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[[Fichier:2064 aryabhata-crp.jpg|thumb|Le mathématicien [[mathématiques indiennes|indien]] [[Âryabhata]] fait usage d'[[approximation diophantienne|approximations diophantiennes]] construites à l'aide de [[Fraction continue|fractions continues]] dès le {{Ve siècle}}, pour extraire des [[racine carrée|racines carrées]].]]

En [[mathématiques]], la '''[[fraction continue]]''' d'un [[nombre irrationnel|irrationnel]] ''x'' fournit une '''[[approximation diophantienne]]''' de ''x''. Plus précisément, la réduite d'indice ''n'', c'est-à-dire la fraction limitée à ''n'' étapes, est un [[Nombre rationnel|rationnel]] qui approxime ''x'' (par défaut si ''n'' est pair et par excès si ''n'' est impair). Réciproquement, si l'on considère une fraction continue infinie, c'est-à-dire une suite infinie (''a<sub>n</sub>'') dont le premier terme ''a''<sub>0</sub> est un [[entier relatif]] et tous les suivants sont des entiers strictement positifs, la suite de ses réduites converge vers un irrationnel ''x'' dont la fraction continue est constituée des ''a<sub>n</sub>''.

Les fractions réduites ''h<sub>n</sub>''/''k<sub>n</sub>'' fournissent les meilleures approximations rationnelles d'un irrationnel ''x'', au sens suivant : la réduite d'indice ''n'' est une approximation située à une distance de ''x'' inférieure à 1/''k<sub>n</sub>''<sup>2</sup> et, si une fraction ''p''/''q'' est une approximation située à une distance de ''x'' inférieure à 1/(2''q''<sup>2</sup>) alors ''p''/''q'' est une réduite de ''x''. Ce résultat porte le nom de '''théorème de meilleure approximation'''.

Les fractions continues sont utilisées pour approcher des irrationnels comme des [[racine carrée|racines carrées]] ou le [[pi|nombre {{math|π}}]]. Cette propriété permet de résoudre certaines [[équation diophantienne|équations diophantiennes]] comme [[équation de Pell-Fermat|celle de Pell-Fermat]]. Elle offre de plus une condition nécessaire et suffisante pour qu'un nombre soit rationnel, à l'origine de la première démonstration de l'irrationalité du [[e (nombre)|nombre {{math|e}}]]. Elle permet d'aller plus loin et ce sont les propriétés des approximations diophantiennes obtenues à l'aide de fractions continues qui permettent de construire les premiers nombres démontrés [[nombre transcendant|transcendants]], puis de montrer que {{math|e}} et {{math|π}} sont transcendants.

== Préambule ==
=== Généralités ===
{{Article détaillé|Fraction continue}}
Les exemples les plus simples se trouvent au début de l'article [[Fraction continue]], et concernent les rationnels. Un nombre rationnel ''x'' se représente de la manière suivante :
{{centrer|<math> x = a_0 + \cfrac 1{a_1 + \cfrac 1{a_2 + \frac 1{a_3 + \frac 1{\cdots + \frac 1{a_n}}}}} = [a_0, a_1,a_2 ,a_3, \cdots , a_n]</math>}}

Les deux notations, avec des barres de fractions ou des crochets signifient la même chose. Si ''p'' est un entier inférieur à ''n'', le terme ''a<sub>p</sub>'', appelé coefficient ou '''quotient incomplet d'indice ''p''''', désigne un entier strictement positif sauf peut être ''a''<sub>0</sub> qui est un entier quelconque. La fraction qui s'arrête au terme ''a<sub>p</sub>'' est la '''réduite d'indice ''p''''' et si 1/''x''<sub>''p''+1</sub> est le complément à ajouter dans l'expression à ''a<sub>p</sub>'' pour obtenir la valeur exacte de ''x'', alors ''x''<sub>''p''+1</sub> est appelé '''quotient complet d'indice ''p'' + 1''', ce qui se traduit par l'égalité :
{{centrer|<math> x = [a_0, a_1, a_2, \cdots , a_p, x_{p+1}].</math>}}

Ce concept ne se limite pas aux rationnels. Si ''x'' est un [[nombre irrationnel]], la suite des coefficients est infinie et celle des réduites est alternée et converge vers ''x''. Pour toute suite infinie d'entiers ''a<sub>n</sub>'', strictement positifs à l'exception éventuelle de ''a''<sub>0</sub> qui peut être négatif ou nul, la suite des réduites construites à l'aide des coefficients ''a<sub>n</sub>'' converge vers un irrationnel dont la fraction continue est constituée des coefficients ''a<sub>n</sub>''. Un exemple simple de cette nature est proposé dans l'article [[Fraction continue d'un irrationnel quadratique]]. Un [[irrationnel quadratique]] est un irrationnel solution d'une équation du second degré à coefficients rationnels. La fraction continue d'un irrationnel est périodique à partir d'un certain rang, si, et seulement si, ce nombre est quadratique.

Quelques résultats utiles sont démontrés dans l'article détaillé. Si ''h<sub>n</sub>''/''k<sub>n</sub>'' désigne la réduite d'ordre ''n'', on dispose des relations de récurrence suivantes :
{{centrer|<math>h_{n+2} = a_{n+2}h_{n+1} + h_n,\quad k_{n+2} = a_{n+2}k_{n+1} + k_n\quad\text{et}\quad \left[a_0, a_1, \,\dots, a_{n-1}, x_n \right]= \frac{x_n h_{n-1}+h_{n-2}} {x_n k_{n-1}+k_{n-2}},</math>}}

ce qui montre que les numérateurs et les dénominateurs des réduites forment deux suites qui tendent vers l'infini. On dispose encore des résultats suivants : 
{{centrer|<math>k_nh_{n-1}-k_{n-1}h_n=(-1)^n\quad\text{ou encore :}\quad \frac{h_n}{k_n}-\frac{h_{n-1}}{k_{n-1}} = \frac{(-1)^{n+1}}{k_nk_{n-1}}</math>}}

En particulier (d'après la première forme de cette égalité) ''h<sub>n</sub>'' et ''k<sub>n</sub>'' sont premiers entre eux et (d'après la seconde) [[Fraction continue#Encadrement et convergence|la suite des réduites converge]].

=== Exemple : le nombre {{math|e}} ===
{{Ancre|Exemple, la base du logarithme népérien}}
{{Article détaillé|Approximant de Padé}}
[[Fichier:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|[[Leonhard Euler]] scrute les propriétés des fractions continues pour montrer que [[e (nombre)|e]] est [[nombre irrationnel|irrationnel]].]]

En 1737, [[Leonhard Euler]] calcule le développement en fraction continue du nombre {{math|e}}, base du [[logarithme népérien]]<ref>{{Article|lang=la|auteur = Leonhard Euler | année = 1744 |langue = latin| titre = De fractionibus continuis dissertatio | url =http://eulerarchive.maa.org/pages/E071.html| périodique = Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae | volume = 9 | pages = 98-137 | traduction titre = Une dissertation sur les fractions continues}} (présenté en 1737). Une analyse historique est proposée par {{Article|lang=en|auteur=Ed Sandifer|url=http://eulerarchive.maa.org/hedi/HEDI-2006-02.pdf|titre=How Euler did it — Who proved ''e'' is irrational?|revue=[[Mathematical Association of America|MAA]] Online|mois=2|année=2006}} et par {{Lien web|url=http://www.mathouriste.eu/Hermite/irrat_av_Hermite.pdf|auteur=Alain Juhel|titre=Irrationalité et transcendance : E<!--sic : sans accent-->tat des lieux avant Hermite}}. Voir aussi {{Ouvrage |langue=en |auteur1={{Lien|lang=de|Julian Havil}} |titre=The Irrationals : A Story of the Numbers You Can't Count On |éditeur=[[Princeton University Press]] |année=2012 |pages totales=298 |passage=96-103 |isbn=978-0-691-14342-2 |lire en ligne={{Google Livres|BoqXQ87C-04C|page=96}}}}.</ref> :

{{centrer|<math>\text{e} = [2,\overbrace{1,2,1},\overbrace{1,4,1},\cdots , \overbrace{1,2k,1},\cdots \,] = [2,\overline{1, 2k,1}]\quad k\in \N\setminus\{0\}</math>}}

(la barre utilisée ici signifie une répétition à l'infini de la suite des entiers qu'elle couvre).

Il prouve ainsi que {{math|e}} est [[nombre irrationnel|irrationnel]], puisque son développement en fraction continue est infini (il montre de même que {{math|e}}{{2}} est irrationnel).

{{Démonstration/début|titre=Démarche d'Euler}}
Tenant à justifier son développement, Euler étudie l'[[équation de Riccati]] {{math|1=''aq' ''(''p'') + ''q''{{2}}(''p'') = 1}}. Une solution est ''q''(''p'') = [[Fonction hyperbolique#Cotangente hyperbolique|coth]](''p''/''a''), ce qui lui permet d'affirmer :
{{retrait|<math>\frac{{\rm e}^{2p/a}+1}{{\rm e}^{2p/a}-1}=[a/p,3a/p,5a/p,7a/p,\ldots],</math>}}
qu'il n'hésite pas à réécrire
{{retrait|<math>\frac{{\rm e}^{1/s}+1}{{\rm e}^{1/s}-1}=[2s,6s,10s,14s,\ldots]</math>}}
(ce qui équivaut, par [[Fraction continue généralisée#Conversions|conversion]], au développement de la fonction [[tangente hyperbolique]] [[#Exponentielle d'un rationnel|qui sera établi rigoureusement par Lambert]] :
{{retrait|<math>\tanh t=\frac{{\rm e}^{2t}-1}{{\rm e}^{2t}+1}=\frac1{[1/t,3/t,5/t,7/t,\ldots]}=\frac{1\mid}{\mid 1/t}+\frac{1\mid}{\mid 3/t}+\frac{1\mid}{\mid 5/t}+\frac{1\mid}{\mid 7/t}+\cdots=\frac{t\mid}{\mid 1}+\frac{t^2\mid}{\mid 3}+\frac{t^2\mid}{\mid 5}+\frac{t^2\mid}{\mid 7}+\cdots).</math>}}

Ceci ne lui donne ''a priori'' un développement de {{math|e{{exp|1/''s''}}}} qu'en [[fraction continue généralisée]] :
{{retrait|<math>{\rm e}^{1/s}=1+\frac{2\mid}{\mid2s-1}+\frac{1\mid}{\mid6s}+\frac{1\mid}{\mid10s}+\frac{1\mid}{\mid14s}+\cdots,</math>}}
mais il a développé [[Fraction continue généralisée#Conversions|des techniques de conversion]], consistant ici à intercaler deux 1 pour se débarrasser du 2 au premier numérateur et en faire une fraction continue simple :
{{retrait|<math>{\rm e}^{1/s}=[1,s-1,1,1,3s-1,1,1,5s-1,1,1,7s-1,\ldots],</math>}}
ce qui, pour ''s'' = 1, démontre le résultat annoncé.
{{Démonstration/fin}}

Une autre application qu'on pourrait y trouver serait d'obtenir une valeur approchée de {{math|e}}. La réduite d'ordre 2 est égale à 2,75 et celle d'ordre 10 propose 7 chiffres significatifs. L'approche par la [[série entière]] donne cependant plus simplement une preuve d'irrationalité et des approximations ({{cf.}} l'article [[e (nombre)]]). Le développement en fraction continue permet d'aller un peu plus loin, puisqu'il prouve que {{math|e}} n'est solution d'aucune équation du second degré à coefficients rationnels, car son développement en fraction continue n'est pas périodique. Ce type de démarche ne permet pas d'aller au-delà. De nouvelles idées sont nécessaires, par exemple, pour montrer la transcendance de {{math|e}}.

Malgré ces limitations, les fractions continues qui offrent des suites rationnelles convergeant vers {{math|e}} sont riches en informations sur la nature arithmétique de la limite. La suite de l'article montre, par exemple que si ''t'' est rationnel, alors {{math|e}}<sup>''t''</sup> ne l'est pas. La démarche à l'origine de la preuve est celle qui a permis d'établir l'irrationalité de {{math|π}}.

=== Fragments d'histoire ===
{{refnec|L'idée d'approximer un nombre à l'aide d'une fraction continue remonte à l'origine du concept, aux Indes du {{Ve siècle}}}}. Avec la résolution de l'[[Théorème de Bachet-Bézout|identité de Bézout]], c'est la première motivation qui pousse à l'usage d'une telle notion. [[Âryabhata]] <small>([[476]]-[[550]])</small> l'utilise pour les deux usages et particulièrement pour extraire des racines carrées<ref>[[Georges Ifrah]], ''Histoire universelle des chiffres : L'intelligence des hommes racontée par les nombres et le calcul'', Robert Laffont, 1994 {{ISBN|978-2-70284212-6}}.</ref>{{refinc}}.

La propriété d'approximation des fractions continues est retrouvée accidentellement<ref>{{Article|lang=it|prénom=M. T.|nom=Rivolo|prénom2=A.|nom2=Simi|titre=Il calcolo delle radici quadrate e cubiche in Italia da Fibonacci a Bombelli|revue=[[Archive for History of Exact Sciences|Arch. Hist. Exact Sci.]]|vol=52|numéro=2|année=1998|p.=161-193}}.</ref> sur la racine de 13 par [[Rafael Bombelli]] <small>([[1526]]-[[1572]])</small> puis généralisée<ref>{{Article|lang=it|prénom=S.|nom=Maracchia|titre=Estrazione di radice quadrata secondo Cataldi|revue=Archimede|vol=28|numéro=2|année=1976|p.=124-127}}.</ref> par [[Pietro Cataldi]] <small>([[1548]]-[[1626]])</small> à toutes les racines carrées. [[Leonhard Euler]] <small>([[1707]]-[[1783]])</small> développe l'aspect théorique de la méthode. Il montre que tout [[nombre réel]] admet un unique développement en fraction continue simple et qu'il est irrationnel si, et seulement si cette fraction continue est de longueur infinie. Il invente une méthode, maintenant connue sous le nom d'[[approximant de Padé]] pour déterminer celui de {{math|e}}, ce qui est la première démonstration de son irrationalité. [[Jean-Henri Lambert]] <small>([[1728]]-[[1777]])</small> pousse plus loin l'exploration et montre que {{math|π}} n'est pas non plus rationnel<ref name=Lambert>{{Article|prénom=J.-H.|nom=Lambert|titre=Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes [sic] circulaires et logarithmiques|revue=Histoire de l'[[Académie royale des sciences de Prusse|Académie royale des sciences et belles-lettres]]|lieu=Berlin|vol=17|année=1761|p.=265-322}}, {{Lien web|url=http://www.bibnum.education.fr/mathematiques/theorie-des-nombres/lambert-et-l-irrationalite-de-p-1761|titre=en ligne et commenté|site=[[Bibnum]]}} par Alain Juhel.</ref>.

L'usage d'une fraction continue comme approximation diophantienne pour étudier la nature [[arithmétique]] d'un nombre est établi. Le {{s-|XIX}} est celui d'une meilleure compréhension des nombres transcendants. [[Joseph Liouville]] en utilise une pour exhiber le premier nombre démontré transcendant. Si le savoir décrit dans cet article s'arrête là, l'histoire, elle, continue. Parmi les multiples progrès, on peut citer [[Charles Hermite]] qui établit<ref>{{Article|prénom=Charles|nom=Hermite|titre=Sur la fonction exponentielle|périodique=CRAS|lien périodique=Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences|année=1873|volume=77|pages=18-24|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3034n/f18}}.</ref> la transcendance de {{math|e}} en [[1873 en science|1873]]. Puis, à l'aide d'une méthode analogue, [[Ferdinand von Lindemann]] montre<ref>{{Article|lang=de|prénom=F.|nom=Lindemann|titre=Über die Zahl {{math|π}}|périodique=Math. Ann.|lien périodique=Mathematische Annalen|volume=20|année=1882|pages=213-225|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/load/img/?PPN=PPN235181684_0020&DMDID=dmdlog31}}.</ref> en 1882 celle de {{math|π}}.

== Théorème de meilleure approximation rationnelle ==
Un corollaire élémentaire du [[théorème d'approximation de Dirichlet]] est l'existence, pour tout irrationnel, de « bonnes » approximations rationnelles, avec des dénominateurs ''k'' arbitrairement grands et une précision en 1/''k''{{2}} (par comparaison, une approximation décimale ne possède en général qu'une précision de l'ordre de 1/''k'') :

{{énoncé|Pour tout irrationnel ''x'', il existe une infinité de rationnels pouvant s'écrire ''h''/''k'' avec ''k'' ≠ 0 et ''h'' entiers tels que {{!}}''x – h''/''k''{{!}} < 1/''k''{{2}}.}}

Pour un rationnel ''x'', il n'existe évidemment qu'un nombre fini de telles fractions ''h''/''k''. Ainsi, un irrationnel se caractérise par le fait qu'il s'approche « mieux » qu'un rationnel par une approximation diophantienne. En utilisant les réduites d'un irrationnel ''x'', on peut expliciter une telle infinité de « bonnes » approximations de ''x'', et diminuer le majorant 1/''k''{{2}} en le divisant par 2 et même par {{racine|5}}. [[Théorème de Hurwitz (approximation diophantienne)|Un théorème de Hurwitz]]<ref name=Hurwitz/> établit même que pour tout irrationnel ''x'', il existe une infinité d'approximations ''h''/''k'' avec une erreur majorée par 1/({{racine|5}}''k''{{2}}) :

{{énoncé|Toute réduite ''h''/''k'' d'un irrationnel ''x'' vérifie la majoration (1). Sur deux réduites consécutives, il en existe une qui vérifie la majoration (2). Sur trois réduites consécutives, il en existe une qui vérifie la majoration (3).
{{centrer|<math>(1)\; \left|x-\frac hk\right|<\frac1{k^2},\quad (2)\; \left|x-\frac hk\right|<\frac1{2k^2},\quad (3)\; \left|x-\frac hk\right|<\frac1{\sqrt5k^2}.</math>}}
}}

En revanche, le [[théorème de Thue-Siegel-Roth]] (affinant [[Théorème de Liouville (approximation diophantienne)|celui de Liouville]]) montre que lorsque l'irrationnel ''x'' est [[Nombre algébrique|algébrique]], et si grand que soit son degré, on ne peut pas améliorer l'exposant 2 : pour tout ε > 0, il existe une constante ''A'' > 0 telle que pour tout rationnel ''h''/''k'', |''x – h''/''k''| ≥ ''A''/''k''{{exp|2+ε}}.

On parle aussi de « meilleure » approximation, en un sens différent, en considérant que ''h''/''k'' approche bien ''x'' lorsque ''kx – h'' est petit. Pour ''k'' fixé, la valeur minimum de |''kx – h''|, notée<ref name=Cassels>{{Ouvrage |langue=en |prénom1=J. W. S. |nom1=Cassels |lien auteur1=John Cassels |titre=An Introduction to Diophantine Approximation |éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]] |année=1965 |passage=1-4 |lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=lTA4AAAAIAAJ&pg=PA1}}.</ref>{{,}}<ref name=Lang>{{Ouvrage |langue=en |prénom1=Serge |nom1=Lang |lien auteur1=Serge Lang |titre=Introduction to Diophantine Approximations |éditeur=[[Springer Verlag|Springer]] |année=1995 |pages totales=130 |passage=9-11 |isbn=978-0-387-94456-2 |lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=RNNTon-z4p4C&pg=PA9}}.</ref> ║''kx''║, est atteinte pour ''h'' égal à l'entier le plus proche de l'irrationnel ''kx''. Pour ''n'' ≥ 1, ║''k{{ind|n}}x''║ = |''k{{ind|n}}x – h{{ind|n}}''| et la suite des réduites approche ''x'' « de mieux en mieux », au sens où [[Fraction continue#Quotients complets d'un réel|la suite des &#124;''k{{ind|n}}x – h{{ind|n}}''&#124; est strictement décroissante]]. De plus, ''k''{{ind|''n''+1}} est le plus petit dénominateur ''k'' > ''k{{ind|n}}'' qui soit « meilleur » que ''k{{ind|n}}'', c'est-à-dire tel que ║''kx''║ < ║''k{{ind|n}}x''║. C'est ce qu'expriment la définition et le théorème suivants, qui fournissent d'ailleurs une définition et un algorithme alternatifs<ref name=Cassels/> pour le développement en fraction continue de ''x''.

{{Théorème|nom=Définition<ref name=Lang/>|énoncé=Une '''meilleure approximation''' de ''x'' est une fraction ''h''/''k'' (''k'' > 0), telle que ║''kx''║ = {{!}}''kx – h''{{!}} et ║''k'x''║ > ║''kx''║ pour tout entier ''k' ''tel que 1 ≤ ''k' < k''.}}
Une telle fraction approche donc mieux ''x'' que toute fraction de dénominateur plus petit, au sens particulier précisé ci-dessus et ''a fortiori'' au sens ordinaire<ref name=Khinchin/> : si 1 ≤ ''k' < k'' alors  |''k'x – h' ''| > |''kx – h''| donc {{nobr|{{!}}''x – h'/k' ''{{!}} > {{!}}''x – h/k''{{!}}.}}

{{Théorème|Théorème<ref name=Lang/>{{,}}<ref name=Khinchin>{{Ouvrage |langue=en |prénom1=A. Ya. |nom1=Khinchin |lien auteur1=Alexandre Khintchine |titre=Continued Fractions |éditeur=[[Dover Publications|Dover]] |année=1997 |année première édition=1964 |pages totales=95 |passage=20-27 |isbn=978-0-486-69630-0 |lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=R7Fp8vytgeAC&pg=PA20}}.</ref>|Les meilleures approximations d'un irrationnel sont ses réduites<ref>Avec une licence pour le numérateur de la réduite ''h''{{ind|0}}/''k''{{ind|0}} = ''a''{{ind|0}}/1, puisque l'entier ''h'' qui minimise |''x – h''| peut être ''a''{{ind|0}} + 1.</ref>.}}



{{démonstration/début|titre=Démonstrations}}
Dans toute la suite des démonstrations, ''x'' désigne un irrationnel<ref> M. Couchouron, ''[http://agreg-maths.univ-rennes1.fr/documentation/docs/fraccont.pdf Développement d'un réel en fractions continues]'', préparation à l'[[agrégation de mathématiques]], [[université de Rennes I]].</ref>, ''n'' un entier naturel, ''a<sub>n</sub>'' le coefficient d'indice ''n'' de ''x'' et ''h<sub>n</sub>''/''k<sub>n</sub>'' sa réduite d'indice ''n''.

*'''Toute réduite vérifie la majoration (1) :''' <math>\left|x-\frac{h_n}{k_n}\right|<\frac1{k_nk_{n+1}}</math> (cf. [[Fraction continue#Encadrement et convergence]]) et <math>k_{n+1}\ge k_n</math>.
*'''Sur deux réduites consécutives, il en existe une qui vérifie la majoration (2) :'''<br>Le nombre ''x'' se situe entre les deux réduites ''h<sub>n</sub>''/''k<sub>n</sub>'' et ''h''<sub>''n''+1</sub>/''k''<sub>''n''+1</sub>, donc{{centrer|<math>\left|\frac{h_n}{k_n} - x \right| + \left| x - \frac{h_{n+1}}{k_{n+1}} \right|= \frac1{k_nk_{n+1}}.</math>}}En général, ''k''<sub>''n''+1</sub> est ''strictement'' supérieur à ''k<sub>n</sub>'' donc{{centrer|<math>\frac1{2k_n^2}+\frac1{2k_{n+1}^2}-\frac1{k_nk_{n+1}}=\frac{(k_{n+1}-k_n)^2}{2k_n^2k_{n+1}^2}>0</math>}}ce qui démontre la majoration suivante :{{centrer|<math>\left|\frac{h_n}{k_n} - x \right| + \left| x - \frac{h_{n+1}}{k_{n+1}} \right|< \frac 1{2k_n^2 }+ \frac 1{2k_{n+1}^2}</math>}}et la conclusion s'ensuit.<br>Le cas exceptionnel ''k''<sub>''n''+1</sub> = ''k<sub>n</sub>'' ne peut survenir que si ''n'' = 0 et ''a''{{ind|1}} = 1. On vérifie directement dans ce cas<ref name=HW>{{HardyWright}}, [https://books.google.fr/books?id=P6uTBqOa3T4C&pg=PA194 {{p.|194-197}}] de l'édition de 2008.</ref> que 0 < ''h''{{ind|1}}/''k''{{ind|1}} – ''x'' < 1/(''a''{{ind|2}} + 1) ≤ 1/(2''k''{{ind|1}}{{2}}).
*'''Sur trois réduites consécutives, il en existe une qui vérifie la majoration (3) :'''<br>{{Harvsp|Hardy|Wright|p=[https://books.google.fr/books?id=P6uTBqOa3T4C&pg=PA210 210-211]}}.
*'''Soient ''h'' et ''k'' deux entiers tels que 0 < ''k'' < ''k''{{ind|''n''+1}}. L'inégalité suivante est vérifiée et l'égalité n'a lieu que si ''k = k{{ind|n}}'' et ''h = h{{ind|n}}'' :'''{{centrer|<math>|kx-h|\ge|k_nx-h_n|</math>}}(en particulier : une fraction dont le dénominateur ''k'' vérifie ''k{{ind|n}}'' ≤ ''k'' < ''k''{{ind|''n''+1}} est une meilleure approximation de ''x'' si et seulement si elle est égale à la ''n''{{e}} réduite).<br>{{Note autre projet|Wikiversité|Introduction à la théorie des nombres/Approximation diophantienne et fractions continues#Meilleure approximation|preuve du théorème de meilleure approximation|début=Voir la}}
{{démonstration/fin}}

La démonstration de ce théorème permet également de prouver la propriété suivante<ref>{{Note autre projet|Wikiversité|Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Approximation diophantienne et fractions continues#Exercice 2-6|exercice corrigé de la leçon « Introduction à la théorie des nombres »|début=Voir cet}}</ref>, utilisée pour l'étude des [[Fraction continue d'un irrationnel quadratique|fractions continues périodiques]]<ref>{{Ouvrage |langue=de |prénom1=Oskar |nom1=Perron |lien auteur1=Oskar Perron |titre=Die Lehre von den Kettenbrüchen |éditeur=Teubner |année=1913 |passage=45 |lire en ligne=https://archive.org/stream/dielehrevondenk00perrgoog#page/n60}}.</ref>.

{{énoncé|Pour tout irrationnel ''x'', toute fraction ''h''/''k'' vérifiant la majoration (2) ci-dessus est une réduite de ''x''.
}}

Ces énoncés et leurs preuves s'adaptent au cas où ''x'' est rationnel, moyennant quelques précautions dans le cas où ''x'' est un demi-entier<ref name=HW/>{{,}}<ref name=Khinchin/>.

=== Nombres équivalents ===
{{article connexe|Spectre de Lagrange}}
Deux réels ''x'' et ''y'' sont dits équivalents<ref name=Hurwitz>{{Article|lang=de|lien auteur=Adolf Hurwitz|prénom=A.|nom=Hurwitz|titre=Ueber<!--sic--> die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch rationale Brüche|revue=Math. Ann.|vol=39|année=1891|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=GDZPPN002253348|p.=279-284}}.</ref>{{,}}<ref>{{Harvsp|Hardy|Wright|p=181}} de l'édition de 2008.</ref> s'il existe des entiers ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' tels que ''ad – bc'' = ±1 et ''y'' = (''ax + b'')/(''cx + d''), autrement dit si une [[transformation de Möbius]] entière permet de passer de l'un à l'autre. Les [[Relation d'équivalence|classes d'équivalence]] sont donc les [[Action de groupe (mathématiques)|orbites de l'action]] du [[Groupe général linéaire#Sur_les_entiers_relatifs|groupe PGL(2, ℤ)]] et l'orbite de 0 est l'ensemble des rationnels.

[[Joseph-Alfred Serret|Serret]] a démontré<ref>{{Ouvrage |langue=de |auteur1=J. A. Serret |titre=Cours d'algèbre supérieure |volume=1 |éditeur=[[Gauthier-Villars]] |année=1866 |numéro d'édition=3 |passage=34-37 |lire en ligne=https://archive.org/stream/coursdalgbresup06serrgoog#page/n57/mode/2up}}.</ref> que deux irrationnels ''x'' et ''y'', de fractions continues respectives [''a''{{ind|0}}, ''a''{{ind|1}}, … ] et [''b''{{ind|0}}, ''b''{{ind|1}}, … ], sont équivalents si et seulement s'il existe deux entiers naturels ''h'' et ''k'' tels que pour tout {{nobr|''i'' ≥ 0,}} ''a{{ind|h+i}} = b{{ind|k+i}}''<ref>{{Harvsp|Perron|1913|p=65}}.</ref>{{,}}<ref>{{Chapitre|lang=en|auteur=Gilles Lachaud|titre=Continued fractions, binary quadratic forms, quadratic fields, and zeta functions|titre ouvrage=Algebra and Topology 1988|page=1-56|lien éditeur=Institut coréen des sciences et de la technologie|éditeur=Korea Inst. Tech.|lieu=[[Taejon]]|année=1988|url=http://iml.univ-mrs.fr/editions/biblio/files/lachaud/1988e.pdf}}.</ref>{{,}}<ref>{{Note autre projet|Wikiversité|Introduction à la théorie des nombres/Devoir/Nombres équivalents|ce devoir de la leçon « Introduction à la théorie des nombres »|début=Une preuve de ce théorème est détaillée dans}}</ref>.

Les nombres équivalents au [[nombre d'or]] sont dits « nobles ». Ce sont ceux pour lesquels la constante {{sqrt|5}}, dans le [[Théorème de Hurwitz (approximation diophantienne)|théorème de Hurwitz]] {{supra|Théorème de meilleure approximation rationnelle}}, ne peut pas être améliorée. Pour un irrationnel ''x'' non noble, {{sqrt|5}} peut être remplacé par {{sqrt|8}}, qui est la meilleure constante si et seulement si ''x'' est équivalent à la [[racine carrée de 2]].

== Irrationalité ==
=== Résultat de Lambert ===
[[Fichier:JHLambert.jpg|thumb|[[Jean-Henri Lambert]] démontre que si ''t'' est un rationnel non nul, alors tan(''t'') et exp(''t'') sont irrationnels.]]
Lambert est un précurseur dans son usage des approximations diophantiennes construites à l'aide de fractions continues, ce qui lui permet de montrer l'irrationalité de {{math|π}}<ref name=Lambert/>. Il n'utilise pas directement la fraction continue de ce nombre, on ne dispose alors pas d'une expression comme celle d'Euler pour {{math|e}}. Si la théorie garantit l'existence d'une fraction continue égale à {{math|π}}, la difficulté réside dans le fait qu'il n'existe pas alors de méthode connue pour montrer que ce développement est infini.

Lambert établit tout d'abord une expression de la fonction [[Fonction trigonométrique|tangente]] sous forme de fraction continue. Pour cela, il applique l'[[algorithme d'Euclide]] ({{cf.}} l'article [[Approximant de Padé]]). Le problème est que ce type de démarche génère une expression appelée [[fraction continue généralisée]] : ce sont des développements d'un nombre réel ''x'' de la forme suivante :
{{centrer|<math>x = a_0+\cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\frac{b_3}{a_3+\dots}}} = a_0 + \frac{b_1\mid}{\mid a_1} + \frac{b_2 \mid}{\mid a_2} + \frac{b_3 \mid}{\mid a_3} +\dots </math>}}

La notation utilisée dans le membre de droite est celle de Pringsheim (à l'interversion près des lettres ''a'' et ''b'' par rapport à sa notation, désormais usuelle, des fractions continues généralisées). Les résultats décrits en première partie de cet article ne s'appliquent plus. Et, à la différence des fractions continues étudiées jusqu'ici, dites '''simples''' par opposition, le fait d'autoriser des valeurs quelconques à ''a<sub>n</sub>'' et ''b<sub>n</sub>'' pose le [[problème de convergence]], que Lambert traite dans le cas particulier de la fonction tangente, en explicitant les réduites. Puis il établit un résultat qui généralise la proposition indiquant qu'une fraction continue simple infinie n'est jamais rationnelle<ref>Ce lemme n'a été formulé — sans expliciter la moindre hypothèse de convergence, et en confondant manifestement [[Problème de convergence#Convergence conditionnelle et inconditionnelle|convergence conditionnelle et inconditionnelle]] — qu'en 1806 par [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] dans la {{4e|édition}} de ses ''Éléments de géométrie'' ([https://archive.org/stream/lmentsdegomtrie10legegoog#page/n310/mode/2up Note 4]) et n'est donc démontré qu'implicitement par Lambert : {{Citation étrangère|langue=en|Legendre mentions nothing about convergence of his continued fraction. If one assumes the convergence […], his statement on irrationality is proved in the same way as Lambert […].}}, {{Chapitre|lang=en|prénom=Rolf|nom=Wallisser|titre=On Lambert's proof of the irrationality of {{math|π}}|titre ouvrage=Algebraic Number Theory and Diophantine Analysis (Graz, 1998)|lieu=Berlin|année=2000|page=521-530|url=https://books.google.fr/books?id=hQKII4bYBisC&pg=PA521}}. Pour cette raison peut-être (et sans remarquer la négligence de Legendre, que Lambert ne commet pas), ou plus probablement (selon l'analyse de {{article|lang=de|lien auteur=Alfred Pringsheim|nom=Pringsheim|prénom=A.|titre=Ueber die ersten Beweise der Irrationalität von {{math|''e''}} und {{math|π}}|langue=de|journal=S'ber. math.-phys. München|lien périodique=Académie bavaroise des sciences|vol=28|p.=325-337|année=1898|url=https://archive.org/stream/sitzungsbericht653klasgoog#page/n336/mode/2up}} rapportée par Wallisser), parce qu'il ne s'était penché que sur une vulgarisation de Lambert à propos de la [[quadrature du cercle]], [[Ferdinand Rudio]] prétendit, en 1892 ([https://archive.org/details/archimedeshuygen00rudiuoft ''Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre'', rééd. 1971, {{p.|56-57}}]), que la preuve par Lambert de l'irrationalité de {{math|π}} n'avait été rendue rigoureuse que par Legendre. Ce jugement hâtif, bien qu'aussitôt démenti en détail par [[James Whitbread Lee Glaisher|Glaisher]] puis Pringsheim, a été largement propagé, voire déformé. Voir aussi Michel Serfati, ''Fragments d'histoire des mathématiques. T. 4. Quadrature du cercle, fractions continues et autres contes'', [[APMEP]], Paris, 1992 et [http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=3853756 d'autres références].</ref> :

{{énoncé|Si les suites infinies d'entiers non nuls (''a<sub>n</sub>''){{ind|''n''>0}} et (''b<sub>n</sub>''){{ind|''n''>0}} sont telles qu'à partir d'un certain rang, {{!}}''a<sub>n</sub>''{{!}} > {{!}}''b<sub>n</sub>''{{!}} + 1 et si<ref>En 1888, [[Ivan Śleszyński]] a démontré (au moins) qu'en fait cette convergence a lieu dès que les ''a<sub>n</sub>'' et ''b<sub>n</sub>'' sont des réels tels que |''a<sub>n</sub>''| > |''b<sub>n</sub>''| + 1 : voir {{Article|lang=de|nom=Pringsheim|prénom=A.|titre=Ueber die Convergenz unendlicher Kettenbrüche|revue=S'ber. math.-phys. München|vol=28|p.=295-324|année=1898|url=https://archive.org/stream/sitzungsbericht653klasgoog#page/n324/mode/2up}} (note {{p.|312}}) et [[théorème de Śleszyński-Pringsheim]].</ref> la fraction généralisée qu'elles définissent [[Problème de convergence#Convergence conditionnelle et inconditionnelle|converge ainsi que ses « fractions extraites »]], alors la limite est irrationnelle<ref>{{Lien web|url=http://www.mathouriste.eu/Hermite/irrat_av_Hermite.pdf|auteur=Alain Juhel|titre=Irrationalité et transcendance : E<!--sic : sans accent-->tat des lieux avant Hermite}} (en intervertissant les lettres ''a'' et ''b'', conformément à la notation usuelle).</ref>.}}

{{Démonstration/début|titre=Démonstration<ref>Pour une preuve [[Fraction continue généralisée#Critère d'irrationalité|sous des hypothèses un peu plus faibles]], voir {{Ouvrage|lang=en|auteur=Daniel Duverney|titre=Number Theory: An Elementary Introduction Through Diophantine Problems|éditeur=[[World Scientific]]|date=2010|url={{Google Livres|sr5S9oN1xPAC|page=32}}|page=32-34}}, {{Lang|en|Theorem}} 3.8.</ref>}}
Supposons [[sans perte de généralité]] que l'entier ''a''{{ind|0}} est nul et procédons par étapes, en supposant d'abord que l'inégalité {{nobr|{{!}}''a<sub>n</sub>''{{!}} > {{!}}''b<sub>n</sub>''{{!}} + 1}} est vraie pour tout ''n'' > 0.
* '''Les valeurs absolues des réduites sont majorées par 1 :'''<br>Montrons par récurrence sur ''p'' que la valeur absolue de la ''p''{{e}} réduite est majorée par 1. Si ''p'' est nul, la réduite aussi et la propriété est vérifiée. Supposons le résultat vrai à l'ordre ''p''. La {{nobr|(''p'' + 1)-ième}} réduite est égale à{{Retrait|<math>\frac{b_1}{a_1+z}\quad{\rm avec}\quad z=\frac{b_2\mid}{\mid a_2}+\ldots+\frac{b_{p+1}\mid}{\mid a_{p+1}}.</math>}}Puisque ''z'' est la ''p''{{e}} réduite d'une fraction vérifiant les mêmes hypothèses, sa valeur absolue est, par hypothèse de récurrence, majorée par 1 donc |''a''{{ind|1}} + ''z''| ≥ |''a''{{ind|1}}| – 1 > |''b''{{ind|1}}|, ce qui montre le résultat.
* '''La valeur absolue de la limite est strictement majorée par 1 :'''<br>La limite est égale à{{Retrait|<math>\frac{b_1}{a_1+y}\quad{\rm avec}\quad y=\frac{b_2 \mid}{\mid a_2} + \frac{b_3 \mid}{\mid a_3} +\dots</math>}}D'après le point précédent et par passage à la limite, |''y''| ≤ 1 donc |''a''{{ind|1}} + ''y''| ≥ |''a''{{ind|1}}| – 1 > |''b''{{ind|1}}|, ce qui montre le résultat.
* '''La limite de la fraction continue généralisée est irrationnelle :'''<br>On raisonne maintenant par l'absurde et l'on suppose que la limite s'écrit ''p''{{ind|1}}/''p''{{ind|0}} avec ''p''{{ind|0}} et ''p''{{ind|1}} entiers. Alors{{Retrait|<math>\forall n\in\N\quad\frac{b_{n+1}\mid}{\mid a_{n+1}} + \frac{b_{n+2}\mid}{\mid a_{n+2}}+\ldots=\frac{p_{n+1}}{p_n}\quad{\rm avec}\quad p_{n+1}=b_np_{n-1}-a_np_n
</math>}}et d'après le point précédent, |''p''{{ind|''n''+1}}/''p{{ind|n}}''| < 1. Les |''p{{ind|n}}''| constituent donc une suite infinie d'entiers positifs strictement décroissante, ce qui est absurde (cette technique de démonstration porte le nom de [[méthode de descente infinie]]).
*'''L'irrationalité reste vraie si l'inégalité |''a<sub>n</sub>''| > |''b<sub>n</sub>''| + 1 n'a lieu qu'à partir d'un certain rang :'''<br>D'après ce qui précède, le quotient complet {{math|''x{{ind|N}}''}} correspondant à ce rang est irrationnel. Comme les {{math|''b{{ind|k}}''}} sont non nuls, on en déduit de proche en proche l'irrationalité de{{Retrait|<math>x_k=\frac{b_k}{a_k+x_{k+1}},\text{ pour }k=N-1,\ldots,1.
</math>}}
{{Démonstration/fin}}

=== Nombres à tangente rationnelle, dont {{math|π}} ===
{{Ancre|Nombre de Pythagore}}
On connaissait bien avant Lambert des fractions généralisées qui approximent le nombre {{math|π}}. [[William Brouncker]] avait montré par exemple que<ref>Voir [[William Brouncker#Formule de Brouncker|Formule de Brouncker]].</ref> :
{{centrer|<math>\frac {\pi}4=\arctan(1)=\frac{1 \mid}{\mid 1} + \frac{1^2 \mid}{\mid 2} + \frac{3^2 \mid}{\mid 2} + \frac{5^2 \mid}{\mid 2} + \cdots</math>}}

Mais cette fraction est loin de vérifier les hypothèses du [[#Résultat de Lambert|lemme d'irrationalité]]. Lambert prend alors le problème de manière inverse et [[Approximant de Padé#Fonction tangente|il développe en fraction continue la fonction tangente]] :
{{centrer|<math>\tan t=\frac{t\mid}{\mid 1}-\frac{t^2\mid}{\mid 3}-\frac{t^2\mid}{\mid 5}-\frac{t^2\mid}{\mid 7}-\cdots</math>}}
ou encore (par [[Fraction continue généralisée#Conversions|conversion]]) :
{{centrer|<math>\tan\left(\frac mn\right)=\frac{m \mid}{\mid n} - \frac{m^2 \mid}{\mid 3n} - \frac{m^2 \mid}{\mid 5n} - \frac{m^2 \mid}{\mid 7n} + \cdots.</math>}}

Cette fraction satisfait les hypothèses de sa proposition si ''m'' et ''n'' sont des entiers non nuls, ce qui lui permet d'énoncer le résultat suivant :

{{énoncé|La tangente de tout rationnel non nul est un irrationnel<ref>Pierre Eymard et Jean-Pierre Laffon, ''Autour du nombre {{math|π}}'', Hermann, 1999 {{ISBN|978-2-70561443-0}}, {{p.|135}}.</ref>.}}

Par [[contraposée]], tous les réels non nuls dont la tangente est rationnelle sont des irrationnels. Le nombre {{math|π}} en fait partie puisque sa tangente est nulle<ref>De même {{Harv|Perron|1913|p=[https://archive.org/stream/dielehrevondenk00perrgoog#page/n270/mode/2up 254]}}, pour tous entiers strictement positifs ''m'' et ''n'', {{sqrt|''m''}} tan({{sqrt|''m''}} / ''n'') est irrationnel, ce qui montre que {{math|π}}{{2}} lui-même est irrationnel.</ref>.

{{Démonstration/début}}
Plus exactement — puisqu'il n'est pas exclu ''a priori'' que les réels où le cosinus s'annule soient rationnels — Lambert démontre qu'en tout rationnel non nul ''où la tangente est définie'', elle est irrationnelle. En effet, en un tel point ''m''/''n'', il a montré la convergence de sa fraction continue :
{{centrer|<math>\tan\left(\frac mn\right)=\frac{m \mid}{\mid n} - \frac{m^2 \mid}{\mid 3n} - \frac{m^2 \mid}{\mid 5n} - \frac{m^2 \mid}{\mid 7n} + \cdots.</math>}}

Il existe manifestement un indice ''i'' tel que pour tout ''j'' ≥ ''i'', (2''j'' – 1)''n'' > ''m''{{2}} + 1. D'après le résultat de Lambert, tan(''m''/''n'') est donc irrationnel.
{{Démonstration/fin}}

=== Exponentielle d'un rationnel ===
{{Ancre|Base du logarithme népérien}}
[[#Exemple : le nombre e|Euler avait déduit l'irrationalité de {{math|e}}]] et de {{math|e}}{{2}} de leurs développements en fractions continues simples. Lambert va bien plus loin grâce aux fractions continues généralisées : il définit la fonction [[tangente hyperbolique]] et, en transposant les calculs précédents, obtient de même :

{{centrer|<math>\tanh t=\frac{t\mid}{\mid 1}+\frac{t^2\mid}{\mid 3}+\frac{t^2\mid}{\mid 5}+\frac{t^2\mid}{\mid 7}+\cdots.</math>}}

Le même raisonnement que pour la fonction tangente s'applique et la tangente hyperbolique de tout rationnel non nul est irrationnelle ou, ce qui est équivalent :

{{énoncé|L'[[Fonction exponentielle|exponentielle]] de tout rationnel non nul est un irrationnel.}}

== Autres applications ==
=== Équation de Pell-Fermat ===
{{Article détaillé|Fraction continue d'un irrationnel quadratique}}
L'[[équation de Pell-Fermat]] est l'équation suivante, où ''d'' désigne un entier positif non [[carré parfait]].
{{centrer|<math>x^2 - dy^2 = \pm 1\;</math>}}

À tout couple de solution (''a'', ''b'') de cette équation, correspond la fraction ''a'' / ''b'', qui se trouve être une approximation de la racine de ''d''. Cette approximation est à une distance inférieure à 1/(2''b''<sup>2</sup>) de la racine ; c'est donc une réduite de la fraction continue. Cette propriété peut être utilisée pour élucider la structure de l'ensemble des solutions. Elle offre aussi un algorithme d'extraction de racine carrée dont le nombre de décimales exactes double à chaque étape.

=== Automate de Huygens ===
{{Article détaillé|Fraction continue}}
Une application curieuse provient de l'horlogerie. [[Christian Huygens]] <small>([[1629]]-[[1695]])</small> souhaite réaliser un automate planétaire<ref>Ces informations, comme l'essentiel de ce paragraphe, proviennent de {{Article|prénom=Claude|nom=Brezinski|année=2005|mois=octobre|titre=Ces étranges fractions qui n'en finissent pas|éditeur=[[Université de La Réunion]], |périodique=Conférence à l'[[IREM]]|url=http://www.irem.univ-mrs.fr/IMG/pdf/Brezinski_fractions_continues.pdf|titre numéro=diaporama|p.=50}}.</ref>, c'est-à-dire un système à manivelle représentant le mouvement des différentes planètes du système solaire. Sachant que le rapport entre une année terrestre et celle de Saturne est  approximativement égal à 2 640 858/77 708 431, comment choisir le nombre de dents pour les différents engrenages qui composent la machine ? L'approximation diophantienne que représente la fraction continue lui offre une solution : {{citation|Or, lorsqu’on néglige à partir d’une fraction quelconque les derniers termes de la série et celles qui la suivent, et qu’on réduit les autres plus le nombre
entier à un commun dénominateur, le rapport de ce dernier au numérateur sera voisin de celui du plus petit nombre donné au plus grand; et la différence sera si faible qu’il serait impossible d’obtenir un meilleur accord avec des nombres plus petits<ref>{{harvsp|Brezinski|2005|p=51}}.</ref>.}}

=== Transcendance ===
{{Article détaillé|Nombre de Liouville}}
[[Fichier:joseph_liouville.jpeg|thumb|[[Joseph Liouville]] utilise des [[approximation diophantienne|approximations diophantiennes]] pour construire explicitement des [[nombre transcendant|nombres transcendants]].]]

Le fait qu'il n'existe qu'un nombre fini de fractions ''p''/''q'' à une distance inférieure à 1/(2''q''<sup>2</sup>) du rationnel signifie qu'un nombre rationnel s'approche « mal » par des fractions. Cette idée se généralise aux solutions d'une équation polynomiale. Soit α un nombre réel solution de l'équation ''f''(x) = 0, où ''f'' désigne un polynôme de degré ''d'' à coefficients rationnels. Le [[Théorème de Liouville (approximation diophantienne)|théorème de Liouville]] donne une limite à la qualité de l'approximation de α par un nombre rationnel ''p''/''q'' ; précisément, il indique qu'il existe une constante réelle ''A'' telle que pour tout rationnel ''p''/''q'' :
{{centrer|<math>\left|\alpha-\frac pq\right|>\frac A{q^d},</math>}}

ce qui permet de construire une fraction continue de limite ''x'' qui n'est solution d'aucune équation polynomiale à coefficients rationnels, c'est-à-dire un nombre transcendant. Plus exactement, [[Joseph Liouville|Liouville]] démontre<ref>{{Article|url=http://www.bibnum.education.fr/mathematiques/theorie-des-nombres/propos-de-l-existence-des-nombres-transcendants|auteur=Liouville|titre=Communication verbale|revue=[[Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences]]|jour=13|mois=5|année=1844}} (accès à l'article et analyse de [[Michel Mendès France]]) sur [[Bibnum]]. Voir cependant {{Article|auteur=J. Liouville|titre=Sur des classes très-étendues de quantités dont la valeur n'est ni algébrique ni même réductible à des irrationnelles algébriques|périodique=[[Journal de mathématiques pures et appliquées|J. Math. Pures Appl.]]|série=1|tome=16|année=1851|url=http://portail.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1851_1_16_A5_0.pdf}}, où Liouville reformule et redémontre ses résultats en purs termes d'approximation diophantienne, sans les particulariser aux fractions continues.</ref> que si une fraction continue (''a<sub>n</sub>'') converge vers un nombre algébrique de degré ''d'' ≥ 2, alors il existe une constante ''C'' telle que
{{centrer|<math>\forall n\in\N\quad a_{n+1}<Ck_n^{d-2},</math>}}
où (''k''<sub>n</sub>) désigne encore la suite des dénominateurs des réduites de cette fraction continue. Liouville en déduit sa méthode de construction de nombres transcendants : {{Citation|Il suffira de donner aux quotients incomplets un mode de formation qui les fasse grandir au-delà du terme indiqué, pour obtenir une fraction continue dont la valeur ne pourra satisfaire aucune équation algébrique}} et suggère par exemple d'imposer par récurrence, à partir d'un certain rang :
{{centrer|<math>a_{n+1}\ge k_n^n.</math>}}
D'après son résultat, la limite des réduites de toute fraction continue ainsi construite est un nombre transcendant.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Article connexe ===
* [[Mesure d'irrationalité]]

=== Bibliographie ===
*Roger Descombes, ''Éléments de théorie des nombres'', [[PUF]], 1986
*{{Ouvrage |prénom1=A. M. |nom1=Legendre |lien auteur1=Adrien-Marie Legendre |titre=Essai sur la théorie des nombres |année=1798 |passage=26-29 |lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=i4I_AAAAcAAJ&pg=PA26}}
<!--

Lien externe mort, le 15/03/2011[https://listes.ens-lyon.fr/wws/d_read/arinews.lip/2005-03/exposes/nicolas_b.pdf Une démonstration pour la meilleure approximation] par N. Brisebarre de l'[[université de Saint-Étienne]]-->

{{Portail|théorie des nombres}}

[[Catégorie:Fraction continue]]
[[Catégorie:Approximation diophantienne]]

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