Voir la source de Groupe de papier peint

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Un '''groupe de papier peint''' (ou '''groupe d'espace bidimensionnel''', ou '''groupe cristallographique du plan''') est un [[Groupe (mathématiques)|groupe]] mathématique constitué par l'ensemble des [[symétrie]]s d'un motif bidimensionnel périodique. De tels motifs, engendrés par la répétition ([[Translation (géométrie)|translation]]) à l'infini d'une forme dans deux directions du plan, sont souvent utilisés en [[architecture]] et dans les [[arts décoratifs]]. Il existe 17 types de groupes de papier peint, qui permettent une classification mathématique de tous les motifs bidimensionnels périodiques.

En termes de complexité, les groupes de papier peint se situent entre les [[Groupe de frise|groupes de frise]], simples, et les [[groupe d'espace|groupes d'espace]] tridimensionnels.
{{multiple image
| total_width = 876 | image_gap = 18 | align = left
| image1 = A composition of translations that leave a wallpaper unchanged.svg
| image2 = A few_patterns and_translations linked_to_pentagons endlessly_interlaced.svg
| link1 = c:File:A composition of translations that leave a wallpaper unchanged.svg
| link2 = c:File:A_few_patterns and_translations linked_to_pentagons endlessly_interlaced.svg
| caption1 = <br/>Par  essence,   un  '''papier  peint'''  est  associé  à  un<br/>[[Groupe abélien|groupe commutatif]] de [[Translation (géométrie)|translations]],  qui le [[Déplacement (géométrie)|déplacent]]<br/>devant  notre  œil  immobile  sans  rien  changer.
 | caption2 = Un  papier  peint  peut  être  représenté  par  un<br/>[[parallélogramme]] répétitif ou un autre,  construit<br/>sur  deux  translations  [[Colinéarité|non  colinéaires]]<br/>qui  le  laissent  invariant.
 | footer = <span style="font-size:120%">Dans  une  liste  [[:fr:wikt:fini#Adjectif|finie]]  sont  classés  tous  les  [[Groupe (mathématiques)|'''groupes''']]<br/>possibles d’[[isométrie]]s,  qui laissent '''[[invariant]]''' un '''papier peint'''.</span>
 | footer_align = center
}}
{{Clr}}

== Introduction ==

=== Motifs répétitifs étudiés dans l’article ===
[[File:A few patterns of Pythagorean tiling.svg|vignette|gauche|upright=1.5|
Surfaces répétitives d’un [[pavage de Pythagore]].]]

Ici l’expression « surface répétitive » désigne un découpage possible d’un « papier peint » donné, une surface dont les bords ne sont pas nécessairement des [[Segment (mathématiques)|segments]] de droites, telle que [[Union (mathématiques)|l’union]] infinie de ces surfaces répétitives '''disjointes''' : [[Intersection (mathématiques)|d’intersection]] vide, reconstitue le papier peint. L’ensemble infini des surfaces répétitives possibles, répétées indéfiniment par un « papier peint » donné, comprendra un ou des “motifs répétitifs” spécifiques de cet article.

Une façon d’inventer une surface répétitive d’un “papier peint” donné à partir d’une autre surface répétitive consiste à la tronquer quelque part, pour ajouter ailleurs un morceau de même [[Aire (géométrie)|superficie]] afin de créer une autre surface répétitive du même “papier peint”. Par exemple avec un [[Pavage du plan|pavage]] de Pythagore, à partir de la surface répétitive constituée de l’union de deux carrés adjacents de tailles différentes. Le pavage infini en entier est l’union infinie de ces surfaces [[Hexagone|hexagonales]] non [[Polygone régulier|régulières]], comme dans cet autre [[Racine carrée de trois|exemple]] de pavage de Pythagore.

Dans l’article un « '''motif répétitif''' » sera un '''[[parallélogramme]] répétitif d’aire minimale dans une position déterminée''' sur le papier peint. Cela s’éclaircira grâce au concept de [[translation]] gardant [[invariant]] un papier peint donné. Avant toute considération sur ces [[Déplacement (géométrie)|déplacements]] particuliers associés à un papier peint, précisons qu’un [[losange]] est un parallélogramme particulier, et qu’un [[carré]] est un losange particulier : les carrés en pointillés sur le pavage de Pythagore sont de la famille des parallélogrammes.

Lignes et couleurs d’un papier peint collé au mur se reproduisent à l’identique quand le regard sur le mur franchit une certaine distance dans une certaine direction, et dans un certain sens ajoute‑t‑on en mathématiques, car des droites parallèles — dites de même direction — peuvent être parcourues dans un sens ou dans le sens inverse. Autrement dit, le regard effectue une translation sur le papier peint, définie par un [[vecteur]]. Cependant la tradition, en géométrie, veut que l’œil qui observe soit fixe, tandis que l’objet géométrique [[Transformation géométrique#Classification selon leurs éléments conservés|est transformé]] : son déplacement est une transformation particulière. Aussi dit‑on que les translations <math>T\text{ et }U\,</math> de l’image transforment en lui‑même le pavage infini de Pythagore, ou le garde inchangé.

{{multiple image
| align = left | total_width = 765 | image_gap = 15
| image1 = A few isometries and repetitive zones relative to a wallpaper V1.svg
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| link2 = c:File:A few isometries and repetitive zones relative to a wallpaper V2.svg
| caption1 = '''Version  1'''.<br />Dans l’une ou l’autre orientation,  chaque losange<br />en pointillés sombres est un exemplaire du même<br />motif  répétitif,   car  la  rotation  de  ‑120°  autour<br/>de  ''S''  laisse  inchangé  le  papier  peint.
| caption2 = '''Version  2'''.<br />Le  même  papier  peint,   abstraction faite des couleurs.<br />Mais  si  nous  prenons  les  couleurs  en  considération,<br />alors  ni  ''C'',   ni  ''S''  n’est  plus  le  centre  d’une  rotation<br />qui  conserve  le  papier  peint.
| footer = <span style="font-size:120%">Est  considéré  comme  le  même  « motif  répétitif »  son  image<br />
par une [[isométrie]],  qui laisse le papier peint globalement inchangé.</span>
| footer_align = center
}} {{Clear}}

=== Premiers exemples de groupes ===

Les groupes de papier peint classifient les motifs par leur symétrie. Des différences subtiles peuvent placer des formes similaires dans des motifs de différents groupes, et des formes très différentes peuvent être incluses dans des motifs de même groupe.

Considérons l'exemple suivant :
<gallery>
Image:Wallpaper_group-p4m-2.jpg|{{Centrer|Exemple A : vêtement, [[Tahiti]]}}
Image:Wallpaper_group-p4m-1.jpg|{{Centrer|Exemple B : peinture ornementale, [[Ninive]], [[Assyrie]]}}
Image:Wallpaper_group-p4g-2.jpg|{{Centrer|Exemple C : [[porcelaine]] peinte, [[Chine]]}}
</gallery>
Les motifs A et B possèdent le même groupe de papier peint, appelé ''p''4''m'' dans la notation de l'[[Union internationale de cristallographie]] et *442 en notation des [[orbifold]]s. Le motif C possède un groupe de papier peint différent, ''p''4''g'' ou 4*2. Le fait que A et B possèdent le même groupe de papier peint signifie qu'ils possèdent les mêmes symétries, malgré des différences de forme, alors que C possède un différent groupe de papier peint, en dépit de similitudes superficielles.

Au sens large, la symétrie d'un motif est l'ensemble des opérations de symétrie qui transforment le motif et dont le résultat est identique au motif de départ. Par exemple, la [[symétrie de translation]] est présente dans un motif quand celui-ci peut être déplacé d'une certaine distance finie et apparaît inchangé. Cela est le cas quand on déplace un ensemble régulier de barres verticales dans le sens horizontal, d'une distance égale à l'espacement entre les barres. Le motif (l'ensemble de barres) apparaît inchangé. En réalité, une telle symétrie n'existe que dans un motif qui se répète exactement à l'infini. Un ensemble de barres verticales ne contenant que cinq barres ne possède pas de symétrie de translation : lorsque l'ensemble est déplacé d'un espacement entre deux barres, la barre d'un côté « disparaît » et une autre barre « apparaît » de l'autre côté. En pratique, cependant, la classification en groupes de papier peint est appliquée à des motifs finis et de petites imperfections peuvent être ignorées.

Seules les [[isométrie]]s du [[plan euclidien]] peuvent faire partie d'un groupe de papier peint. Par exemple :
* si on déplace l'exemple B d'une unité vers la droite ou vers le haut, de façon que chaque carré recouvre le carré qui lui était adjacent au départ, le motif final est ''exactement le même'' que celui de départ. Ce type de symétrie est une [[Translation (géométrie)|translation]]. Les exemples A et C sont similaires, sauf que la direction de la plus petite translation est diagonale, et pas horizontale ou verticale ;
* si on fait tourner l'exemple B de 90° dans le sens des aiguilles d'une montre, autour du centre de l'un des carrés, on obtient à nouveau exactement le même motif. Cette opération est une [[Rotation plane|rotation]]. Les exemples A et C possèdent également des rotations de 90°, même s'il est plus difficile de trouver le centre de rotation pour l'exemple C ;
* il est également possible de retourner l'exemple B par rapport à un axe horizontal qui passe par le milieu du motif. Cette opération est une [[Réflexion (mathématiques)|réflexion]]. L'exemple B possède aussi des réflexions par rapport à l'axe vertical, ainsi qu'aux diagonales. Il en est de même pour le motif A, mais pas pour le motif C, qui ne peut pas être réfléchi par rapport aux diagonales. Si on réfléchit C par rapport à une diagonale, on n'obtient pas le même motif, mais le motif original déplacé d'une certaine distance. C'est la raison pour laquelle le groupe de papier peint des exemples A et B n'est pas le même que celui de l'exemple C.

== Historique ==
{{...}}
La preuve qu'il n'existe que 17 groupes de papier peint a d'abord été fournie par [[Evgraf Fedorov]] en 1891<ref>{{article | langue=ru | nom1=[[Evgraf Fedorov]] | titre=Simmetrija na ploskosti | périodique=Zapiski Imperatorskogo Sant-Petersburgskogo Mineralogicheskogo Obshchestva | année=1891 | volume=28 | numéro=2 | pages=245-291}}</ref>, puis démontrée indépendamment par [[George Pólya]] en 1924<ref>{{article | langue=de | nom1=[[George Pólya]] | titre=Über die Analogie der Kristallsymmetrie in der Ebene | périodique=[[Zeitschrift für Kristallographie]] | année=1924 | volume=60 | numéro=1 | pages=278–282 | doi=10.1524/zkri.1924.60.1.278}}</ref>.

== Définition ==

Étant donnée une tuile ''P'' du [[plan euclidien]] <math>\mathbb{R}^2</math>, c'est-à-dire une partie [[Compacité (mathématiques)|compacte]] et [[Connexité (mathématiques)|connexe]], un [[Groupe (mathématiques)|groupe]] ''G'' d'[[isométrie]]s est dit de papier peint pour cette tuile si
* <math>\mathbb{R}^2 = \bigcup_{g\in G} g(P) </math>
* <math> \forall g,h\in G,\; g(\stackrel{\ \circ}{P}) \cap h(\stackrel{\ \circ}{P}) \neq \emptyset \Rightarrow g(P) = h(P) </math>

où le cercle désigne l'[[Intérieur (topologie)|intérieur]] topologique. Le premier point exprime que la totalité du plan est recouverte de tuiles, le deuxième que les tuiles ne se chevauchent pas (elles se rencontrent sur leur bord). On montre entre autres qu'un tel groupe a une [[topologie discrète]] et contient deux [[Translation (géométrie)|translations]] [[Indépendance linéaire|linéairement indépendantes]].

Deux tels {{lien|lang=en|trad=Isometry group|fr=Groupe d'isométries|texte=groupes d'isométries}} sont du même type (du même groupe de papier peint) s'ils sont les mêmes, sauf pour une [[application affine]] du plan. Par exemple, une translation du plan entier (et donc une translation des centres de rotation et axes de réflexion) ne change pas le groupe de papier peint. Il en est de même pour un changement d'angle entre les vecteurs de translation, tant que ce changement n'ajoute ou n'ôte pas de symétrie (ce n'est le cas qu'en l'absence d'axes de réflexion ou de [[réflexion glissée]], et si l'ordre des rotations n'est pas supérieur à 2). Contrairement au [[Groupe d'espace|cas tridimensionnel]], il est possible de restreindre ces transformations affines à celles qui conservent l'[[Orientation (mathématiques)|orientation]]. Ainsi, d'après le théorème de Bieberbach, tous les groupes de papier peint sont des groupes abstraits distincts (contrairement aux [[Groupe de frise|groupes de frise]], dont deux sont isomorphes à <math>\mathbb Z</math>).

Les motifs bidimensionnels avec une double symétrie de translation peuvent être catégorisés d'après leur type de [[groupe de symétrie]].

=== Isométries du plan euclidien ===
Les {{lien|lang=en|trad=Euclidean plane isometry|fr=Isométrie du plan euclidien|texte=isométries du plan euclidien}} sont partagées en quatre catégories :
* les [[Translation (géométrie)|translations]], notées ''T{{sub|'''v'''}}'', où '''''v''''' est un [[vecteur]] de <math>\mathbb{R}^2</math>, qui déplacent tout le plan en appliquant le vecteur de déplacement '''''v''''' ;
* les [[Rotation plane|rotations]], notées ''R''{{sub|C,θ}}, où C est un point du plan appelé « centre de rotation » et θ est l'« angle de rotation » ;
* les [[Réflexion (mathématiques)|réflexions]], notées ''F''{{sub|L}}, où L est une ligne dans <math>\mathbb{R}^2</math>, dont l'effet est de réfléchir le plan par rapport à la ligne L appelée « axe de réflexion » ou « axe miroir » ;
* les [[réflexion glissée|réflexions glissées]], notées ''G''{{sub|L,''d''}}, où L est une ligne dans <math>\mathbb{R}^2</math> et ''d'' une distance. Il s'agit de la combinaison d'une réflexion par rapport à la ligne L et d'une translation le long de L de la distance ''d''.

=== Condition sur les translations indépendantes ===
Le fait qu'un groupe de papier peint doit contenir deux translations de vecteurs linéairement indépendants implique qu'il existe deux vecteurs '''''v''''' et '''''w''''' de <math>\mathbb{R}^2</math> linéairement indépendants, tels que le groupe contienne ''T{{sub|'''v'''}}'' et ''T{{sub|'''w'''}}''.

Le but de cette condition est de différencier les groupes de papier peint des [[Groupe de frise|groupes de frise]], qui possèdent une translation, mais pas deux de vecteurs linéairement indépendants, et de les différencier aussi des [[Groupe ponctuel de symétrie|groupes ponctuels discrets de symétrie]] bidimensionnels, qui ne possèdent pas du tout de translation. Autrement dit, les groupes de papier peint classifient des motifs qui se répètent dans deux directions distinctes, au contraire des groupes de frise, qui ne s'appliquent qu'aux motifs ne se répétant que dans une seule direction.

=== Condition de caractère discret ===
La condition de caractère discret signifie qu'il existe un [[nombre réel]] positif ε tel que pour chaque translation ''T{{sub|'''v'''}}'' du groupe, le vecteur '''''v''''' a pour longueur ''au moins'' ε (sauf dans le cas où '''''v''''' est un [[vecteur nul]]).

Le but de cette condition est d'assurer que le groupe ait un domaine fondamental compact, c'est-à-dire qu'il ne s'applique qu'à des motifs de [[Maille (cristallographie)|maille]] non nulle (d'aire finie), qui se répète dans le plan.

Une conséquence importante et non triviale de la condition de caractère discret, combinée à la condition sur les translations de vecteurs linéairement indépendants, est qu'un groupe de papier peint ne peut contenir que des opérations de rotation d'ordre 1, 2, 3, 4 et 6 : chaque rotation dans le groupe doit être d'angle 360°, 180°, 120°, 90° ou 60°. Il s'agit du [[théorème de restriction cristallographique]], qui peut être généralisé pour d'autres dimensions.

== Notation des groupes de papier peint ==

=== Notation cristallographique ===
Comme les opérations de symétrie des groupes de papier peint sont également présentes dans les [[groupe d'espace|groupes d'espace]], il est possible d'utiliser une notation similaire à la [[Symboles de Hermann-Mauguin|notation de Hermann-Mauguin]] pour les groupes d'espace, développée par [[Carl Hermann]] et [[Charles Victor Mauguin]]. Il s'agit de la notation recommandée par l'[[Union internationale de cristallographie]]<ref>{{ITC-A-5}}</ref>. Un exemple de groupe de papier peint dans cette notation est ''p''31''m'', avec quatre symboles (lettres ou chiffres) ; la notation d'un groupe de papier peint peut cependant contenir moins de symboles, comme ''cmm'' ou ''pg''.

Pour les groupes de papier peint, la notation débute avec une lettre désignant le [[Réseau de Bravais#Espace bidimensionnel|mode de réseau]] : ''p'' pour un [[Réseau (géométrie)|réseau]] primitif et ''c'' pour un réseau centré. Ce premier symbole est généralement suivi par un chiffre, ''n'', indiquant l'ordre de rotation le plus élevé : 1 ([[Application identité|identité]]), 2, 3, 4 ou 6. Les deux symboles suivants indiquent des symétries par rapport à l'une des directions de translation du motif, appelée « direction principale » ; s'il existe un miroir perpendiculaire à une direction de translation, c'est cette direction qui est choisie comme direction principale (s'il existe plusieurs directions équivalentes par symétrie, une de ces directions est choisie). Les symboles possibles sont ''m'' (axe de réflexion), ''g'' (axe de réflexion glissée) ou 1 (identité, pas de symétrie plus haute). L'axe de réflexion ou de réflexion glissée est perpendiculaire à la direction principale de symétrie pour le troisième symbole, et soit parallèle, soit incliné d'un angle de 180°/''n'' (si ''n''>2) pour le dernier symbole. Plusieurs groupes possèdent des opérations de symétrie supplémentaires à celles présentes dans leurs symboles, qui découlent de la combinaison de toutes les opérations de symétrie. Pour cette raison, il est courant d'utiliser un symbole raccourci pour désigner certains groupes de papier peint. La notation raccourcie peut omettre le premier symbole de rotation, ou des opérations de réflexion, tant qu'il n'existe pas de confusion possible avec un autre groupe.

Une [[maille (cristallographie)|maille]] primitive est la plus petite région convexe du plan permettant de paver entièrement le plan sans recouvrement ni vide à l'aide des translations de réseau. Quasiment tous les groupes de papier peint sauf deux sont décrits par rapport à une maille primitive, utilisant un système de coordonnées utilisant les plus petits vecteurs de translation linéairement indépendants du réseau. Dans les deux cas non primitifs, la description de la symétrie est faite par rapport à une maille centrée, deux fois plus grande que la maille primitive, et qui possède donc des translations internes ; la direction des côtés de la maille est différente de celle des vecteurs de translation définissant la maille primitive. La notation de Hermann-Mauguin pour les [[groupe d'espace|groupes d'espace]] utilise des modes de réseau supplémentaires.

Exemples :
* ''p''2 (''p''211) : maille primitive, rotation d'ordre 2, pas de réflexion ni de réflexion glissée ;
* ''p''4''g'' (''p''4''gm'') : maille primitive, rotation d'ordre 4, réflexion glissée orthogonalement à la direction principale, réflexion par rapport à un axe incliné de 45° par rapport à la direction principale ;
* ''cmm'' (''c''2''mm'') : maille centrée, rotation d'ordre 2, réflexions orthogonalement et parallèlement à la direction principale ;
* ''p''31''m'' (''p''31''m'') : maille primitive, rotation d'ordre 3, réflexion par rapport à un axe incliné de 60° par rapport à la direction principale.
Le tableau suivant indique les groupes de papier peint dont la notation raccourcie diffère de la notation complète :
{| class="wikitable"
! scope=col | Notation raccourcie
| ''p''2 || ''pm'' || ''pg'' || ''cm'' || ''pmm'' || ''pmg'' || ''pgg'' || ''cmm'' || ''p''4''m'' || ''p''4''g'' || ''p''6''m''
|-
! scope=col | Notation complète
| ''p''211 || ''p''1''m''1 || ''p''1''g''1 || ''c''1''m''1 || ''p''2''mm'' || ''p''2''mg'' || ''p''2''gg'' || ''c''2''mm'' || ''p''4''mm'' || ''p''4''gm'' || ''p''6''mm''
|}

Les autres groupes sont ''p''1, ''p''3, ''p''3''m''1, ''p''31''m'', ''p''4 et ''p''6.

=== Notation des orbifolds ===
{{...}}
La notation des orbifolds pour les groupes de papier peint a été introduite par [[John Horton Conway]]<ref>{{chapitre | langue=en | titre chapitre=The Orbifold Notation for Surface Groups | année=Cambridge University Press, Cambridge, 1992 | auteur=[[John Horton Conway]] | titre ouvrage=Proceedings of the L.M.S. Durham Symposium, July 5–15, [[Durham (Angleterre)|Durham]], UK, 1990 | sous-titre ouvrage=Groups, Combinatorics and Geometry | passage=438–447 | éditeur=M. W. Liebeck et J. Saxl | collection=London Math. Soc. Lecture Notes Series | numéro dans collection=165}}</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage | langue=en | nom1=[[John Horton Conway]] | nom2=Heidi Burgiel | nom3=Chaim Goodman-Strauss | titre=The Symmetries of Things | éditeur=[[Taylor and Francis]] | année=2008 | pages totales=426 | isbn=978-1-56881-220-5 | isbn2=1-56881-220-5}}</ref>. Elle n'est pas basée sur la [[cristallographie]], mais sur la [[topologie]].

== Les dix-sept groupes de papier peint ==
Chaque groupe dans cette section possède deux diagrammes de structure de maille, qui sont interprétés de la manière suivante :
{| class="wikitable"
| align="right" | [[Image:Wallpaper group diagram legend rotation2.svg|20px|]]
| un centre de rotation d'ordre 2 (180°)
|-
| align="right" | [[Image:Wallpaper group diagram legend rotation3.svg|20px|]]
| un centre de rotation d'ordre 3 (120°)
|-
| align="right" | [[Image:Wallpaper group diagram legend rotation4.svg|20px|]]
| un centre de rotation d'ordre 4 (90°)
|-
| align="right" | [[Image:Wallpaper group diagram legend rotation6.svg|20px|]]
| un centre de rotation d'ordre 6 (60°)
|-
| align="right" | [[Image:Wallpaper group diagram legend reflection.svg|120px|]]
| un axe de réflexion
|-
| align="right" | [[Image:Wallpaper group diagram legend glide reflection.svg|120px|]]
| un axe de réflexion glissée
|}
Dans les diagrammes de gauche, l'aire jaune représente le [[domaine fondamental]], aussi appelé [[maille (cristallographie)#Unité asymétrique|unité asymétrique]], c'est-à-dire la plus petite partie du motif qui peut servir à reconstruire le motif en entier à partir de toutes les opérations de symétrie du groupe. Les diagrammes de droite montrent la maille primitive du réseau correspondant aux plus petites translations ; la maille dans les diagrammes de gauche a parfois une aire deux fois plus grande.

=== Famille cristalline monoclinique ===
Dans la [[famille cristalline]] monoclinique, le [[système cristallin|système réticulaire]] est également monoclinique. Les deux vecteurs de translation définissant la maille élémentaire peuvent avoir des longueurs différentes et l'angle entre les deux vecteurs est quelconque.

==== Groupe ''p''1 ====
* Notation des orbifolds : '''o'''
* [[Groupe ponctuel de symétrie]] : 1 ([[Symboles de Hermann-Mauguin|notation de Hermann-Mauguin]]), C{{ind|1}} ([[Notation Schoenflies|notation de Schoenflies]])
* Le groupe ''p''1 ne contient que des translations ; il n'y a ni rotation, ni réflexion, ni réflexion glissée.
<gallery>
Image:Wallpaper group diagram p1.svg|{{Centrer|Structure de maille pour ''p''1}}
Image:SymBlend p1.svg|{{Centrer|Exemple et diagramme pour ''p''1}}
Image:Wallpaper_group-p1-3.jpg|{{Centrer|Exemple : décoration murale [[Moyen Âge|médiévale]]}}</gallery>

==== Groupe ''p''2 ====
[[Image:SymBlend p2.svg|right|thumb|Exemple et diagramme pour ''p''2]]
[[Image:Wallpaper group diagram p2.svg|left|thumb|Structure de maille pour ''p''2]]
* Notation des orbifolds : '''2222'''
* Groupe ponctuel de symétrie : 2 (notation de Hermann-Mauguin), C{{ind|2}} (notation de Schoenflies)
* Le diagramme du groupe ''p''2 contient quatre centres de rotation d'ordre 2 (180°), mais pas d'axe de réflexion ni de réflexion glissée.
{{-}}
<gallery caption="Exemples pour le groupe ''p''2">
Image:Wallpaper_group-p2-1.jpg|{{Centrer|Tissu, [[Géographie d'Hawaï|Îles d'Hawaï]]}}
Image:Wallpaper_group-p2-2.jpg|{{Centrer|Tapis [[Égypte antique|égyptien]]}}
Image:Wallpaper_group-p2-2 detail 2.jpg|{{Centrer|Tapis égyptien (détail)}}
Image:Wallpaper_group-p2-4.jpg|{{Centrer|Clôture en fil de fer}}
</gallery>

=== Famille cristalline orthorhombique ===
Dans la [[famille cristalline]] orthorhombique, le [[système cristallin|système réticulaire]] est également orthorhombique. Les deux vecteurs de translation définissant la maille élémentaire peuvent avoir des longueurs différentes ; ils forment un angle de 90° entre eux.

==== Groupe ''pm'' ====
[[Image:SymBlend pm.svg|right|thumb|Exemple et diagramme pour ''pm'']]
[[Image:Wallpaper group diagram pm.svg|left|thumb|Structure de maille pour ''pm'']]
* Notation des orbifolds : '''**'''
* Groupe ponctuel de symétrie : ''m'' (notation de Hermann-Mauguin), D<sub>1</sub> (notation de Schoenflies)
* Le groupe ''pm'' ne possède pas de rotation. Il contient des réflexions d'axes parallèles.
Les motifs des deux premiers exemples ci-dessous ont un axe de symétrie vertical ; les deux derniers ont chacun un axe de symétrie diagonal différent. Dans le dernier exemple, strictement parlant, le groupe du motif est ''p''1 : le [[Segment (mathématiques)|segment]] reliant deux ovales d'une même ligne brise la symétrie miroir.
{{-}}
<gallery caption="Exemples pour le groupe ''pm''">
Image:Wallpaper_group-pm-3.jpg|{{Centrer|Tissu égyptien provenant d'une tombe dans la [[vallée des rois]] en Égypte}}
Image:Wallpaper_group-pm-4.jpg|{{Centrer|Tombe égyptienne à [[Thèbes (Égypte)|Thèbes]]}}
Image:Wallpaper_group-pm-1.jpg|{{Centrer|Plafond d'une tombe égyptienne}}
Image:Wallpaper_group-pm-5.jpg|{{Centrer|Ferronnerie [[Inde|indienne]] à l'[[exposition universelle de 1851]]}}
</gallery>

==== Groupe ''pg'' ====
[[Image:SymBlend pg.svg|right|thumb|Exemple et diagramme pour ''pg'']]
[[Image:Wallpaper group diagram pg.svg|left|thumb|Structure de maille pour ''pg'']]
* Notation des orbifolds : '''xx'''
* Groupe ponctuel de symétrie : ''m'' (notation de Hermann-Mauguin), D<sub>1</sub> (notation de Schoenflies)
* Le groupe ''pg'' ne contient que des réflexions glissées d'axes parallèles entre eux. Il n'y a ni rotation ni réflexion pure.
Sans les détails de structure, le groupe du tapis ci-dessous est ''pmg'' ; avec les détails de structure mais en ignorant les couleurs, le groupe est ''pgg''. Dans l'exemple du pavage carré adouci, les axes de réflexion glissée sont diagonaux, du haut à gauche vers le bas à droite. En ignorant les couleurs, la symétrie n'est plus ''pg'' mais ''p''4''g''.
{{-}}
<gallery caption="Exemples pour le groupe ''pg''">
Image:Wallpaper_group-pg-1.jpg|{{Centrer|Tapis égyptien avec un [[motif à chevron|motif en épi ou à chevron]]}}
Image:Wallpaper_group-pg-1 detail.jpg|{{Centrer|Tapis égyptien (détail)}}
Image:Tile 33434.svg|{{Centrer|Un des coloriages du [[pavage carré adouci]]}}
</gallery>

==== Groupe ''cm'' ====
[[Image:SymBlend cm.svg|right|thumb|Exemple et diagramme pour ''cm'']]
[[Image:Wallpaper group diagram cm.svg|left|thumb|Structure de maille pour ''cm'']]
* Notation des orbifolds : '''*x'''
* Groupe ponctuel de symétrie : ''m'' (notation de Hermann-Mauguin), D<sub>1</sub> (notation de Schoenflies)
* Le groupe ''cm'' ne contient pas de rotation. Il a des réflexions d'axes parallèles entre eux. Il existe au moins une réflexion glissée dont l'axe n'est pas un axe de réflexion et est situé exactement entre deux axes de réflexion.
Ce groupe décrit la symétrie de lignes décalées d'objets identiques possédant un axe de symétrie perpendiculaire aux lignes (chaque ligne est déplacée par rapport à ses voisines dans le sens de la longueur d'une demi-translation de celle des objets composant la ligne).
{{-}}
<gallery caption="Exemples pour le groupe ''cm''">
Image:Wallpaper_group-cm-1.jpg|{{Centrer|Robe d'[[Amon]], d'[[Abou Simbel]] en Égypte}}
Image:Wallpaper_group-cm-3.jpg|{{Centrer|Bol en [[bronze]] de [[Kalkhu]], [[Assyrie]]}}
Image:Wallpaper_group-cm-5.jpg|{{Centrer|[[Soffite]] d'[[Arc (architecture)|arc]], [[Alhambra (Grenade)|Alhambra]], [[Espagne]]}}
Image:Wallpaper_group-cm-6.jpg|{{Centrer|[[Tapisserie]] [[Culture de l'Iran|perse]]}}
</gallery>

==== Groupe ''pmm'' ====
[[Image:SymBlend pmm.svg|right|thumb|Exemple et diagramme pour ''pmm'']]
[[Image:Wallpaper group diagram pmm.svg|left|thumb|Structure de maille pour ''pmm'']]
* Notation des orbifolds : '''*2222'''
* Groupe ponctuel de symétrie : 2''mm'' (notation de Hermann-Mauguin), ''mm'' (notation abrégée de Hermann-Mauguin), D<sub>2</sub> (notation de Schoenflies)
* Le groupe ''pmm'' (''p''2''mm'' en notation complète) possède des réflexions par rapport à des axes dans deux directions perpendiculaires, et des rotations d'ordre 2 (180°) autour de quatre centres, situés à l'intersection des axes miroirs.
Dans le troisième exemple ci-dessous, si on ne considère pas les couleurs, le groupe de papier peint est du type ''p''4''m''.
{{-}}
<gallery caption="Exemples pour le groupe ''pmm''">
Image:Wallpaper_group-pmm-1.jpg|{{Centrer|[[Clôture]]}}
Image:Wallpaper_group-pmm-2.jpg|{{Centrer|[[Sarcophage]] de [[momie]], au [[Musée du Louvre|Louvre]]}}
Image:Wallpaper_group-pmm-4.jpg|{{Centrer|Sarcophage de momie, au Louvre}}
</gallery>

==== Groupe ''pmg'' ====
[[Image:SymBlend pmg.svg|right|thumb|Exemple et diagramme pour ''pmg'']]
[[Image:Wallpaper group diagram pmg.svg|left|thumb|Structure de maille pour ''pmg'']]
* Notation des orbifolds : '''22*'''
* Groupe ponctuel de symétrie : 2''mm'' (notation de Hermann-Mauguin), ''mm'' (notation abrégée de Hermann-Mauguin), D<sub>2</sub> (notation de Schoenflies)
* Le groupe ''pmg'' (''p''2''mg'' en notation complète) possède des rotations d'ordre 2 (180°) autour de deux centres non équivalents dans la maille et des réflexions par rapport à une seule direction. Il possède des réflexions glissées d'axes perpendiculaires aux axes de réflexion. Les centres de rotation sont tous situés sur les axes de réflexion glissée.
{{-}}
<gallery caption="Exemples pour le groupe ''pmg''">
Image:Wallpaper_group-pmg-1.jpg|{{Centrer|Tissu, îles Sandwich ([[Géographie d'Hawaï|Hawaï]])}}
Image:Wallpaper_group-pmg-2.jpg|{{Centrer|Plafond d'une tombe égyptienne}}
Image:Wallpaper_group-pmg-3.jpg|{{Centrer|Carrelage à [[Prague]] ([[République tchèque]])}}
Image:2-d pentagon packing.svg|{{Centrer|Empilement de [[pentagone]]s}}
</gallery>

==== Groupe ''pgg'' ====
[[Image:SymBlend pgg.svg|right|thumb|Exemple et diagramme pour ''pgg'']]
[[Image:Wallpaper group diagram pgg.svg|left|thumb|Structure de maille pour ''pgg'']]
* Notation des orbifolds : '''22x'''
* Groupe ponctuel de symétrie : 2''mm'' (notation de Hermann-Mauguin), ''mm'' (notation abrégée de Hermann-Mauguin), D<sub>2</sub> (notation de Schoenflies)
* Le groupe ''pgg'' (''p''2''gg'' en notation complète) contient deux rotations d'ordre 2 (180°) et des réflexions glissées dans deux directions perpendiculaires. Les centres de rotation ne sont pas situés sur les axes de réflexion glissée mais aux centres des rectangles formés par ceux-ci. Il n'y a pas de réflexion.
{{-}}
<gallery caption="Exemples pour le groupe ''pgg''">
Image:Wallpaper_group-pgg-1.jpg|{{Centrer|Bol en bronze en provenance de Kalkhu, Assyrie}}
Image:Wallpaper_group-pgg-2.jpg|{{Centrer|[[Chaussée]] à [[Budapest]], [[Hongrie]]. Les axes de réflexion glissée sont diagonaux.}}
</gallery>

==== Groupe ''cmm'' ====
[[Image:SymBlend cmm.svg|right|thumb|Exemple et diagramme pour ''cmm'']]
[[Image:Wallpaper group diagram cmm.svg|left|thumb|Structure de maille pour ''cmm'']]
* Notation des orbifolds : '''2*22'''
* Groupe ponctuel de symétrie : 2''mm'' (notation de Hermann-Mauguin), ''mm'' (notation abrégée de Hermann-Mauguin), D<sub>2</sub> (notation de Schoenflies)
* Le groupe ''cmm'' (''c''2''mm'' en notation complète) contient des réflexions d'axes selon deux directions perpendiculaires et une rotation d'ordre 2 (180°) dont le centre n'est pas sur un axe de réflexion. Il possède également deux rotations d'ordre 2 dont les centres sont à l'intersection de deux axes de réflexion : l'application successive de deux réflexions d'axes perpendiculaires est identique à l'application d'une rotation d'ordre 2 autour du point d'intersection des deux axes de réflexion.
Ce groupe est fréquemment rencontré dans la vie quotidienne, car il correspond à l'arrangement de [[Brique (matériau)|briques]] le plus souvent utilisé en [[construction]] (voir le deuxième exemple ci-dessous).
{{-}}
<gallery caption="Exemples pour le groupe ''cmm''">
Image:Tile 33344.svg|{{Centrer|Un des 8 [[Pavage par des polygones réguliers#Pavages semi-réguliers|pavages semi-réguliers]]}}
Image:Wallpaper_group-cmm-1.jpg|{{Centrer|Mur de briques, [[États-Unis]]}}
Image:Wallpaper_group-cmm-2.jpg|{{Centrer|Plafond d'une tombe égyptienne}}
Image:Wallpaper_group-cmm-4.jpg|{{Centrer|Tapisserie perse}}
</gallery>
Dans le premier exemple, le groupe de papier peint n'est ''cmm'' que si l'on ignore la couleur ; sinon, il s'agit du groupe ''pg''. Dans le troisième exemple, en ignorant la couleur, on obtient le groupe ''p''4''g''.
<gallery caption="Autres exemples : [[Empilement compact|empilements compacts]] de cercles de tailles différentes">
Image:2-d dense packing r1.svg|
Image:2-d dense packing r3.svg|
Image:2-d dense packing r7.svg|
</gallery>

=== Famille cristalline quadratique ===
Dans la [[famille cristalline]] quadratique<ref name="tétragonal" group="note">L’adjectif d'origine latine ''quadratique'' est plus utilisé en français que l'adjectif d'origine grecque ''tétragonal''. Toutefois, ce dernier est l'adjectif standard utilisé dans les [[Tables internationales de cristallographie]]. Par ailleurs, les symboles des réseaux de Bravais dans cette famille utilisent la première lettre ''t'' de l'adjectif tétragonal.</ref>, le [[système cristallin|système réticulaire]] est également quadratique. Les deux vecteurs de translation définissant la maille élémentaire sont de même longueur et forment un angle de 90° entre eux.

==== Groupe ''p''4 ====
[[Image:SymBlend p4.svg|right|thumb|Exemple et diagramme pour ''p''4]]
[[Image:Wallpaper group diagram p4.svg|left|thumb|Structure de maille pour ''p''4]]
* Notation des orbifolds : '''442'''
* Groupe ponctuel de symétrie : 4 (notation de Hermann-Mauguin), C<sub>4</sub> (notation de Schoenflies)
* Le groupe ''p''4 possède deux rotations d'ordre 4 (90°) de centres différents et une rotation d'ordre 2 (180°). Il ne possède ni réflexion, ni réflexion glissée.
Un examen attentif du premier exemple ci-dessous montre que malgré les apparences, le motif ne contient pas d'axe de réflexion.
{{-}}
<gallery caption="Exemples pour le groupe ''p''4">
Image:Wallpaper_group-p4-3.jpg|{{Centrer|Frise, [[Alhambra (Castille-La Manche)|Alhambra]], Espagne}}
Image:Wallpaper_group-p4-4.jpg|{{Centrer|[[Cannage]]}}
Image:Wallpaper_group-p4-5.jpg|{{Centrer|Faïence, [[Art de la Renaissance|Renaissance]]}}
Image:A tri-colored Pythagorean tiling View 4.svg|{{Centrer|[[Pavage de Pythagore]]}}
</gallery>

==== Groupe ''p''4''m'' ====
[[Image:SymBlend p4m.svg|right|thumb|Exemple et diagramme pour ''p''4''m'']]
[[Image:Wallpaper group diagram p4m.svg|left|thumb|Structure de maille pour ''p''4''m'']]
* Notation des orbifolds : '''*442'''
* Groupe ponctuel de symétrie : 4''mm'' (notation de Hermann-Mauguin), 4''m'' (notation abrégée de Hermann-Mauguin), D<sub>4</sub> (notation de Schoenflies)
* Le groupe ''p''4''m'' (''p''4''mm'' en notation complète) possède des rotations d'ordre 4 (90°) autour de deux centres de rotation et des réflexions par rapport à quatre directions distinctes (horizontale, verticale et diagonales). Il possède en outre des réflexions glissées dont les axes ne sont pas des axes de réflexion et des rotations d'ordre 2 (180°) autour des points d'intersection des axes de réflexion glissée. Tous les centres de rotation sont situés sur des axes de réflexion.
{{-}}
<gallery caption="Exemples pour le groupe ''p''4''m''">
Image:Tiling Semiregular 4-8-8 Truncated Square.svg|{{Centrer|[[Pavage carré tronqué]]}}
Image:Wallpaper_group-p4m-3.jpg|{{Centrer|[[Plaque d'égout]], États-Unis}}
Image:2-d dense packing r4.svg|{{Centrer|Empilement de cercles de tailles différentes}}
Image:Wallpaper_group-p4m-7.jpg|{{Centrer|Motif de la [[cathédrale Saint-Étienne de Bourges]]}}
</gallery>

==== Groupe ''p''4''g'' ====
[[Image:SymBlend p4g.svg|right|thumb|Exemple et diagramme pour ''p''4''g'']]
[[Image:Wallpaper group diagram p4g.svg|left|thumb|Structure de maille pour ''p''4''g'']]
* Notation des orbifolds : '''4*2'''
* Groupe ponctuel de symétrie : 4''mm'' (notation de Hermann-Mauguin), 4''m'' (notation abrégée de Hermann-Mauguin), D<sub>4</sub> (notation de Schoenflies)
* Le groupe ''p''4''g'' (''p''4''gm'' en notation complète) possède des rotations d'ordre 4 (90°) autour de deux centres de rotation, reliés entre eux par une opération de réflexion, et des réflexions par rapport à deux axes perpendiculaires entre eux. Il existe des rotations d'ordre 2 (180°) dont les centres sont situés à l'intersection des axes de réflexion. Le groupe possède des réflexions glissées d'axes parallèles aux axes de réflexion et situés exactement entre deux axes de réflexion, ainsi que des réflexions glissées d'axes diagonaux, faisant un angle de 45° avec les premiers.
{{-}}
<gallery caption="Exemples pour le groupe ''p''4''g''">
Image:Wallpaper_group-p4g-1.jpg|{{Centrer|[[Linoleum]] de salle de bains, États-Unis}}
Image:Wallpaper_group-p4g-2.jpg|{{Centrer|[[Porcelaine]] painte, [[Chine]]}}
Image:Uniform tiling 44-h01.png|{{Centrer|Un coloriage du [[pavage carré adouci]]}}
</gallery>

=== Famille cristalline hexagonale ===

==== Groupe ''p''3 ====
[[Image:SymBlend p3.svg|right|thumb|Exemple et diagramme pour ''p''3]]
[[Image:Wallpaper group diagram p3.svg|left|thumb|Structure de maille pour ''p''3]]
* Notation des orbifolds : '''333'''
* Famille cristalline et système réticulaire : hexagonal
* Groupe ponctuel de symétrie : 3 (notation de Hermann-Mauguin), C<sub>3</sub> (notation de Schoenflies)
* Le groupe ''p''3 possède des rotations d'ordre 3 (120°) autour de trois centres différents, mais ne possède ni réflexion, ni réflexion glissée.

Considérons un [[pavage]] du plan par des [[Triangle équilatéral|triangles équilatéraux]], dont les côtés correspondent aux plus petites translations du motif<ref group="note">Par « triangle équilatéral », on désigne ici un objet dont le périmètre est décrit par un triangle équilatéral, mais dont le contenu peut être quelconque.</ref>. Une moitié des triangles possède une certaine orientation, tandis que l'autre moitié est orientée dans l'autre sens. Le groupe de papier peint ''p''3 correspond au cas où tous les triangles d'une même orientation sont identiques, mais différents des triangles possédant l'autre orientation ; bien qu'ayant tous une symétrie de rotation d'ordre 3, les deux types de triangles ne sont pas équivalents par réflexion et les triangles eux-mêmes ne sont pas symétriques. Pour un motif du groupe ''p''3 donné, trois pavages sont possibles, chacun possédant des nœuds de [[Réseau (géométrie)|réseau]] sur des centres de rotation différents. En d'autres termes, pour chaque pavage, il existe trois choix d'origine alternatifs. Dans le diagramme pour ''p''3 donné ci-dessus à droite, les nœuds de réseau peuvent être choisis sur les triangles rouges, bleus ou verts. Si tous les triangles du motif sont identiques, le groupe obtenu est ''p''6, si les triangles sont équivalents par réflexion, le groupe est ''p''31''m'', et si les triangles eux-mêmes possèdent un axe de réflexion, le groupe est ''p''3''m''1 ; si au moins deux des conditions précédentes sont satisfaites, la troisième s'ensuit, et le groupe est alors ''p''6''m''.

Il est aussi possible de considérer un pavage du plan par des [[hexagone]]s réguliers<ref group="note">Par « hexagone régulier », on désigne ici un objet dont le périmètre est décrit par un hexagone régulier, mais dont le contenu peut être quelconque.</ref>, dont les côtés correspondent à la longueur de la plus petite translation du motif divisée par √3. Le groupe ''p''3 correspond alors au cas où tous les hexagones sont identiques, de même orientation et possèdent une symétrie de rotation d'ordre 3, sans symétrie de réflexion. Pour un tel motif, il existe trois pavages alternatifs, chaque choix de nœud de réseau correspondant à un tiers des centres des hexagones. Si les hexagones possèdent une symétrie de rotation d'ordre 6, le groupe obtenu est ''p''6, s'ils sont symétriques par réflexion par rapport à leurs diagonales principales, le groupe est ''p''31''m'', s'ils sont symétriques par rapport à des lignes perpendiculaires à leurs côtés, le groupe est ''p''3''m''1 ; si au moins deux des conditions précédentes sont satisfaites, la troisième s'ensuit, et le groupe est alors ''p''6''m''.
{{-}}
<gallery caption="Exemples pour le groupe ''p''3">
Image:Tile 33336.svg|{{Centrer|Coloriage du [[pavage hexagonal adouci]]}}
Image:Wallpaper_group-p3-1.jpg|{{Centrer|Chaussée à [[Zakopane]], [[Pologne]]}}
Image:Alhambra-p3-closeup.jpg|{{Centrer|Décoration murale, [[Alhambra (Castille-La Manche)|Alhambra]], [[Espagne]]}}
</gallery>
Dans le premier exemple, en ignorant les couleurs, le groupe de papier peint est ''p''6. Dans le dernier exemple, le groupe de papier peint n'est ''p''3 qu'en ignorant les couleurs.

==== Groupe ''p''3''m''1 ====
[[Image:SymBlend p3m1.svg|right|thumb|Exemple et diagramme pour ''p''3''m''1]]
[[Image:Wallpaper group diagram p3m1.svg|left|thumb|Structure de maille pour ''p''3''m''1]]
* Notation des orbifolds : '''*333'''
* Famille cristalline et système réticulaire : hexagonal
* Groupe ponctuel de symétrie : 3''m'' (notation de Hermann-Mauguin), D<sub>3</sub> (notation de Schoenflies)
* Le groupe ''p''3''m''1 possède des rotations d'ordre 3 (120°) autour de trois centres différents et des réflexions par rapport à trois directions, correspondant aux côtés de triangles équilatéraux. Les centres de rotation sont situés à l'intersection des réflexions. Le groupe possède également des réflexions glissées par rapport à trois directions parallèles aux réflexions, mais dont les axes passent entre deux centres de rotation.

Comme pour le groupe ''p''3, considérons un pavage du plan par des triangles équilatéraux de même taille et dont les côtés correspondent aux plus petites translations. Alors, la moitié des triangles possède une orientation opposée à celle de l'autre moitié des triangles. Ce groupe de papier peint correspond au cas où tous les triangles de même orientation sont identiques. Deux triangles d'orientations différentes sont tous deux de symétrie ponctuelle 3''m'', mais ils ne sont ni identiques, ni l'image l'un de l'autre par réflexion. Pour un pavage de symétrie ''p''3''m''1 donné, trois choix de maille sont possibles, dépendant du centre de rotation choisi comme origine. Dans la structure de maille représentée à gauche, l'origine peut-être choisie soit sur un centre bleu, sur un centre rouge ou sur un centre vert.
{{-}}
<gallery caption="Exemples pour le groupe ''p''3''m''1">
Image:Tile 6,3.svg|{{Centrer|[[Pavage triangulaire]]}}
Image:Tile 3bb.svg|{{Centrer|[[Pavage hexagonal tronqué]]}}
Image:Wallpaper group-p3m1-3.jpg|{{Centrer|Décoration [[Culture de l'Iran|perse]]}}
Image:Wallpaper group-p3m1-2.jpg|{{Centrer|Peinture [[Chine|chinoise]]}}
</gallery>
Dans les deux premiers exemples, en ignorant les couleurs, le groupe de papier peint est ''p''3''m''1.

==== Groupe ''p''31''m'' ====
[[Image:SymBlend p31m.svg|right|thumb|Exemple et diagramme pour ''p''31''m'']]
[[Image:Wallpaper group diagram p31m.svg|left|thumb|Structure de maille pour ''p''31''m'']]
* Notation des orbifolds : '''3*3'''
* Famille cristalline et système réticulaire : hexagonal
* Groupe ponctuel de symétrie : 3''m'' (notation de Hermann-Mauguin), D<sub>3</sub> (notation de Schoenflies)
* Le groupe ''p''31''m'' possède des rotations d'ordre 3 (120°) autour de trois centres et des réflexions par rapport à trois directions. Deux des centres de rotation sont équivalents par réflexion et ne sont pas situés sur des axes de réflexion. Comme le groupe ''p''3''m''1, ''p''31''m'' possède également des réflexions glissées par rapport à trois directions parallèles aux réflexions, mais dont les axes passent entre deux axes de réflexion, auxquels ils sont parallèles.
Comme pour les groupes ''p''3 et ''p''3''m''1, considérons un pavage du plan par des triangles équilatéraux de même taille et dont les côtés correspondent aux plus petites translations. Alors, la moitié des triangles possède une orientation opposée à celle de l'autre moitié des triangles. Ce groupe de papier peint correspond au cas où tous les triangles de même orientation sont identiques. Deux triangles d'orientations différentes sont tous deux de symétrie ponctuelle 3 et sont l'image l'un de l'autre par réflexion. Pour un tel pavage, il n'existe qu'un choix possible pour l'origine de la maille : le centre de rotation d'ordre 3 situé à l'intersection des axes de réflexion (en rouge dans la structure de maille représentée à gauche).
{{-}}
<gallery caption="Exemples pour le groupe ''p''31''m''">
Image:2-d dense packing r2.svg|{{Centrer|[[Empilement compact]] de cercles de tailles différentes}}
Image:Wallpaper group-p31m-1.jpg|{{Centrer|[[Glacis (peinture)|Glacis]] [[Culture de l'Iran|perse]]}}
Image:Wallpaper group-p31m-2.jpg|{{Centrer|[[Porcelaine]] peinte, [[Chine]]}}
Image:Wallpaper group-p31m-3.jpg|{{Centrer|Peinture [[Chine|chinoise]]}}
</gallery>

==== Groupe ''p''6 ====
[[Image:SymBlend p6.svg|right|thumb|Exemple et diagramme pour ''p''6]]
[[Image:Wallpaper group diagram p6.svg|left|thumb|Structure de maille pour ''p''6]]
* Notation des orbifolds : '''632'''
* Famille cristalline et système réticulaire : hexagonal
* Groupe ponctuel de symétrie : 6 (notation de Hermann-Mauguin), C<sub>6</sub> (notation de Schoenflies)
* Le groupe ''p''6 possède une rotation d'ordre 6 (60°), des rotations d'ordre 3 (120°) et des rotations d'ordre 2 (180°). Pour chaque type de rotation, les centres de rotation dans la maille sont équivalents par symétrie. Ce groupe ne possède ni réflexion, ni réflexion glissée.
Ce groupe correspond à un pavage du plan avec des triangles équilatéraux identiques de sym��trie ponctuelle 3, ou à un pavage du plan avec des hexagones de symétrie ponctuelle 6 (les bords des hexagones ne faisant pas forcément partie du motif).
{{-}}
<gallery caption="Exemples pour le groupe ''p''6">
Image:A periodic tiling by regular hexagons and equilateral triangles.svg|{{Centrer|[[Pavage par des polygones réguliers]]}}
Image:Wallpaper group-p6-1.jpg|{{Centrer|Panneau mural, [[Alhambra (Grenade)|Alhambra]], [[Espagne]]}}
Image:Wallpaper group-p6-2.jpg|{{Centrer|Décoration [[Culture de l'Iran|perse]]}}
</gallery>

==== Groupe ''p''6''m'' ====
[[Image:SymBlend p6m.svg|right|thumb|Exemple et diagramme pour ''p''6''m'']]
[[Image:Wallpaper group diagram p6m.svg|left|thumb|Structure de maille pour ''p''6''m'']]
* Notation des orbifolds : '''*632'''
* Famille cristalline et système réticulaire : hexagonal
* Groupe ponctuel de symétrie : 6''mm'' (notation de Hermann-Mauguin), 6''m'' (notation abrégée de Hermann-Mauguin), D<sub>6</sub> (notation de Schoenflies)
* Le groupe ''p''6''m'' possède une rotation d'ordre 6 (60°), des rotations d'ordre 3 (120°) et des rotations d'ordre 2 (180°). Il possède également des réflexions et des réflexions glissées. Pour chaque type de rotation, les centres de rotation dans la maille sont équivalents par symétrie et sont situés à l'intersection d'axes de réflexion.
Ce groupe correspond à un pavage du plan avec des triangles équilatéraux identiques de symétrie ponctuelle 3''m'', ou à un pavage du plan avec des hexagones de symétrie ponctuelle 6''m'' (les bords des hexagones ne faisant pas forcément partie du motif).
{{-}}
<gallery caption="Exemples pour le groupe ''p''6''m''">
Image:Tiling Semiregular 4-6-12 Great Rhombitrihexagonal.svg|{{Centrer|[[Pavage grand rhombitrihexagonal]]}}
Image:Wallpaper group-p6m-4.jpg|{{Centrer|[[Marbre]] [[Art byzantin|byzantin]], [[Rome]], [[Italie]]}}
Image:Wallpaper group-p6m-1.jpg|{{Centrer|[[Glacis (peinture)|Glacis]] [[Culture de l'Iran|perse]]}}
Image:Wallpaper group-p6m-3.jpg|{{Centrer|Récipient en [[bronze]] à [[Nimroud]], [[Assyrie]]}}
</gallery>

=== Sur le nombre de groupes de papier peint ===
{{...}}

== Guide de reconnaissance des groupes de papier peint ==
Pour déterminer le groupe de papier peint d'un motif, il est possible d'utiliser le tableau suivant<ref>{{Ouvrage | langue=en | prénom1=Paulo G. | nom1=Radaelli | titre=Symmetry in crystallography | sous-titre=Understanding the international tables | lieu=Oxford | éditeur=Oxford University Press | année=2011 | pages totales=126 | passage=49 | isbn=978-0-19-955065-4 | lire en ligne=https://books.google.com/books?id=GR6H2tOXdkwC&printsec=frontcover}}</ref> :
{| class="wikitable centre" style="text-align: center"
! rowspan="2" | Plus petit angle<br />de rotation !! colspan="6" | Contient une réflexion ?
|-
| colspan="4" | Oui || colspan="2" | Non
|-
| 360° / 6 = 60° || colspan="4" | ''p''6''m'' (*632) || colspan="2" | ''p''6 (632)
|-
| rowspan="2" | 360° / 4 = 90° || colspan="4" | '''Contient un miroir à 45° ?''' || rowspan="2" colspan="2" | ''p''4 (442)
|-
| colspan="2" |Oui : ''p''4''m'' (*442) || colspan="2" | Non : ''p''4''g'' (4*2)
|-
| rowspan="2" | 360° / 3 = 120° || colspan="4" | '''Contient un centre de rotation<br />en dehors des miroirs ?''' || rowspan="2" colspan="2" | ''p''3 (333)
|-
| colspan="2" | Oui : ''p''31''m'' (3*3) || colspan="2" | Non : ''p''3''m''1 (*333)
|-
| rowspan="4" | 360° / 2 = 180° || colspan="4" | '''Contient des réflexions perpendiculaires ?''' || rowspan="2" colspan="2" | '''Contient une réflexion glissée ?'''
|-
| colspan="3" | Oui || Non
|-
| colspan="3" | '''Contient un centre de rotation<br />en dehors des miroirs ?''' || rowspan="2" | ''pmg'' (22*) || rowspan="2" | Oui : pgg'' (22X) || rowspan="2" | Non : ''p''2 (2222)
|-
| Oui : ''cmm'' (2*22) || colspan="2" | Non : ''pmm'' (*2222)
|-
| rowspan="2" | aucun = 360° || colspan="4" | '''Contient un axe de réflexion glissée<br />en dehors des miroirs ?''' || colspan="2" | '''Contient une réflexion glissée ?'''
|-
| colspan="2" | Oui : ''cm'' (*X) || colspan="2" | Non : ''pm'' (**) || Oui : ''pg'' (XX) || Non : ''p''1 (O)
|}

== Les cinq types de réseau de Bravais ==
Il existe 5 types de [[Réseau de Bravais#Espace bidimensionnel|réseau de Bravais bidimensionnels]]. Ils sont notés par deux lettres minuscules italiques. La première désigne la famille cristalline : ''m'', ''o'', ''t'' et ''h''. La deuxième désigne le mode de réseau : ''p'' pour primitif et ''c'' pour centré. Le groupe de papier peint d'un réseau de Bravais sans motif représente la symétrie maximale que l'on peut trouver dans un motif de ce type de réseau.
<gallery perrow="5" caption="Les cinq types de réseau de Bravais bidimensionnels">
Image:Reseaux 2D mp.png|{{Centrer|''mp''}}
Image:Reseaux 2D op.png|{{Centrer|''op''}}
Image:Reseaux 2D oc.png|{{Centrer|''oc''}}
Image:Reseaux 2D tp.png|{{Centrer|''tp''}}
Image:Reseaux 2D hp.png|{{Centrer|''hp''}}
</gallery>
* Famille cristalline hexagonale. Dans les cinq cas où l'on a une rotation d'ordre 3 ou 6, la maille primitive est un [[losange]] avec les angles 120° et 60°. Le réseau de Bravais est noté ''hp'' ; sa symétrie est ''p''6''m''.
* Famille cristalline quadratique ou tétragonale<ref name="tétragonal" group="note" />. Dans les trois cas où une rotation d'ordre 4 est présente, la maille primitive est un [[carré]]. Le réseau de Bravais est noté ''tp'' ; sa symétrie est ''p''4''m''.
* Famille cristalline orthorhombique.
** Dans les cinq cas où l'on a soit des réflexions, soit des réflexions glissées, mais pas les deux à la fois, la maille primitive est un [[rectangle]]. Le réseau de Bravais est noté ''op'' ; sa symétrie est ''pmm''.
** Dans les deux cas où réflexion et réflexion glissée sont présentes en même temps, la maille primitive est un losange quelconque. On préfère utiliser dans ce cas une maille rectangulaire centrée, qui permet de mieux rendre compte de la symétrie du réseau. Le réseau de Bravais est noté ''oc'' ; sa symétrie est ''cmm''.
* Famille cristalline monoclinique. Dans le cas où il n'y a qu'une rotation d'ordre maximum 2, la maille primitive est un [[parallélogramme]]. Le réseau de Bravais est noté ''mp'' ; sa symétrie est ''p''2.

== Groupes de symétrie ==
{{...}}

== Transformations sur les groupes de papier peint ==
{{...}}
Le groupe de papier peint d'un motif est invariant sous l'action d'isométries et de [[Dilatation (géométrie)|dilatations]] uniformes ([[Similitude (géométrie)|similitudes]]).

Les [[Application affine|applications affines]] bijectives quelconques conservent la symétrie translationnelle d'un motif. Il en est de même pour les rotations d'ordre 2 ; les rotations d'ordre pair (4 et 6) ne sont pas forcément conservées mais sont transformées au moins en rotations d'ordre 2.

Les réflexions et réflexions glissées par rapport à un axe sont conservées lors d'une contraction ou d'une expansion le long de ou perpendiculaire à cet axe.

== Groupes de papier peint dans l'histoire de l'art ==
Parmi les motifs périodiques bidimensionnels de l'[[Égypte antique]], l'utilisation de douze des dix-sept groupes de papier peint a été démontrée ; il y manque les cinq groupes hexagonaux, contenant les symétries de rotation d'ordre 3 et 6<ref>{{article | lang=en | nom1=[[Branko Grünbaum]] | titre=The Emperor’s New clothes: Full regalia, G string, or nothing? | périodique=[[The Mathematical Intelligencer]] | mois=décembre | année=1984 | volume=6 | numéro=4 | pages=47-53 | doi=10.1007/BF03026738}}</ref>.

Les [[Arabesque (beaux-arts)|arabesques]] de l'[[Alhambra (Grenade)|Alhambra]] représentent de façon exemplaire l'utilisation de motifs périodiques bidimensionnels dans les [[arts de l'Islam]]. On ne sait pas encore définitivement si tous les dix-sept groupes de papier peints sont présents dans l'Alhambra : Edith Müller<ref>{{Ouvrage | langue=de | auteur1=Edith Müller | titre=Gruppentheoretische und strukturanalytische Untersuchungen der maurischen Ornamente aus der Alhambra in Granada | éditeur= | nature ouvrage=thèse de doctorat | année=1944 | pages totales= }}</ref> et [[Branko Grünbaum]]<ref>{{article | lang=en | nom1=[[Branko Grünbaum]] | titre=What Symmetry Groups Are Present in the Alhambra? | périodique=Notices of the American Mathematical Society | volume=53 | numéro=6 | année=2006 | pages=670-673 | lire en ligne=http://www.ams.org/notices/200606/comm-grunbaum.pdf}}</ref> pensent que non, au contraire de José María Montesinos<ref>{{Ouvrage | langue=en | auteur1=José María Montesinos | titre=Classical Tesselations and Three-Manifolds | éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]] | année=1987 | pages totales=230 | isbn=978-3-642-61572-6 | présentation en ligne=https://www.springer.com/mathematics/geometry/book/978-3-540-15291-0}}</ref> et [[Marcus du Sautoy]]<ref>{{Ouvrage | langue=en | auteur1=[[Marcus du Sautoy]] | titre=Finding Moonshine | sous-titre=A Mathematician's Journey Through Symmetry | éditeur=[[Harper Collins]] Paperbacks | année=2008 | pages totales= | isbn= | numéro chapitre=3}}</ref>.

Exception faite des groupes ''pm'', ''pg'' et ''p''3, tous les groupes de papier peint ont été utilisés dans l'[[art chinois]]<ref>{{article | lang=en | nom1=[[Doris Schattschneider]] | titre=The Plane Symmetry Groups: Their Recognition and Notation | périodique=[[The American Mathematical Monthly]] | année=1978 | volume=85 | numéro=6 | pages=439-450 | éditeur=Mathematical Association of America | lire en ligne=http://www.math.fsu.edu/~quine/MB_10/schattschneider.pdf}}</ref>.

== Notes et références ==

=== Notes ===

{{Références|groupe="note"}}

=== Références ===

{{Références}}
{{Traduction/Référence|en|Wallpaper group|600883232}}
{{Traduction/Référence|de|Ebene kristallographische Gruppe|132445908}}

=== Bibliographie ===

* {{Ouvrage | langue=en | auteur1=[[Owen Jones (architecte)|Owen Jones]] | titre=The Grammar of Ornament | éditeur=Quaritch | année=1910 | pages totales=157 | lire en ligne=http://digicoll.library.wisc.edu/cgi-bin/DLDecArts/DLDecArts-idx?type=header;pview=hide;id=DLDecArts.GramOrnJones}}, dont sont tirées plusieurs images de cet article
* {{Ouvrage | langue=en | nom1=[[Branko Grünbaum]] | nom2=G. C. Shephard | titre=Tilings and Patterns | éditeur=[[Dover Publications]] | année=2013 | pages totales=720 | isbn=978-0-486-46981-2}}
* {{Ouvrage | langue=en | nom1=Lewis F. Day | titre=Pattern Design | éditeur=[[Dover Publications]] | année=1999 | pages totales=306 | isbn=978-0-486-40709-8 | lire en ligne=https://books.google.com/books?id=OeBSdxKs1cEC&printsec=frontcover}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets | commons=Category:Wallpaper group diagrams}}

=== Articles connexes ===
* [[Cristallographie]]
* [[Groupe ponctuel de symétrie]]
* [[Groupe de frise]]
* {{lien|lang=en|trad=layer group|fr=Groupe de couche}}
* [[Groupe d'espace]]
* [[Groupe d'espace (4D)]]
* [[Maurits Cornelis Escher]]

=== Liens externes ===
* {{en}} {{lien web | url=http://www.clarku.edu/~djoyce/wallpaper/seventeen.html | titre=The 17 plane symmetry groups | auteur=David E. Joyce | consulté le=31 mai 2014}}
* {{en}} {{lien web | url=http://www.geom.uiuc.edu/education/math5337/Wallpaper/introduction.html | titre=Introduction to Wallpaper Patterns | auteur=Chaim Goodman-Strauss, Heidi Burgiel | consulté le=22 juin 2014}}
* {{en}} {{lien web | url=http://www.geom.uiuc.edu/docs/reference/CRC-formulas/node12.html | titre=Wallpaper Groups | auteur=Silvio Levy | consulté le=22 juin 2014}}
* {{en}} {{lien web | url=http://clowder.net/hop/17walppr/17walppr.html | titre=17 Wallpaper Groups | consulté le=22 juin 2014}}, exemple de pavage pour chaque groupe, avec des animations illustrant les opérations de symétrie
* {{en}} {{lien web | url=http://www.math.toronto.edu/~drorbn/Gallery/Symmetry/Tilings/Sanderson/index.html | titre=Brian Sanderson's Pattern Recognition Algorithm | consulté le=22 juin 2014}}

=== Ressources et programmes ===
* {{en}} {{lien web | url=http://escher.epfl.ch/escher/ | titre=Escher Web Sketch | auteur=Nicolas Schoeni, Wes Hardaker, Gervais Chapuis | consulté le=22 juin 2014}}, outils interactifs pour créer des motifs dans les dix-sept groupes de papier peint
* {{en}} {{lien web | url=http://www.scienceu.com/geometry/handson/kali/ | titre=Kali: Symmetric Sketching | consulté le=22 juin 2014}}, éditeur graphique en ligne, nécessite l'[[environnement d'exécution Java]]
* {{en}} {{lien web | url=http://tavmjong.free.fr/INKSCAPE/MANUAL/html/Tiles-Symmetries.html | titre=Symmetry Tab | consulté le=22 juin 2014}}, description de l'onglet symétrie du programme [[Inkscape]]
* {{en}} {{lien web | url=http://www.geometrygames.org/Kali/index.html | titre=Kali | site=geometrygames.org | consulté le=22 juin 2014}}, executable pour Windows et Mac Classic
* {{en}} {{lien web | url=http://math.hws.edu/eck/jsdemo/wallpaper.html | titre=Wallpaper Symmetry | consulté le=22 juin 2014}}, outils interactifs pour créer des motifs dans les dix-sept groupes de papier peint
* {{fr}} {{lien web | auteur=François Byasson | url=https://tube.geogebra.org/student/m108037 | titre=Animation Geogebra sur les 17 groupes de papier peint et la notation de Conway | consulté le=23 février 2016}}
* {{en}} {{lien web | url=http://www.artlandia.com/products/SymmetryWorks/ | titre=Artlandia SymmetryWorks | consulté le=22 juin 2014}}, [[plugin]] commercial pour [[Adobe Illustrator]]
* {{mul|en|fr}} {{lien web | url=https://oiler.education/tales | titre=TALES GAME | consulté le=27/01/2021|langue=|date=|site=|auteur=}}, outils interactifs à des fins éducatives qui comprend la fonction de tessellation

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