Théorème d'Ehrenfest

Soit A une grandeur physique représentée par l'opérateur autoadjoint ${\displaystyle {\hat {A}}}$. On définit sa valeur moyenne par :

${\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle =\left\langle \psi (t)\right|{\hat {A}}\left|\psi (t)\right\rangle }$

On dérive cette égalité par rapport au temps :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \langle {\hat {A}}\rangle }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \left\langle \psi (t)\right|}{\mathrm {d} t}}|{\hat {A}}\left|\psi (t)\right\rangle +\left\langle \psi (t)\right|{\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\left|\psi (t)\right\rangle +\left\langle \psi (t)\right|{\hat {A}}|{\frac {\mathrm {d} \left|\psi (t)\right\rangle }{\mathrm {d} t}}}$

On emploie l'équation de Schr��dinger et son conjugué :

${\displaystyle +i\hbar {\frac {\mathrm {d} \left|\psi (t)\right\rangle }{\mathrm {d} t}}={\hat {H}}\left|\psi (t)\right\rangle }$

et

${\displaystyle -i\hbar {\frac {\mathrm {d} \left\langle \psi (t)\right|}{\mathrm {d} t}}=\left\langle \psi (t)\right|{\hat {H}}}$

En remplaçant dans l'équation précédente, on obtient :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \langle {\hat {A}}\rangle }{\mathrm {d} t}}=\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi (t)\right|{\hat {A}}{\hat {H}}\left|\psi (t)\right\rangle -{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi (t)\right|{\hat {H}}{\hat {A}}\left|\psi (t)\right\rangle }$

Avec ${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {H}}]={\hat {A}}{\hat {H}}-{\hat {H}}{\hat {A}}}$, on obtient finalement

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \langle {\hat {A}}\rangle }{\mathrm {d} t}}=\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle [{\hat {A}},{\hat {H}}]\right\rangle }$

Pour une particule dans un champ de potentiel arbitraire, la fonction de Hamilton considérée prend la forme :

${\displaystyle {\hat {H}}(x,p,t)={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\hat {V}}(x,t)}$

Opérateur impulsion

On suppose qu'on veut connaître la variation de la quantité de mouvement moyenne ${\displaystyle \langle {\hat {p}}\rangle }$. En utilisant le théorème d'Ehrenfest, on a

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {p}}\rangle =\langle {\frac {\partial {\hat {p}}}{\partial t}}\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\langle [{\hat {p}},{\hat {H}}]\rangle }$

On se place en représentation « position » : l'opérateur impulsion s'écrit alors ${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar \nabla }$. Comme un opérateur commute trivialement avec lui-même, et comme l'impulsion n'est pas fonction explicite du temps, la relation d'Ehrenfest se réduit à :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {p}}\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [{\hat {p}},{\hat {V}}(x,t)]\rangle }$

soit

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {p}}\rangle =\langle -\nabla {\hat {V}}(x,t)\rangle =\langle F\rangle ,}$

(on peut appliquer ${\displaystyle {\frac {1}{i\hbar }}\langle [{\hat {p}},{\hat {V}}]\rangle }$ sur une fonction test ${\displaystyle \left|\psi \right\rangle }$ pour s'en convaincre)

Opérateur position

On effectue le même calcul pour l'opérateur position ${\displaystyle {\hat {x}}}$, toujours en représentation « position ». Comme le potentiel ne dépend que de la position et du temps, il commute avec l'opérateur position, et la relation d'Ehrenfest se réduit à :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {x}}\rangle =\langle {\frac {\partial {\hat {x}}}{\partial t}}\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\langle [{\hat {x}},{\hat {H}}]\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [{\hat {x}},{\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}]\rangle }$

En utilisant la relation de commutation,

${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}^{2}]={\hat {p}}[{\hat {x}},{\hat {p}}]+[{\hat {x}},{\hat {p}}]{\hat {p}}=2i\hbar {\hat {p}}}$

on obtient :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {x}}\rangle ={\frac {1}{m}}\langle {\hat {p}}\rangle }$