22 (CEST)[répondre]

Comme une bonne part de l'article vient de celui-ci un lien sur la page de discussion :

Discuter:Théorie_axiomatique_des_ensembles

Dans les choses à faire :

• Je serais pour faire un peu de synthèse entre les deux intros (l'actuelle est quand même assez fausse quand elle affirme la théorie de Cantor permettait de construire n'importe quelle opération sur les ensembles).
• Parler de théorie naïve (une phrase d'introduction)
• Il faudrait aussi parler d'analyse (Théorème de Cantor-Bendixson ...), et de théorie descriptive (pas vraiment mon truc). Proz (d) 15 septembre 2008 à 22:36 (CEST)[répondre]

L'intro actuelle dit aussi "définit les notions primitives" ce qui est sans doute à corriger. Pour l'intro, qu'est-ce que tu penses de ceci :

La théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée initialement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIX^e siècle. Elle définit les concepts usuels des mathématiques, tels que nombres et fonctions, à partir des notions primitives d'ensemble et d'appartenance ; sa langue est suffisamment universelle pour formaliser toutes les structures utiles et ainsi, conjointement avec le calcul des prédicats, elle unifie le langage mathématique ; de sorte que David Hilbert a pu parler du "paradis que Cantor a créé".

Une théorie axiomatique des ensembles se présente généralement comme une suite d'assemblages d'éléments syntaxiques issus d'un langage du premier ordre ; alors qu'une théorie dite "naïve" même si elle énonce explicitement ses axiomes, est écrite dans le langage usuel.

--Michel421 (d) 16 septembre 2008 à 10:12 (CEST)[répondre]

Personnellement j'aime bien cette intro et ne suis pas favorable à y faire de grands changements. Il est vrai que la phrase « [la théorie dite naïve] supposait que l'on pouvait réaliser n'importe quelle opération sur les ensembles, sans aucune restriction » n'est pas très précise, mais elle n'est pas grossièrement fausse non plus ; on peut la remplacer par « [la théorie dite naïve] n'était pas assez précise sur les opérations autorisées sur les ensembles ».

Laurent de Marseille (d) 16 septembre 2008 à 18:26 (CEST)[répondre]

Je ne pense pas que cela soit à mettre dans l'intro ; ces questions sont assez bien ciblées dans le corps de l'article. --Michel421 (d) 16 septembre 2008 à 20:39 (CEST)[répondre]

L'affirmation que la "théorie" de Cantor puisse mener au paradoxe de Russell est également contestable. En fait Cantor a l'équivalent des classes et des ensembles (en étant un peu anachronique), et il pense très tôt à un infini absolu qui ne peut être celui d'un ensemble. Pour les aspects historiques il y a par ex. [1] qui est assez synthétique. On ne dit plus rien non plus du calcul des prédicats sous-jaccent (peut-être à mettre ailleurs qu'en intro ?). Ce qu'a relevé Michel (définir des notions primitives) ne va pas non plus. Est-ce que le souci est de garder une intro le plus accessible possible ? Que penses-tu de l'introduction de la version anglaise (celle-ci doit être une traduction d'une ancienne version) ? Proz (d) 16 septembre 2008 à 23:39 (CEST)[répondre]

Je persiste, je trouve cette intro très bien telle quelle en tout cas pour ce qui concerne son contenu. Elle est brève, synthétique et pose les grands thèmes de l'article, bref c'est une intro.

• Je ne suis pas d'accord pour lier dès l'introduction la théorie des ensembles avec le calcul des prédicats : avant d'être une théorie formalisée (et d'ailleurs pas que en calcul des prédicats) la théorie des ensembles est une théorie mathématique portant sur l'étude des... ensembles. C'est pour cela qu'elle commence par définir les notions d'ensembles et d'appartenance, tout comme l'arithmétique commence par définir la notion d'entier, la théorie des corps commence par définir la notion de corps, etc. La petite originalité de la théorie des ensembles (comme de l'arithmétique, et à la différence de la théorie des corps) est qu'elle ne repose sur aucune notion mathématique préalable ; c'est en cela que les notions qu'elle définit sont primitives.
• L'affirmation que la théorie de Cantor mène au paradoxe de Russell me semble d'autant plus incontestable que sinon je ne vois pas d'où sort le paradoxe de Russell ; il a bien été proposé comme réfutation des définitions de Cantor (je n'ai pas dit de la théorie de Cantor) et a motivé la recherche ultérieure des bons axiomes. Cela dit je comprends que cette formulation peut gêner, il suffit d'en trouver une autre, mais aucune formulation ne devrait occulter le fait que la théorie de Cantor était contradictoire et qu'il a fallut la corriger.
• Je pense effectivement qu'il faut garder une introduction la plus accessible possible ; ne pas la noyer dans les détails techniques ou dans le jargon de logicien. Cf. l'objection à la fusion de Goliadkine ci-dessus.
• Je trouve la version anglaise inférieure à celle-ci (soit dit sans cocorico), elle est légèrement plus longue mais évite des points clefs notamment le fait que la théorie des ensembles était une petite révolution à son époque ; elle omet également de mentionner qu'il y plusieurs formalisations possibles de la théorie mais par contre elle parle des diagrammes de Venn, entrant en plein dans les problèmes de jargon technique dès l'introduction.

Laurent de Marseille (d) 17 septembre 2008 à 12:25 (CEST)[répondre]

Ma proposition d'adjoindre "conjointement avec le calcul des prédicats" vient de la définition de Jech qui était dans l'autre article (comme Proz avait parlé de faire une synthèse). Elle ne "lie" pas le PC avec la théorie cependant ce n'est pas important, si ça te gêne on peut laisser tomber sans pb.

Quant à la question de savoir si la théorie de Cantor était ou non contradictoire, s'il y a désacord (tu dis oui, Proz dit non, moi très courageux je dirais que j'en sais rien), il vaut mieux ne pas trop en parler parce qu'on ne pourrait en dire beaucoup sans faire de TI. Ou alors si on a des références, dire que X a dit que c'était contradictoire et Y a dit que ce ne l'était pas. Mais pas dans l'intro. --Michel421 (d) 17 septembre 2008 à 14:00 (CEST)[répondre]

Tu as raison, dire que la théorie de Cantor était contradictoire est un peu exagéré car cela n'a de sens (mathématique) que pour une théorie complétement formalisée ; il n'en reste pas moins qu'elle laissait la place, faute d'avoir été formulée assez précisément (mais le calcul des prédicats n'existait pas à l'époque) à des paradoxes tel le paradoxe de Russell. Laurent de Marseille (d) 17 septembre 2008 à 16:26 (CEST)[répondre]

J'ai corrigé l'intro en essayant de tenir compte de vos commentaires. Est-ce que ça va mieux comme ça ? Laurent de Marseille (d) 17 septembre 2008 à 16:40 (CEST).[répondre]

Russell a donné son paradoxe pour la théorie de Frege, pas celle de Cantor. La théorie de Cantor était insuffisamment formalisée, sans nul doute, mais pas sans structure. il s'agit de constructions, méthodes, définitions, principes qui de plus ont évolué ... Russell, en 1903, dans les principles of mathematics qui "lancent" les paradoxes (dont le sien), pense que le paradoxe de Burali-Forti (c'est Russell qui l'a appelé ainsi), pourrait se résoudre parce que l'ordre sur les ordinaux n'est pas un bon ordre, on lit ça dans le van Heijenoort, (il n'a pas encore tout compris de ce que fait Cantor). Ce qu'on sait des intuitions de Cantor correspond tout de même assez bien au futur ZFC, comme le pensent j'ai l'impression les gens qui ont regardé d'un peu près historiquement (il faudrait effectivement les citer dans la suite de l'article, je ne garantis pas qu'ils aient écrit ça, mais il y a par exemple Michael Hallett, Grattan-Guiness, ...). Mais ça n'empêche pas que, comme ça n'était pas clair du tout, les paradoxes ont bien paru remettre en cause la théories de Cantor (et puis il y a aussi le paradoxe de Richard). J'ai probablement eu tort d'insister sur un détail, je propose quand même une reformulation sur laquelle vous pouvez revenir si ça ne convient pas. Pour les "cocoricos" pas de souci, c'est au départ une traduction de l'intro de "naive set theory" en 2003 d'après l'historique. Sinon je suis d'accord sur le principe (pas de détails techniques dans l'intro, ne pas vouloir tout dire). Enfin un équivalent du dernier paragraphe de l'intro anglaise me semble manquer (la théorie des ensembles comme une branche active des maths et pas juste une théorie des fondements, pas à copier tel quel). Proz (d) 17 septembre 2008 à 23:20 (CEST)[répondre]

Je pense aussi qu'il faut éviter le terme "théorie naïve" dans ce contexte - parler de théorie naïve (au sens de Halmos pas au sens de théorie mal ficelée ou de théorie en gestation) dans un alinéa séparé ou dans le corps de l'article. --Michel421 (d) 18 septembre 2008 à 00:16 (CEST)[répondre]

J'ai l'impression que nous convergeons. En tout cas l'intro actuelle me parait bien, au détail près relevé par Proz qu'il lui manque encore un paragraphe pour la théorie aujourd'hui. Laurent de Marseille (d) 19 septembre 2008 à 15:53 (CEST)[répondre]

en 2008, on semblait converger vers une version acceptable ; la version actuelle ne ressemble plus à rien. Je dépose un bandeau à ce sujet --Dfeldmann (discuter) 7 juin 2015 à 21:30 (CEST)[répondre]

Oui, tout-à-fait d'accord. Je suis pour le retour à la version du 17 septembre 2008 à 21:21. Inutile de parler dans l'intro de l'intuitionnisme etc... ou d'introduire des subtilités sur les termes primitifs (si "ensemble" est un synonyme d'"objet de la théorie", on peut définir l'égalité à partir de l'appartenance, en posant [a=b] ⇔ [∀x (x∈a ⇔ x∈b) et ∀X (a∈X ⇔ b∈X)] (W.V.O. Quine Méthods of logic si je ne m'abuse) et ainsi se passer de l'égalité comme terme primitif). Michel421 (d) 9 juin 2015 à 12:26 (CEST)[répondre]

C'est vrai que Quine a fait encore plus : il a réussi à définir l'appartenance, l'égalité et tous les termes logiques à partir de l'inclusion ; je n'ai plus la référence exacte, c'est dans l'un de ses écrits sur New Foundations, ça doit être retrouvable. Bref, la notion de terme primitif me semble toute relative, par contre historiquement c'est l'appartenance que Cantor avait mise en avant. Michel421 (d) 11 juin 2015 à 00:34 (CEST)[répondre]

Je suis d'accord. Les modifications apportées reposent sur une confusion de fond entre la théorie des ensembles au sens (usuel) en mathématiques, un domaine avec ses résultats ses méthodes etc. et au sens étroit d'un système d'axiomes particulier. Une phrase comme << Le mot "ensemble" n'appartient pas au langage de la théorie des ensembles >> est un total non-sens, qui correspond (je suppose) au fait que la théorie peut s'exprimer dans un calcul des prédicats à un seul type d'objet (que rien n'empêche d'appeler ensemble !), et de toute façon ça n'a rien à faire en intro.

Peut-être faut-il remonter quand même moins loin que 2008 ? Il est bien question d'intuitionnisme dans l'article. L'hypothèse du continu joue un rôle structurant, mais au début du XXè c'est plutôt le questionnement autour de l'axiome du choix qui va conduire aux axiomes Zermelo (il faudrait mettre le livre de Moore en biblio, mais ça doit être dans l'article de Kanamori qui est cité). Ca commence sérieusement à déraper à partir de Spécial:Diff/111963242/next, je reviens à la version antérieure pour commencer. Proz (discuter) 13 juin 2015 à 10:33 (CEST)[répondre]

"En itérant ce procédé on peut ainsi construire un ensemble X de réels qui se dérive une infinité de fois (...)". Et bah je crois que c'est faux. Bon, déjà un ensemble est toujours dérivable en fait. Même l'ensemble vide, ou même ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Mais on comprend implicitement qu'un ensemble est reéllement dérivable lorsque lui et son dérivé sont différents. Admettons. Voici mon raisonnement : En itérant ${\displaystyle k}$ fois le procédé, on construit un ensemble ${\displaystyle X_{k}}$ dont les éléments sont les rationnels positifs (ou nuls) qui s'écrivent comme une somme de ${\displaystyle k}$ inverse(s) d'entier distinct(s), ou moins. En itérant une ifinité de fois le procédé, on construit un ensemble ${\displaystyle X_{\infty }}$ dont les éléments sont les rationnels positifs (ou nuls) qui s'écrivent comme une somme d'inverse(s) d'entier distinct(s), sans restriction sur le nombre de termes (la seule étant qu'il s'agit d'un nombre fini). Or, ça, je crois bien que c'est ${\displaystyle \mathbb {Q} _{+}}$. Et ensuite, je crois bien que ${\displaystyle \mathbb {Q} _{+}}$ n'est pas dérivable puisqu'il n'a pas de points isolés. Ni une fois, ni deux, ni même une infinité... Me trompe-je ?--Benwat (discuter) 9 décembre 2015 à 01:46 (CET)[répondre]

Non, mais ce paragraphe est censé donner une idée de la démarche de Cantor ; comme il a été rédigé sans références, évidemment, une erreur s'y est glissée. Il faut compliquer un peu la construction, ce que je vais faire illico; merci de votre vigilance.--Dfeldmann (discuter) 9 décembre 2015 à 03:06 (CET)[répondre]

D'accord, merci. Et donc, maintenant, vous êtes sur que l'ensemble construit par itération est dérivable ? Personnellement, je suis incapable de le dire... A titre personnel, auriez-vous des références à me conseiller concernant ce sujet ?--Benwat (discuter) 9 décembre 2015 à 14:52 (CET)[répondre]

Heu, de tête, je parierais pas, non. En réalité, l'idée (d'un point de vue moderne, évidemment) est que, pour un ordinal muni de la topologie de l'ordre, l'ensemble dérivé coïncide avec l'ensemble des ordinaux limites ; pour obtenir des ensembles dérivables oméga fois, par exemple, il suffit donc de construire un ensemble de rationnels de type d'ordre ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$, ce qui est possible d'après un autre théorème de Cantor.--Dfeldmann (discuter) 9 décembre 2015 à 15:15 (CET)[répondre]

Houla, merci ! Il va falloir que je m'intéresse à ce problème plus sérieusement alors. ^^--Benwat (discuter) 9 décembre 2015 à 15:18 (CET)[répondre]

Bonjour à toutes et à tous. Ce qui précède (que j'ai simplement survolé) mentionne la/une "théorie axiomatique des ensembles". Est-ce la théorie introduite et développée dans le Livre E "Théorie des Ensembles" du Traité de Nicolas BOURBAKI intitulé "Eléments de Mathématique" ? Je trouve, je dis bien je trouve, que ce livre devrait être mentionné tant il met de l'ordre dans les concepts métamathématiques (cf. description de la mathématique formelle, notions d'assemblage, de construction formative, de terme, de relation, notions de théorie mathématique et de démonstration, de théories mathématiques typées (logique, quantifiée, égalitaire)) et dans les concepts mathématiques notamment en termes de théorie des ensembles. Merci de votre attention. Jacques A Mestre (discuter) 18 avril 2023 à 01:07 (CEST)[répondre]

Dans "ce qui précède", il était surtout question de fusion entre deux articles (qui ont été finalement fusionnés). Donc il s'agit du même sujet que cet article, pas spécialement la théorie de Bourbaki. Ce qui n'empêche nullement de mentionner ce livre dans cet article, naturellement. Jean-Christophe BENOIST (discuter) 18 avril 2023 à 11:01 (CEST)[répondre]

La construction de Bourbaki dans sa théorie des ensembles n'est pas la meilleure, il vaut mieux consulter des ouvrages plus récents par exemple: Théorie des ensembles par Jean-Louis Krivine. --74.127.201.57 (discuter) 18 avril 2023 à 13:46 (CEST)[répondre]

Le livre de théorie des ensembles de Bourbaki n'est en fait pas tant sur la théorie des ensembles que sur une façon d'assurer des fondements pour l'ensemble du traité (cf. Éléments de mathématique). L'approche est assez différente de celle usuelle en théorie des ensembles (tant les exposés introductifs style Halmos, que ceux plus avancés, par exemple elle est inutilisable pour aborder les questions d'indépendance). Il incorpore un peu de logique au départ, mais dans une syntaxe où l'axiome du choix est "vissé" (pas trop possible de discuter celui-ci donc)... C'est un peu difficile à utiliser directement sur cet article. L'approche n'a quand même pas eu beaucoup de succès, elle n'a pas été reprise à ma connaissance, le vocabulaire peut être non standard et n'a pas été repris (hors le fascicule de résultats de 1939). Peut-être dans une section (à écrire) sur "la théorie des ensembles comme fondements des mathématiques" ? Ou plutôt dans un autre article sur les théories pour fonder les math. ? Peut-être Éléments de mathématique devrait être un peu étoffé sur le contenu ? Proz (discuter) 18 avril 2023 à 20:17 (CEST)[répondre]

Bonjour,

Personnellement ce livre m'a beaucoup séduit. Tant dans sa description de la mathématique formelle qui par l'utilisation des signes logiques 𝛕 et ⧠ reporte en quelque sorte l'axiome du choix au niveau de la métamathématique qui définit à mes yeux plus que correctement les quantificateurs ; sans compter le fait que ces deux signes permettent d'introduire, toujours à mes yeux, de manière plus que satisfaisante les notions de relation collectivisante et de cardinal d'un ensemble. J'ajouterai que cette métamathématique, grâce à ses critères déductifs, me permet encore et toujours de me rassurer quant aux démonstrations que je peux rédiger ; un peu comme un compilateur informatique qui se rassure, avant de traduire du code, grâce à son analyseur syntaxique et sémantique.

Je ne sais pas pourquoi le vocabulaire de ce livre n'a pas été repris. Personnellement, il ne m'a posé aucun problème ; même si je l'ai découvert très tard, à la fin de mes études. Peut-être que ce livre n'a pas reçu le soutien des mathématiciens influents. L'histoire montre que des mathématiciens (des scientifiques, des artistes, etc.) se sont parfois montré très ironiques pour ne pas dire hostiles, envers d'autres (Il me semble bien, par exemple, que Cantor a souffert de cela ; comme les peintres impressionnistes d'ailleurs). Ceci me rappelle qu'il y a quelques dizaines d'années, des informaticiens français ont conçu un langage de programmation assez fantastique nommé Ada ; qui aurait été bien plus utilisé dans le monde s'il n'y avait pas eu la toute puissance des USA pour le contrer au profit du langage C (commercialisé par les USA). Pauvre petite crotte de mouche que la France !

Pour ce qui concerne les questions d'indépendance, je ne sais pas de quoi il s'agit ; et ne peut donc émettre aucun avis. (Je suis désolé mais mon savoir est bien trop limité.)

Quant à l'axiome du choix, il est tellement ancré dans mon esprit que je ne pensais pas qu'on pouvait encore en discuter. Mais il est vrai qu'on peut discuter de tout. Même de l'existence des nombres entiers naturels. D'autant qu'il y a dans le monde des peuples qui ne comptent pas comme nous. Par exemple il existe en Amazonie des tribus qui utilisent les nombres "un", "deux", "trois" puis le mot "beaucoup". Lorsque j'étais étudiant à Paris (il y a déjà longtemps puisque j'ai 69 ans) un copain physicien de l'école normale supérieure d'Ulm m'a dit un jour "Qu'est-ce que tu en as à faire de la pertinence de l'axiome d'Euclide ? Dans la mesure où il permet de résoudre nos problèmes les plus courants et de fabriquer nos produits domestiques.".

En fait, en lisant le livre de N. Bourbaki, j’ai pris conscience que les mathématiques reposent sur des sables mouvants et qu’elles ne sont pertinentes que si leurs utilisations (ex. en physique) permettent de résoudre les problèmes concrets de notre civilisation et si elles ne conduisent pas à des paradoxes. Mais il est vrai que je ne suis qu'un mathématicien amateur ; donc mon avis ne vaut probablement pas grand chose.

Quoi qu'il en soit je vous remercie infiniment pour votre réponse et vous souhaite une excellente journée. Jacques A Mestre (discuter) 19 avril 2023 à 03:17 (CEST)[répondre]

Concernant ADA je vous invite à lire l'article ADA, où vous verrez que le langage ADA a bien été créé à l'initiative du département de la Défense des États-Unis et ensuite soutenu par lui. Le dit départent est loin d’être une crotte de mouche. Pierre Lescanne (discuter) 19 avril 2023 à 19:06 (CEST)[répondre]

Bonjour Monsieur,

J'ai effectivement commis une erreur à propos du langage Ada. Mea culpa ! Par contre, je n'ai jamais dit que "ledit département (i.e. le DoD) était une crotte de mouche". J'ai dit que la France (seule, sans le concours de l'Union Européenne) était une crotte de mouche (par rapport à des géants tels que les USA).

Je vous souhaite une excellente journée. Jacques A Mestre (discuter) 20 avril 2023 à 00:31 (CEST)[répondre]

Bonjour Monsieur,

Il semble bien que je possède un "esprit d'escalier". Je pensais que la conception du langage Ada était d'initiative française. Il y avait bien une équipe française dans le coup mais de la manière suivante : Au printemps de 1977, dix-sept organismes ont répondu à l'appel d'offres du DOD, et après quelques mois, quatre d'entre eux ont été retenus pour une pré-étude. Les propositions furent évaluées de façon anonyme, et ce fut finalement une équipe francaise, dirigée par Jean Ichbiah, qui remporta l'appel d'offre. Le langage fut alors baptisé Ada, du nom d'Ada Augusta Byron, fille de Lord Byron et disciple de Charles Babbage. (cf. https://www.adalog.fr/publicat/rts95.pdf).

De plus, j'ai précédemment affirmé que le langage Ada avait perdu du terrain face à d'autres langages américains. C'était probablement vrai à l'époque je développais des logiciels (avant les années 2000). Le lien http://www.ada-auth.org/standards/ada22.html semble prouver le contraire.

Je vous souhaite à nouveau une excellente journée. Jacques A Mestre (discuter) 20 avril 2023 à 01:05 (CEST)[répondre]

Bonjour Proz,

Si ma dernière réponse a pu laisser penser que je trouvais sans intérêt les questions relatives à l'axiome du choix, c'est que, sur le moment, je le pensais vraiment. Eh bien, j'avais tort. Les questions ne sont jamais sans intérêt car avec les études associées elles contribuent à enrichir notre patrimoine culturel.

Je vous prie d'avoir la gentillesse de pardonner ma stupidité (que j'espère) momentanée.

Je vous souhaite une excellente journée, Jacques A Mestre (discuter) 20 avril 2023 à 00:18 (CEST)[répondre]

Bonjour,

Je ne sais pas si une théorie est meilleure qu'une autre dans la mesure où je ne sais pas sur quels critères on se base pour affirmer cela. Ceci dit, tout est possible. Personnellement, la théorie axiomatique des ensembles proposée par N. Bourbaki (et fondée sur des écrits mathématiques historiques) m'a beaucoup séduit. Même si la partie métamathématique contient des pétitions de principe (ex. utilisation de nombres entiers naturels pour indexer des suites de relations sur lesquelles on applique un raisonnement par récurrence finie ; éléments supposés utilisés dans la vie courante ; il faut bien se baser sur quelque chose - je vous rappelle qu'il existe dans le monde des gens qui ne connaissent pas et donc n'utilisent pas les nombres entiers naturels dans leur vie quotidienne). Mais j'admets que des théories des ensembles plus récentes puissent être plus satisfaisantes, au moins à vos yeux. Je ne les connais pas ; donc ne peux pas vous contredire.

Quoi qu'il en soit je vous remercie infiniment pour votre réponse et vous souhaite une excellente journée. Jacques A Mestre (discuter) 19 avril 2023 à 03:37 (CEST)[répondre]

La théorie des ensembles axiomatisée par Zermelo et Fraenkel n'est pas plus récente que celle de Bourbaki, mais plus ancienne. Pierre Lescanne (discuter) 19 avril 2023 à 19:08 (CEST)[répondre]

Bonjour Monsieur,

Veuillez me pardonner, il semble bien que je n'avais pas compris votre dernier message concernant la théorie des ensembles.

Je vous souhaite une excellente journée, Jacques A Mestre (discuter) 20 avril 2023 à 00:22 (CEST)[répondre]

Bonjour il me semble qu'il y a une erreur dans la section Les axiomes de la théorie ZF, en effet,dans cette section est présente l axiome du choix qui ne s'y pas censé en faire partie.Il faudrait donc soit enlever l axiome du choix soit remplacer toutes les occurrences de ZF par ZFC et sûrement modifier le reste de la partie pour qu'elle reste cohérente. 2A01:E0A:8E4:BB30:4970:659E:E604:3019 (discuter) 8 octobre 2024 à 19:43 (CEST)[répondre]

On ne peut pas parler d'erreur : non seulement il n'est pas dit que la section ne contient que les axiomes de ZF, mais la différence ZF/ZFC est expliquée tout à fait clairement en début de section. Maintenant s'il peut y avoir ambiguïté autant renommer la section. Par ailleurs je m'aperçois que les énoncés des axiomes ont été agrémentés de commentaires parfois inexacts (axiome de la paire) et pour certains complètement faux (extensionnalité, axiome de l'infini). Proz (discuter) 9 octobre 2024 à 16:25 (CEST)[répondre]

Bonjour,

Sauf erreur de ma part, l’article « Théorie des ensembles » (comme tout ou partie des articles connexes tels que « Nombre cardinal ») ne fait aucune référence au Livre E, Théorie des Ensembles, du traité de mathématiques de Nicolas Bourbaki.

Si tel est le cas, en occultant ce Livre et son contenu, Wikipédia empêche ses lecteurs d’accéder à une vision et représentation (plus moderne ?) des mathématiques et de la théorie des ensembles telles que décrites dans ce Livre ; vision et représentation qui me paraissent aussi importantes que fondamentales (qui s’appuient sans les dénigrer sur les fabuleux travaux des mathématiciens pionniers tels que Cantor et tous ceux qui sont cités dans les articles évoqués ci-dessus).

Si tel est le cas, et j’en ai la ferme impression, ledit cas s’apparente à mes yeux à une censure. Ce que je trouve très grave.

Ces jours-ci je pensais augmenter la contribution financière au programme Wikipédia. Je vais attendre peu.

Je suis désolé d'être aussi brutal mais je suis extrêmement irrité. Peut-être cela sera-t-il compris.

Salutations MacJestre (discuter) 22 octobre 2024 à 01:29 (CEST)[répondre]

Bon, déjà, il est soigneusement décrit dans l’article Éléments de mathématique. Mais est-ce notre faute s’il n’a plus qu’un intérêt historique ? Des tas de choses essentielles n’étaient pas découvertes en 1940 (forcing) ou jugées trop spécialisées (axiome de détermination, grands cardinaux…). Jetez un coup d’œil sur les trois articles précédents (et il y en a bien d’autres) et dites-nous si vraiment nous censurons quelque chose… Dfeldmann (discuter) 22 octobre 2024 à 01:56 (CEST)[répondre]

Bonjour,

Merci pour votre réponse. Ce Livre pourrait tout de même être cité dans l'article "Théorie des ensembles", en tant qu'élément historique au moins. Mais peut-être n'ai-je pas vu dans cet article, un renvoi vers l'article "Éléments de mathématiques" (je recherchais le mot "Bourbaki"). Je retire donc le mot "censure" et vous demande d'avoir la gentillesse de bien vouloir me pardonner l'emploi de ce terme.

Vous me parlez de 1940 alors que je possède une édition de ce Livre de 1970 et d'un nouveau tirage de 1977. Il est certain que depuis ces dates des choses essentielles ont été découvertes (et Bourbaki le savait très bien ; il me semble d'ailleurs qu'il le dit d'une certaine manière dans l'introduction du Livre). Mais il est toujours intéressant de faire le lien (lorsque possible) entre l'ancien et le nouveau.

J'ai découvert ce Livre après l'obtention de ma maîtrise de mathématiques, à peu près lors de son dernier tirage. Je n'ai vraiment pas compris pourquoi mon professeur de "Logique et Théorie des ensembles" en troisième ou quatrième année d'université, Monsieur Jean Balibar si mes souvenirs sont bons, ne nous n'a jamais parlé de ce Livre. Livre qui m'a permis de comprendre d'une manière plus formelle qu’auparavant ce qu'est une théorie mathématique, avec ses composantes (signes, assemblages/formules, constructions formatives, schémas, axiomes, démonstrations, etc.) et ses types (tels que théories logique, théorie quantifiée, théorie égalitaire). Ce Livre m'a également permis d'accéder à une vision moins intuitive de la Théorie des ensembles (en particulier avec la signifie de l'expression "ensemble" équivalente à l'expression "terme de la théorie" ; avec la notion de "relation collectivisante" qui, si j'ai bien compris, exprime la différence entre ensemble et classe ; avec les notions de "relation d'équivalence" et "relation d'ordre ou de pré-ordre" qui jointes à l'utilisation du signe logique 𝛕 (tau) permettent de représenter et comparer des classes en représentant chacune d'entre-elles par un ensemble ; etc.). Il est pourtant un chapitre que je n'ai pas encore lu ; celui intitulé "Structures". Je me demande s'il ne permet pas d'établir des liens entre Théorie des ensembles et Théorie des catégories (que j'ai abordée uniquement dans un cadre professionnel avec le typage abstrait en informatique).

Je vous remercie de votre attention et du temps que vous me consacrez.

Cordialement, MacJestre (discuter) 22 octobre 2024 à 18:20 (CEST)[répondre]