Voir la source de Problème des contacts

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[[Image:Apollonius problem typical solution.svg|thumb|Figure 1 : Une solution (en rose) au problème d'Apollonius. Les trois cercles donnés sont en noir.]]
[[Image:Apollonius8ColorMultiplyV2.svg|thumb|right|Figure 2 : Quatre paires de solutions (rose, jaune, turquoise et gris) complémentaires au problème d'Apollonius apparaissent ; les cercles donnés sont en noir.]]
En [[mathématiques]], et plus précisément en [[géométrie]], le '''problème des contacts''', appelé également '''problème d'[[Apollonios de Perga|Apollonius]]''' ou '''problème des trois cercles''', est un des grands problèmes de l'[[Antiquité grecque]]. Il s'agit de trouver un cercle [[Contact (géométrie)|tangent]] à trois cercles donnés de rayons différents.

Ce problème a été présenté par [[Pappus d'Alexandrie|Pappus]] comme étant le dixième et le plus difficile du ''Traité des contacts'', un des ouvrages perdus d'Apollonius. En effet, il faudra attendre 1600 pour sa résolution par [[François Viète]] qui montrera qu'il admet au maximum huit solutions. Pour cela dans l'[[François Viète#Problème d'Adrien Romain (Van Roomen)|Apollonius Gallus]], il va résoudre les dix problèmes présentés ci-dessous (sans traiter les cas particuliers).

== Description ==
Le ''Traité des contacts'', ouvrage perdu d'[[Apollonios de Perga|Apollonius]], se proposait  de  déterminer  des cercles astreints à trois conditions prises parmi celles qui consistent à passer par un point donné, ou à être tangent à une droite ou un cercle donné, ce qui correspond à  dix problèmes désignés par les symboles PPP, DDD, PPD, PPC... en représentant un point par P, une droite par D et un cercle par C.

* Cercle passant par trois points donnés (PPP): dans le cas où les trois points ne sont pas alignés, la solution est  le [[cercle circonscrit]] au triangle formé par les trois points. Son centre est le point d'intersection des [[médiatrice]]s du triangle;
* Cercle tangent à trois droites données (DDD) : dans le cas où les droites forment un triangle, les solutions sont  les 4 [[Cercles inscrit et exinscrits d'un triangle|cercles inscrit et exinscrits]] du triangle. Pour deux droites strictement parallèles et une sécante, le nombre de solutions se réduit à 2. Il est de 0 pour trois droites strictement parallèles;
* Cercle passant par deux points donnés et tangent à une droite donnée (PPD);
* Cercle passant par deux points donnés et tangent à un cercle donné (PPC); 
* Cercle passant par un point donné et tangent à deux droites données (PDD);
* Cercle passant par un point donné et tangent à deux cercles donnés (PCC);
* Cercle passant par un point donné et tangent à une droite et un cercle donnés (PDC);
* Cercle tangent à deux droites et un cercle donnés (DDC);
* Cercle tangent à une droite et deux cercles donnés (DCC);
* Cercle tangent à trois cercles donnés (CCC): c'est souvent ce  dernier problème seul, le plus difficile, qui est appelé «problème d'Apollonius» ou «problème des trois cercles».

== Histoire ==
Ce traité est mentionné au {{s|IV|e}} par [[Pappus d'Alexandrie]], dans le livre VII de sa ''Collection Mathématique'' qui n'en donne qu'une résolution partielle<ref>{{ouvrage|auteur2=Paul Van-Eyke|auteur1= Pappus|titre=La Collection mathématique|année=1932|tome=tome 1|lire en ligne=https://archive.org/details/PappusDAlexandrieEd.PaulVerEeckeLaCollectionMathmatique}}, p LXVI-LXXII, plus précisément [https://archive.org/details/PappusDAlexandrieEd.PaulVerEeckeLaCollectionMathmatique/page/n65/mode/2up p. LXX] de l'introduction</ref>.

Le problème est étudié par les mathématiciens de l'islam médiéval, [[Alhazen|Ibn al-Haytham]] et [[Ibrahim ibn Sinan]] qui le traitent jusqu'au bout, sans toutefois faire une étude exhaustive de tous les cas (sur la taille des cercles ou leur alignement). Mais ces études ne sont pas connues en Europe au {{s-|XVI|e}}{{sfn|Boyé|1998|p=16-21}}.

Au {{s-|XVI|e}}{{sfn|Pappus|Van-Eyke|1932|p=CXXII}}, les mathématiciens européens s'intéressent également à sa résolution sans pour autant parvenir à fournir une solution ''euclidienne'' (i.e. [[construction à la règle et au compas|constructible à la règle et au compas]]). Pour [[Regiomontanus]], par exemple, une solution au dernier problème (celui des 3 cercles) ne peut pas se faire sans utiliser des coniques<ref>{{chapitre |auteur1=Jacques Borowczyk |auteur2=Anne Boyé |lire en ligne=https://publimath.univ-irem.fr/numerisation/WH/IWH96050/IWH96050.pdf |titre chapitre=Le problème des trois cercles d'Apollonius |titre ouvrage=Actes de l'Université d'été 95 : Épistémiologie et Histoire des Mathématiques passage=41-51 |éditeur=Université de Besançon |année=1995}}.</ref>.
  
Lors d'une querelle scientifique concernant l'existence ou non de mathématiciens français ''de qualité'' à la fin du {{s-|XVI|e}}, [[François Viète]] prouve d'abord qu'il est capable de résoudre une équation complexe qu'[[Adrien Romain]] [[François Viète#Problème d'Adrien Romain (Van Roomen)|avait adressé]] à un ensemble de mathématiciens d'Europe. Puis, en guise de réciprocité, demande à Adrien Romain de lui donner une solution pour le  dernier problème d'Apollonius, tâche dont s'acquitte Adrien Romain par intersections d'hyperboles.
: En effet, la condition pour que deux cercles de centres C et C{{ind|1}} et de centre {{mvar|r}} et {{math|''r''{{ind|1}}}} soient tangents est que {{formule|CC{{ind|1}} {{=}} ''r'' + ''r''{{ind|1}} ou {{!}}''r'' – ''r''{{ind|1}}{{!}}}}. Pour que le cercle de centre C soit tangent à deux cercles, il faut deux égalités de ce genre. Par [[soustraction]] et élimination des cas ne donnant rien, la condition pour que le cercle de centre C soit tangent aux cercles de centres C{{ind|1}} et C{{ind|2}} s'écrit sous la forme {{formule|{{!}}CC{{ind|1}} – CC{{ind|2}}{{!}} {{=}} ''r''{{ind|2}} + ''r''{{ind|1}} ou {{!}}''r''{{ind|2}} – ''r''{{ind|1}}{{!}}}} qui fait référence à la définition bifocale d'une [[hyperbole (mathématiques)|hyperbole]].

François Viète, non satisfait de voir une solution non [[construction à la règle et au compas|constructible à la règle et au compas]], publie alors son ''Apollonius gallius'' (''L'Apollonius français'')  pour démontrer qu'un Français vaut autant qu'un Belge ou un Romain. Il y propose une résolution complète des 10 problèmes mais sans discussion d'existence ni analyse de toutes les configurations.

La résolution par Viète n'arrête pas les recherches. [[René Descartes]] en 1643, dans sa correspondance avec [[Élisabeth de Bohême (1618-1680)|Élisabeth de Bohême]] propose une résolution algébrique{{sfn|Boyé|1998|p=58-61}}, avant de donner son [[théorème de Descartes]] dans le cas où les trois cercles sont tangents. C'est aussi la voie algébrique et trigonométrique qu'emprunte [[Leonhard Euler]] dans son ''{{lang|la|texte=Solutio facilis problematis, quo quaeritur circulus, qui datostres circulos tangat}}'' de 1790<ref>{{article |langue=la |auteur=[[Leonhard Euler]] |année=1790 |titre=Solutio facilis problematis, quo quaeritur circulus, qui datostres circulos tangat |lire en ligne=https://scholarlycommons.pacific.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1647&context=euler-works |périodique= Nova Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae |numéro=6 |pages= 95-101}}.</ref>

[[image:ContactGergonne1.svg|vignette|Couple de solutions (rn noir) du problème CCC, associé aux homothéties positives. La droite rouge porte les trois centres d'homothétie, les points rouges sont les [[pôle et polaire|pôles]] de cette droite par rapport aux 3 cercles. Le point vert est le [[puissance d'un point par rapport à un cercle#Centre radical de trois cercles|centre radical]] des trois cercles. Les droites issues du centre radical et passant par les pôles rencontrent les cercles aux points de tangence des deux cercles-solutions]]
 
Le développement des outils géométriques avec la notion d'[[axe radical]], de [[pôle et  polaire]], d'[[inversion (géométrie)|inversion]]  et la définition explicite de la [[puissance d'un point par rapport à un cercle]] par [[Jakob Steiner]] conduit [[Joseph Diez Gergonne|Gergonne]], au début du {{s-|XIX|e}}, à une résolution très concise{{sfn|Boyé|1998|p=16-21}}: Il existe 6 centres d'homothéties transformant un des cercles en un autre, la résolution proposée par Gergonne consiste, à partir des 6 centres d'homothétie, de prendre leur polaire par rapport au deux cercles concernés, ce qui donne 12 polaires, ces 12 polaires dessinent des parallélogrammes dont on prend les diagonales. Les 12 diagonales obtenues portent tous les points de tangence des cercles-solutions au problème<ref name=Gergonne>{{article |auteur=Joseph Diez Gergonne |titre=Géométrie élémentaire. Sur la construction du cercle tangent à trois cercles donnés |périodique=Annales de mathématiques pures et appliquées |tome = 13 |date=1822-1823 |pages=193-200 |lire en ligne=http://www.numdam.org/item/AMPA_1822-1823__13__193_0/ }}</ref>. On peut alléger la construction, comme le propose Hadamard dans ses leçons de géométrie{{sfn|Boyé|1998|p=163-165}}, en remarquant que les 6 centres d'homothétie sont alignés trois par trois sur 4 droites. Pour chaque droite, on construit les 3 pôles de la droite par rapport aux 3 cercles. Par chaque pôle, on mène une droite passant par le centre radical des trois cercles, les points d'intersection (s'ils existent) de cette droite avec le cercle associé au pôle sont les points de tangence de la paire de cercles-solutions avec le cercle concerné<ref>{{ouvrage |auteur1=Roger A. Johnson |auteur2=John Wesley Young |responsabilité2=éd. |langue=en |titre=Advanced Euclidean Geometry |éditeur=Dover Publications, inc. |lieu=New York |année=1960 |passage=120 |lire en ligne=https://www.isinj.com/mt-usamo/Advanced%20Euclidean%20Geometry%20-%20Roger%20Johnson%20(Dover,%201960).pdf }}.</ref>.

L'objectif, à la fin du {{s-|XIX|e}}, est de proposer des méthodes qui peuvent aussi intégrer les cas particuliers et de classifier les configurations selon leur nombre de solutions. Cet effort de classification se poursuit au cours des {{s2-|XX|XXI}}{{sfn|Tchangang-Tambekou|2013|p=2}}.

Ce problème, qui semble désormais n'être étudié qu'à des fins pédagogiques{{sfn|Boyé|1998|p=168}}, recèle parfois des développements surprenants comme le repérage des canons ennemis lors de la [[Première Guerre mondiale|guerre de 14-18]]<ref>{{lien web |auteur= Hervé Lehning |url=https://blogs.futura-sciences.com/lehning/2018/06/22/lapplication-surprenante-dun-vieux-probleme-dapollonius/ |titre=L'application surprenante d'une vieux problème d'Apollonius |date=juin 2018 |site=Futura Sciences }}.</ref> et donne lieu a des prolongements comme le fractal  ''[[Cercle d'Apollonius|baderne d'Apollonius]]''.

== Principes de construction en géométrie classique ==
=== Outils ===
Cette section décrit les constructions classiques à la [[Construction à la règle et au compas|règle et au compas]] des points de contacts ou des centres cherchés, en utilisant des configurations faisant intervenir les propriétés du cercle, l'[[homothétie]], et la [[puissance d'un point par rapport à un cercle]]. Elle commence par rappeler les constructions de tangentes (qu'on peut voir comme des cas particuliers des problèmes de contacts, en considérant les droites comme des cercles de rayon infini).
==== Tangentes à un cercle ====
;Tangente en un point du cercle
D'un point A situé sur un cercle de centre O on peut mener une [[Tangente à un cercle|tangente]] à ce cercle en traçant la perpendiculaire en A au rayon [OA].
Le schéma montre une méthode : à partir du point B symétrique de O par rapport à A, on construit la [[médiatrice]] de [BO], qui est bien tangente au cercle.

;Tangentes à un cercle passant par un point donné
D'un point M extérieur à un cercle, on peut mener deux tangentes à ce cercle ; elles [[Attouchement (géométrie)|touchent]] le cercle en A et B et on a MA = MB.
La droite (OM) est un axe de symétrie de la figure, c'est la [[bissectrice]] de l'angle AMB.
{{énoncé|Construction d'[[Euclide]]|Étant donné un cercle (''c'') de centre O et un point M à l'extérieur du cercle, les points de contact A et B des tangentes issues de M sont les points d'intersection du cercle (''c'') et du cercle de diamètre [MO]}}.
{{multiple image
 | align     = center
 | footer    = <center>'''Construction de tangentes à un cercle passant par un point'''</center>
 | image1    = Tangente cercle.svg
 | caption1  = Cas d'un point situé sur le cercle
|width1=210
 | image2    = Circle's tangents.svg
 | caption2  = Cas d'un point extérieur au cercle.
|width2=250
}}

==== Puissance d'un point par rapport à un cercle ====
Le principe sous-jacent consiste à observer que si M est un point d'une tangente en un point T à un cercle, alors pour toute sécante au cercle en A et B passant par M, on a MA⋅MB = MT{{2}}
===== Cercle passant par deux points donnés et tangent à une droite donnée =====
Soient M{{ind|1}} et M{{ind|2}} deux points donnés et (d) la droite, il s'agit de trouver le point de [[Tangente à un cercle|tangence]] T du cercle à trouver avec la droite (d). Dans cet exemple, on choisit M{{ind|1}} et M{{ind|2}} dans le même demi-plan et avec (M{{ind|1}} M{{ind|2}}) coupant (d) en I<ref group="note"> Si les points sont de part et d'autre de (d), il n'y a pas de solution et le cas où (M{{ind|1}} M{{ind|2}}) est parallèle à (d) n'offre qu'un seul point T solution : intersection de la médiatrice de  [M{{ind|1}} M{{ind|2}}] avec (d). </ref>.
[[image:ContactPPD.svg|vignette|Construction du point de contact d'un cercle tangent à (d) et passant par M{{ind|1}} et M{{ind|2}} (''un autre point de contact, pour un autre cercle-solution, existe symétrique de T par rapport à I'')]]
On sait que IT{{2}} doit valoir IM{{ind|1}}⋅IM{{ind|2}}. La longueur IT, se calcule alors à l'aide d'un triangle IM{{ind|1}}H rectangle H dont M{{ind|2}} est le pied de la hauteur issue de H. On sait, en effet, par la propriété du [[triangle rectangle]], que IH{{2}}=IM{{ind|1}}⋅IM{{ind|2}}. Il suffit de reporter cette distance IH sur la droite (d) pour trouver un point T solution. On remarque qu'il existe en réalité un autre point T' à la ''bonne'' distance de I symétrique du point T par rapport à I qui fournit la seconde solution au problème.

Il existe d'autres constructions possibles comme de travailler sur des propriétés de l'angle inscrit{{sfn|Debart|2006}} ou bien en travaillant par ajustement : en supposant que la médiatrice de [M{{ind|1}} M{{ind|2}}] rencontre la droite en J, on construit un cercle dont le centre est sur la médiatrice et qui est tangent à (d), une homothétie de centre J va permettre d'agrandir ou réduire le cercle pour qu'il passe par M{{ind|1}} et M{{ind|2}} (2 solutions en général).

===== Cercle passant par deux points donnés et tangent à un cercle donné =====
[[image:ContactPPC.svg|vignette|left|Construction d'un cercle tangent à (c) et passant par M{{ind|1}} et M{{ind|2}} à l'aide d'un cercle auxiliaire (en rouge)]]
Soient M{{ind|1}} et M{{ind|2}} deux points donnés et (c) le cercle, il s'agit de trouver le point de tangence T du cercle-solution avec le cercle . Dans cet exemple, on choisit des points extérieurs au cercle et non symétriques par rapport à un rayon du cercle (c).

Le but consiste à chercher d'abord un point I qui ait même puissance par rapport aux deux cercles. On construit un cercle auxiliaire passant par  M{{ind|1}} et M{{ind|2}} et rencontrant le cercle (c) en P et P'. Les droites (PP') et (M{{ind|1}} M{{ind|2}}) se rencontrent en I. Les tangentes issues de I fournissent les points-solutions T. En effet:
:<math>\mathrm{IT}^2=\mathrm{IP}\cdot\mathrm{IP}'= \mathrm{IM}_1\cdot \mathrm{IM}_2</math>.
{{clr}}

===== Cercle tangent à deux cercles donnés passant par un point donné =====
L'idée est de remplacer la contrainte sur un cercle par une contrainte sur un point. Pour cela on étudie les propriétés d'un cercle tangent à deux cercles.

On donne deux cercles (''c''{{ind|1}}), (''c''{{ind|2}}) de centres O{{ind|1}}, O{{ind|2}}, de rayons différents ''r''{{ind|1}} et ''r''{{ind|2}} et un cercle (''c'') tangent à ces deux cercles.

[[Fichier:Similitude CC.svg|thumb|300px|Propriétés des cercles (c) tangents aux cercles (c{{ind|1}}) et (c{{ind|2}}) - cas des cercles tangents extérieurement.]]

Il existe deux [[homothétie]]s H(S, ''r''{{ind|2}}/''r''{{ind|1}}) et H(S', -''r''{{ind|2}}/''r''{{ind|1}}) transformant (''c''{{ind|1}}) en (''c''{{ind|2}}).

Les points S et S' centres d'homothéties des cercles sont les points qui partagent le segment [O{{ind|1}}O{{ind|2}}] dans les rapports ± ''r''{{ind|1}}/''r''{{ind|2}}.

Si un cercle (''c'') est tangent aux cercles (''c''{{ind|1}}) et (''c''{{ind|2}}) en T et T', la droite (TT') qui joint les points de contact passe par un centre d'homothétie. En effet, il existe une homothétie de centre T transformant (''c''{{ind|1}}) en (''c'') et une homothétie de centre T' transformant (''c'') en (''c''{{ind|2}}), qui, composées, donne une des homothéties précédentes. Les centres de ces trois homothéties sont donc alignés. La [[cercle#Puissance d'un point par rapport à un cercle|puissance]] ''p'' du centre d'homothétie par rapport au cercle (''c'') variable est constante.
:<math>p = \mathrm{ST} \times \mathrm{ST}' = \mathrm{ST} \times\mathrm{ST}_1\times \mathrm{ST}'/\mathrm{ST}_1 = \mathrm{ST}\times\mathrm{ST}_1 \times r_2/r_1.</math>

On obtient la [[cercle#Puissance d'un point par rapport à un cercle|puissance du point]] S par rapport au cercle (''c''<sub>1</sub>) multiplié par le rapport des rayons.

Si U et U' sont les points d'intersection de (''c''<sub>1</sub>) et (''c''<sub>2</sub>) avec la ligne des centres, la puissance du point S par rapport au cercle de diamètre [UU'] est <em>p</em> = SU × SU'.

Si maintenant on cherche un cercle passant par un point M{{ind|1}} et tangent aux deux cercles, on va construire un point M{{ind|2}} que l'on saura appartenir au ''bon'' cercle. On le cherche comme le point d'intersection du cercle cherché avec la droite (SM{{ind|1}}). On sait que ce point doit vérifier ''p'' = SM{{ind|1}}⋅SM{{ind|2}}=SU⋅SU'. Ce point est donc l'intersection du cercle UU'M{{ind|1}} avec (SM{{ind|1}}).

Il ne reste plus qu'à trouver le cercle tangent à (''c{{ind|1}}'') et passant par  M{{ind|1}}et M{{ind|2}}. L'autre centre d'homothétie conduira à la construction d'un autre point.

===== Cercle passant par un point donné et tangent à une droite et un cercle donnés =====
Comme précédemment, l'idée est de remplacer le cercle par un point en étudiant les propriétés d'un cercle (c) tangent à un cercle et à une droite.
 
[[image:ContactPCD.svg|left|vignette|Propriété des cercles tangent extérieurement à (c) et (d) : ST⋅ST'=SS'⋅SH]]

Dans l'exemple ci-contre, où (c) et (c{{ind|1}}) sont tangents extérieurement, les point S et S' sont les extrémités du diamètre de (c{{ind|1}}) perpendiculaire à (d). Le but est de démontrer que la puissance {{mvar|p}} de S  par rapport au cercle (c) est indépendant de (c). On note H  le projeté orthogonal de S sur (d), T le point de tangence des deux cercles et T' celui de la droite et du cercle (c). Les points S, T et T' sont alignés car les cercles sont homothétiques de centre T.

La puissance de S par rapport à (c) est {{mvar|p}}= ST⋅ST'.

Les triangles STS' et SHT' sont semblables car rectangles partageant un même angle donc ST/SH = SS'/ST'. Par produit en croix  {{mvar|p}} = ST⋅ST' = SH⋅SS'.

Si, maintenant, on cherche un cercle passant par un point M{{ind|1}} et tangent au cercle et à la droite, on va d'abord construire un point M{{ind|2}} que l'on saura appartenir au ''bon'' cercle. On le cherche comme le point d'intersection du cercle cherché avec la droite (SM{{ind|1}}). On sait que ce point doit vérifier ''p'' = SM{{ind|1}}⋅SM{{ind|2}} donc  SM{{ind|1}}⋅SM{{ind|2}} = SH⋅SS'. Ce point est donc l'intersection du cercle HS'M{{ind|1}} avec (SM{{ind|1}}). Un raisonnement analogue, peut se faire avec des cercles tangents intérieurement à l'aide de S'.

On se ramène ainsi au problème de trouver un cercle passant par deux points et tangent à une droite donnée.

==== La « translation parallèle » de Viète ====
L'idée de Viète{{sfn|Boyé|2008|p=35-38}} est de remarquer que, si on sait tracer un cercle passant par un point, et tangent à deux objets (droite ou cercle), en augmentant ou diminuant le rayon du cercle-solution d'une valeur ''r'', on peut trouver un cercle tangent à un cercle de rayon ''r'' et tangents à deux autres objets cercles ou droites qui ont éloigné ou rapproché leur point de tangence.

Ainsi pour tracer un cercle tangent extérieurement à deux cercles et à une droite, on considère le plus petit cercle, on réduit sa taille à zéro tout en en diminuant le rayon de l'autre cercle de ''r'' et en éloignant la droite d'autant, on cherche le cercle-solution de la nouvelle configuration. Il suffira de diminuer le rayon du cercle-solution de ''r'' pour trouver le cercle-solution du problème initial. Si on veut que le cercle-solution et le petit cercle [[Attouchement (géométrie)|se touchent]] intérieurement, il faut au contraire rapprocher la droite et augmenter le rayon du grand cercle, trouver la solution du nouveau problème puis augmenter son rayon<ref> Pour d'autres configurations, voir {{harvsp|Boyé|2008|p=36-37}} ou {{harvsp|Debart|2006}} </ref>.
{{multiple image
 | align     = center
 | footer    = <center>'''Utilisation de la méthode de «translations parallèles» de Viète pour transformer un problème DCC en un problème DCP'''</center>
 | width     = 

 | image1    = ContactCCDb.svg
 | caption1  = Cas d'un cercle tangent extérieurement aux deux cercles

 | image2    = contactCCDa.svg
 | caption2  = Cas d'un cercle tangent extérieurement au grand cercle et contenant le petit cercle.
}}

=== Organigramme de résolution de Viète ===
{|class="wikitable droite"
|+ Organigramme de résolution<ref group="note">Entre parenthèses, le nombre maximal de solutions</ref>{{,}}{{sfn|Boyé|2008|p=32;33}}
|-
|{{arbre généalogique/début}}
{{Arbre généalogique| | | |ppp| | |ddd 
|ppp=PPP (1)
|ddd=DDD (4)
|boxstyle=width:5px}}
{{Arbre généalogique| |,|-|-|^|-|-|.}}
{{Arbre généalogique|ppc| | |,|ppd|.|ppc=PPC (2)
|ppd=PPD (2)}}
{{Arbre généalogique| |!| | ||!| | | |!}}
{{Arbre généalogique|pcc | |pcd| |pdd
|pcc=PCC (4)
|pcd=PCD (4)
|pdd=PDD (2)}}
{{Arbre généalogique| |!| | | |!| | | |!}}
{{Arbre généalogique|ccc| |ccd| |cdd
|ccc=CCC (8)
|ccd=CCD (8)
|cdd=CDD (4)}}
{{arbre généalogique/fin}}
|}
Dans la suite les problèmes seront identifiés par leur abréviation.

À l'aide des lemmes qu'il met en place (translation parallèle - remplacement d'un problème PCX en un problème PPX), Viète propose des algorithmes de simplifications des problèmes permettant d'arriver au problème PPP (cercle circonscrit à trois points) donnant l'arborescence suivante:
* Les constructions de base CCC et DDD (isolé)
*pour CCC
** CCC se ramène à PCC grâce à l'outil des translations
** PCC se ramène à PPC avec l'outil des centres d'homothéties
** PPC se ramène à PPP à l'aide du cercle auxiliaire
* Pour CCD
** CCD se ramène à  PCD par l'outil de translation
** PCD se ramène à  PPD par les points du diamètre orthogonal
** PPD se ramène à PPP (voir plus haut)
* pour CDD 
** CDD se ramène à PDD par l'outil de translation : en fait on peut dénombrer 8 solutions lorsque le cercle comprend l'intersection des deux droites.
** PDD se ramène à PPD en remplaçant une des droites par le symétrique du point par rapport à la bissectrice intérieure des droites<ref group="note">On peut aussi faire une résolution directe par ajustement par homothétie. Voir [[:image: Cercle tg 2 droites.svg]]</ref>.
** PPD se ramène à PPP (voir plus haut)

Le nombre maximal de solutions se calcule en observant que le cercle-solution peut-être tangent intérieurement ou extérieurement aux autres cercles et que le nombre maximal de solution de la configuration PPD est de deux.

== Discussions sur le nombre de solutions ==
Au {{s-|XIX}} la discussion porte sur le nombre de solutions, Hadamard, vers 1898, propose 11 configurations  pour le problème des trois cercles{{sfn|Boyé|2008|p=74}} en excluant les cas tangents{{sfn|Boyé|1998|167}}:
* Trois d'entre elles donnent 8 solutions (3 cercles extérieurs sans intersection �� 2 cercles à l'intérieur d'un grand, sans intersection — cercles avec 6 intersections)
* six configurations conduisent à 4 solutions (quatre configurations avec deux cercles sécants et un troisième cercle n'ayant pas d'intersection avec les deux premiers - deux configurations avec deux cercles sécants et un troisième ne rencontrant qu'un seul des deux cercles)
* deux configurations rendent le problème impossible car un des cercles sépare les deux autres.

En 2013, Roger Tchangang-Tambekou propose une classification{{sfn|Tchangang-Tambekou|2013}} tenant compte de l'existence ou non d'un cercle séparant<ref group="note">Un cercle est dit séparant s'il sépare le plan en deux espaces, l'un contenant l'un des cercles et l'autre contenant le dernier cercle</ref> et en fonction du nombre total de points d'intersection entre les cercles. Il parle de point d'intersection ''double'' pour un point commun aux trois cercles. Il propose alors 17 configurations pouvant conduire à un nombre de solutions égal à 0, 2, 3, 4, 5, 6, 8 ou une infinité de solutions<ref group="note">Tchangang-Tambekou compte comme solutions possibles les cercles confondus avec un des cercles donnés, ou les cercles de rayon nul.</ref>.

{|class="wikitable center"
|+ Nombre de cercles solutions au problème CCC selon les configurations{{sfn|Tchangang-Tambekou|2013|p=5}}
|-
|<div align="right">Nombre d'intersections ▶</div> ▼ La configuration contient:
!scope="col"|0
!scope="col"|1
!scope="col"|2
!scope="col"|3
!scope="col"|4
!scope="col"|5
!scope="col"|6
|-
! scope="row"|un cercle strictement séparant
|0 sol.|| || || || || ||
|-
! scope="row"|pas de cercle séparant<br/>ni cercle tangent ni point double
|8 sol. || ||4 sol.|| ||4 sol.|| ||8 sol.
|-
! scope="row"|ni cercle séparant ni point double<br/> 1 ou 2 cercles tangents
|  ||6 sol.||5 sol.||4 sol.||5 sol.||6 sol.|| 
|-
! scope="row"|trois points de tangence
|  || || ||5 sol.|| || || 
|-
! scope="row"|un cercle séparant,<br/> des cercles tangents sans points double
| ||2 sol.||3 sol.|| || || || 
|-
! scope="row"|des points doubles
|  ||∞||2 sol.||3 sol.||5 sol.|| || 
|}

et présente l'inventaire pour les cas PCC et PPC

{|class="wikitable center"
|+ Nombre de cercles solutions au problème PCC selon les configurations{{sfn|Tchangang-Tambekou|2013|p=19}}
|-
|<div align="right">Nombre d'intersections ▶</div> ▼ La configuration contient
!scope="col"|0
!scope="col"|1
!scope="col"|2
!scope="col"|3
|-
! scope="row"|un cercle strictement séparant
|0 sol.|| || || 
|-
! scope="row"|pas de cercle séparant<br/>ni cercle tangent ni point double
|4 sol. ||2 sol. ||2 sol.|| 2 sol.
|-
! scope="row"|ni cercle séparant ni point double<br/> cercles tangents
|  ||3 sol.||2 sol.|| 
|-
! scope="row"|cercle séparant tangent
|  ||1 sol.|| ||  
|-
! scope="row"|un point double
| ||∞||1 sol.|| 
|}

Le cas PPC ne présente que trois configurations : si le cercle est séparant, il n'y a pas de solution, si un point est sur le cercle, il n'y a qu'une solution, sinon il y en a 2.

== Notes ==
{{références|group="note"}}
== Références ==
{{références}}

== Bibliographie ==
* {{ouvrage|auteur1=Anne Boyé|titre=L'Appolonius Gallus et le Problème des trois cercles, comme défense et illustration de la géométrie synthétique|sous-titre=Thèse de Doctorat|édition=Université de Nantes - Centre François Viete|lire en ligne=https://numerisation.irem.univ-mrs.fr/NA/INA98002/INA98002.pdf |année=1998}}
* {{lien web|auteur=Anne Boyé|titre=L'Apollonius Gallus de François Viète, ou le problème des trois cercles|année=2008| url=https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Di-04-Boye-apollonius-red.pdf |site=apmep.fr}} (Diaporama présenté aux journées nationales de l'[[Association des professeurs de mathématiques de l'enseignement public|APMEP]] à La Rochelle)
* {{lien web |auteur=Patrice Debart |titre=Problèmes de contact : construction de cercles |année=2006 |url=http://www.debart.fr/seconde/contruc_cercle.html |site=Descartes et les mathématiques}}
* {{lien web|auteur=Roger Tchangang-Tambekou|titre=Classification topologique des solutions du Problème d’Apollonius|année=2013|url=https://arxiv.org/pdf/1307.5482.pdf |site=arxiv.org}}

== Voir aussi ==

* [[Point d'Apollonius d'un triangle|Point d'Apollonius]] d'un triangle

=== Liens externes ===
{{Autres projets
 | commons = Category:Problem of Apollonius
}}

*[http://serge.mehl.free.fr/chrono/chrono_gif/Apollo10.gif Une figure avec les huit cercles tangents]
*[http://www-cabri.imag.fr/abracadabri/GeoPlane/Puissance/VieteDynamik.html Un problème d'Apollonius : Cercles tangents à 3 cercles]

{{Palette|Mathématiques de la Grèce antique}}

{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Cercle]]
[[Catégorie:Formule ou théorème de François Viète]]
[[Catégorie:Problème mathématique]]

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