Constante limite de Laplace

En mathématiques, la constante limite de Laplace, ou constante de Laplace ou encore limite de Laplace, est la valeur maximale de l'excentricité pour laquelle une solution à l'équation de Kepler, de la forme de série, converge.

Elle vaut environ : 0,662 743 (suite A033259 de l'OEIS).

L'équation de Kepler M = E − ε sin E relie l'anomalie moyenne M et l'anomalie excentrique E pour un corps un mouvement sur une ellipse d'excentricité ε. Cette équation ne peut être résolue pour E en termes de fonctions élémentaires, mais le théorème d'inversion de Lagrange apporte une solution série entière en ε :

${\displaystyle E=M+\sin M\,\varepsilon +{\tfrac {1}{2}}\sin(2M)\,\varepsilon ^{2}+\left({\tfrac {3}{8}}\sin(3M)-{\tfrac {1}{8}}\sin M\right)\varepsilon ^{3}+\cdots }$.

Laplace a réalisé que ces séries convergent pour de petites valeurs de l'excentricité, mais divergent lorsque l'excentricité excède une certaine valeur. La constante limite de Laplace correspond à cette valeur. C'est le rayon de convergence de la série entière.

Cette constante L est^[1] la valeur maximum de t/cosh t — atteinte pour t = √1 + L² ≈ 1,199 678 ( A085984) — et l'unique solution réelle de l'équation

${\displaystyle x\exp({\sqrt {1+x^{2}}})=1+{\sqrt {1+x^{2}}}}$.

• (en) Howard Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students, Amsterdam/Boston, Elsevier, 2014 (ISBN 978-0-08-097747-8, lire en ligne), p. 159
• (en) Steven R. Finch, Mathematical Constants, Cambridge University Press, 2003, 602 p. (ISBN 978-0-521-81805-6, lire en ligne), p. 267

• Excentricité orbitale

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