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Dans un [[espace topologique]], un '''ensemble parfait''' est une [[Ensemble|partie]] [[fermé (topologie)|fermée]] sans [[point isolé]], ou de façon équivalente, une partie égale à son [[Point adhérent#Point limite, point isolé, partie discrète|ensemble dérivé]], c'est-à-dire à l'ensemble de ses « points limites », ou « [[Point d'accumulation (mathématiques)|points d'accumulation]] ».

== Exemples ==
L'[[ensemble vide]] est parfait dans tout espace.

Dans ℝ, un segment [''a'', ''b''] est un exemple simple d'ensemble parfait.

Un exemple moins évident est constitué par l'[[ensemble de Cantor]]<ref>{{Ouvrage|auteur=[[René Baire]]|titre=Leçons sur les fonctions discontinues|année première édition=1905, [[Gauthier-Villars]]|éditeur=[[Éditions Jacques Gabay|Jacques Gabay]]|année=1995|passage=54-57}}.</ref>.
Cet ensemble est [[Espace totalement discontinu|totalement discontinu]] et [[Homéomorphisme|homéomorphe]] à l'[[espace de Cantor]] <math>\{0,1\}^\N</math>. Plus généralement, l'[[espace produit]] {{math|{0, 1}{{exp|''I''}}}} est parfait lorsque {{math|''I''}} est un [[ensemble infini]]. Un exemple<ref>[[Jean-Marie Arnaudiès]], ''L'Intégrale de Lebesgue sur la droite'', [[Vuibert]], 1997, {{p.|18-20}}.</ref> d'ensemble parfait dans le plan, homéomorphe également à l'ensemble de Cantor, est l'ensemble <math>\left\{\left.\sum_{n\in E} a_n~\right|~E\subset\N\right\}</math> où <math>\sum a_n</math> est une [[Série (mathématiques)|série]] [[Convergence absolue|absolument convergente]] de complexes telle que pour tout {{math|''N''}}, <math>\sum_{n>N} |a_n|<|a_N|</math>.

On peut engendrer des ensembles parfaits de la façon suivante. Si <math>P^0</math> est une partie fermée de ℝ{{exp|''n''}}, on définit le dérivé <math>P' = P^1</math> de <math>P^0</math> comme l'ensemble des [[point d'accumulation (mathématiques)|points d'accumulation]] de <math>P^0</math>. Pour tout [[nombre ordinal|ordinal]] <math>\alpha</math>, on pose <math>P^{\alpha+1} = (P^{\alpha})'</math> et, si <math>\alpha</math> est un [[ordinal limite]], <math>P^{\alpha} = \cap_{\beta<\alpha} P^{\beta}</math>. Si <math>\omega_1</math> désigne le [[premier ordinal non dénombrable]], on montre que<ref>{{harvsp|Baire|1995|p=64-68}}.</ref> :
* Ou bien <math>P^{\omega_1} = \varnothing</math>. On dit que <math>P^0</math> est réductible ;
* Ou bien <math>P^{\omega_1}\ne\varnothing</math> et c'est un ensemble parfait. <math>P^0</math> est la réunion de cet ensemble parfait et d'un ensemble dénombrable.

== Propriétés ==
Un ensemble parfait non vide de ℝ<ref>{{harvsp|Baire|1995|p=61}}.</ref> ou ℝ{{exp|''n''}}<ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur=[[Walter Rudin]]|titre=Principles of Mathematical Analysis|numéro d'édition=3|éditeur=[[McGraw-Hill Education|McGraw-Hill]]|année=1976|année première édition=1953|url=https://notendur.hi.is/vae11/%C3%9Eekking/principles_of_mathematical_analysis_walter_rudin.pdf|page=41}}.</ref> n'est pas [[Ensemble dénombrable|dénombrable]]. Plus généralement et plus précisément :
* tout [[Espace complet#Espace complètement métrisable|espace complètement métrisable]] parfait non vide contient un [[Topologie induite|sous-espace]] homéomorphe à l'espace de Cantor<ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur=Arlen Brown|auteur2=Carl Pearcy|titre=Introduction to Operator Theory I: Elements of Functional Analysis|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|numéro dans collection=55|année=2012|url={{Google Livres|HVgFCAAAQBAJ|page=68}}|page=68}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=Measure Theory|volume=1|prénom=Vladimir I.|nom=Bogachev|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|année=2007|url={{Google Livres|CoSIe7h5mTsC|page autre=RA1-PA8}}|page=8}}.</ref> ;
* tout [[espace localement compact]] parfait non vide contient un [[sous-ensemble]] [[équipotent]] à l'espace de Cantor<ref>{{Lien web|lang=en|url=http://math.stackexchange.com/questions/281332/cardinality-of-a-locally-compact-hausdorff-space-without-isolated-points|titre=Cardinality of a locally compact Hausdorff space without isolated points|site=[[Stack Exchange Network|Mathematics Stack Exchange]]|année=2013}}.</ref>.
Dans les deux cas, l'espace considéré a donc au moins la [[puissance du continu]].

Toute partie fermée de ℝ (ou plus généralement : d'un [[espace polonais]]) est, de façon unique, réunion disjointe d'une partie dénombrable et d'un ensemble parfait : voir [[Théorème de Cantor-Bendixson]].

== Notes et références ==
{{références}}

== Articles connexes ==

* [[Propriété d'ensemble parfait]]
{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Topologie générale]]
[[Catégorie:Théorie des ensembles]]

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