Théorème des valeurs extrêmes

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, le théorème des bornes est un théorème qui stipule qu'une fonction qui est continue sur un segment de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ à valeurs réelle possède et atteint un minimum et un maximum sur ce segment. C'est l'un des théorèmes fondamentaux de l'analyse.

Soient ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ deux réels tels que ${\displaystyle a\leq b}$ et soit ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ une application. Si ${\displaystyle f}$ est continue, alors ${\displaystyle f}$ est bornée sur ${\displaystyle [a,b]}$ et atteint ses bornes.

Ce théorème, avec le théorème des valeurs intermédiaires, est à la fois suffisamment important pour qu'il soit impératif à la compréhension de la théorie des fonctions réelles de la variable réelle et suffisamment complexe pour que sa démonstration soit omise dans les cours élémentaires (il n'est démontré que dans l'enseignement supérieur en France). Si leurs démonstrations sont complexes c'est qu'elles font nécessairement appel à la topologie du corps des nombres réels.

Comme beaucoup de théorèmes fondés sur la topologie, il est intuitif. Il signifie que toute fonction continue atteint son maximum et son minimum si elle est définie sur un intervalle qui contient sa borne supérieure et inférieure.

La topologie fournit deux théorèmes qui rendent la démonstration évidente. Sans la topologie, la démonstration est relativement délicate pour un résultat aussi intuitif. Nous fournissons ici les deux démonstrations, la première car c'est la plus élégante et la deuxième pour éviter de rendre la topologie nécessaire pour bâtir une des théories de base des mathématiques, à savoir l'analyse des fonctions réelles à variable réelle.

On verra, dans les démonstrations, l'importance de se placer dans un intervalle fermé borné et de prendre une fonction continue.

Ce théorème est utilisé pour la démonstration du théorème de Rolle qui sert à démontrer le théorème des accroissements finis qui sert à l'analyse en développement limité d'une fonction et du théorème de Taylor.

L'intervalle ${\displaystyle [a,b]}$ est un ensemble fermé et ensemble borné de ${\displaystyle \mathbb {R} }$. La topologie nous apprend que cet ensemble est un compact de ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Or l'image par une fonction continue d'un compact dans un séparé est un compact. L'image ${\displaystyle f([a,b])}$ est donc un compact de ${\displaystyle \mathbb {R} }$. L'image est donc bornée, donc possède une borne supérieure et inférieure finies. Et comme l'image est fermée, elle contient sa borne supérieure et sa borne inférieure.

Notons ${\displaystyle M}$ la borne supérieure de l'ensemble ${\displaystyle f([a,b])}$ (au sens large a priori, c'est-à-dire que le sup d'un ensemble de réels non majoré vaut ${\displaystyle +\infty }$), et prouvons qu'il est atteint (donc en fait fini).

(Le résultat pour la borne inférieure s'en déduit en remplaçant ${\displaystyle f}$ par ${\displaystyle -f}$, ou se démontre de même).

Soit ${\displaystyle (M_{n})}$ une suite de réels strictement croissante et de limite ${\displaystyle M}$.

Notons ${\displaystyle X_{n}}$ l'ensemble (non vide) des réels ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle [a,b]}$ tels que ${\displaystyle f(x)\geq M_{n}}$.

Notons ${\displaystyle x_{n}}$ la borne supérieure de ${\displaystyle X_{n}}$. Remarquons que ${\displaystyle f(x_{n})\geq M_{n}}$ (du fait que ${\displaystyle x_{n}}$ est une limite d'éléments de ${\displaystyle X_{n}}$ et que ${\displaystyle f}$ est continue).

Par ailleurs, comme ${\displaystyle X_{n+1}\subset X_{n}}$, les ${\displaystyle x_{n}}$ forment une suite décroissante de réels de ${\displaystyle [a,b]}$. Cette suite converge donc vers un réel ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle [a,b]}$.

Puisque ${\displaystyle M_{n}\leq f(x_{n})\leq M}$, on en déduit ${\displaystyle f(x)=M}$.

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