Voir la source de Équations de Maxwell

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{{Confusion|Relations de Maxwell}}
[[Fichier:James Clerk Maxwell Statue Equations.jpg|vignette|Plaque représentant les équations de Maxwell au pied de la statue en hommage à [[James Clerk Maxwell]] d'[[Edimbourg]].]]
Les '''équations de Maxwell''', aussi appelées '''équations de Maxwell-Lorentz''', du nom du physicien écossais [[James Clerk Maxwell]], sont des [[Principe fondamental de la dynamique|lois fondamentales]] de la [[physique]]. Elles constituent, avec l'expression de la [[force électromagnétique]] de [[Hendrik Lorentz]], les [[postulat]]s de base de l'[[électromagnétisme]].

Ces [[équation]]s traduisent sous forme locale différents [[théorème]]s ([[Théorème de Gauss (électromagnétisme)|Gauss]], [[Théorème d'Ampère|Ampère]], [[Loi de Lenz-Faraday|Faraday]]) qui régissaient l'électromagnétisme avant que [[James Clerk Maxwell|Maxwell]] ne les réunisse sous forme d'[[Équation intégrale|équations intégrales]]. Elles donnent ainsi un cadre [[mathématique]] précis au concept fondamental de [[champ (physique)|champ]] introduit en physique par [[Michael Faraday]] dans les années [[1830]].

Ces équations montrent notamment qu'en régime stationnaire, les champs électrique et magnétique sont indépendants l'un de l'autre, alors qu'ils ne le sont pas en régime variable. Dans le cas le plus général, il faut donc parler du champ électromagnétique, la dichotomie électrique-magnétique étant une vue de l'esprit. Elles mettent aussi en évidence les équations d'ondes qui gèrent la propagation des ondes électromagnétiques.

Dans sa forme moderne, le champ électromagnétique est représenté par un objet mathématique unique, le [[tenseur électromagnétique]], dont certaines composantes s'identifient à celles du [[champ électrique]] et d'autres à celles du [[champ magnétique]].

== Principes généraux ==
Dans leur forme traditionnelle, les équations de Maxwell sont un ensemble de quatre [[Équation aux dérivées partielles|équations aux dérivées partielles]] du premier ordre et couplées{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}} Maxwell (équations de)|p=461, {{col.|2}}}} :
* l'[[#Équation de Maxwell-Gauss|équation de Maxwell-Gauss]]{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}} Maxwell (équations de)|p=461, {{col.|2}}}}{{,}}{{sfn|Akbi|2021|loc={{chap.|{{II}}}}, {{nobr|sect. A}}, {{§|4}}, {{numéro|4.2}}|p=63}}, reliée au théorème de Gauss en [[électrostatique]]{{sfn|Akbi|2021|loc={{chap.|{{II}}}}, {{nobr|sect. A}}, {{§|4}}, {{numéro|4.2}}|p=63}}, décrit comment un [[champ électrique]] est engendré par des [[Charge électrique|charges électriques]] : le champ électrique est orienté des charges positives vers les charges négatives. Plus précisément, cette loi relie le [[flux électrique]] à travers n'importe quelle [[surface de Gauss]] fermée avec la charge électrique contenue dans le volume délimité par cette surface ;
* l'[[#Équation de Maxwell-Thomson|équation de Maxwell-Thomson]]{{sfn|Akbi|2021|loc={{chap.|{{II}}}}, {{nobr|sect. A}}, {{§|4}}, {{numéro|4.3}}|p=63}}, reliée au théorème de Gauss en [[magnétostatique]]{{sfn|Akbi|2021|loc={{chap.|{{II}}}}, {{nobr|sect. A}}, {{§|4}}, {{numéro|4.3}}|p=63}}, énonce qu'il n'existe aucune « charge magnétique » (ou [[monopôle magnétique]]) analogue à une charge électrique. Au contraire, le champ magnétique est engendré par une configuration nommée [[Dipôle électrostatique|dipôle]], qui n'a pas de charge magnétique mais regroupe une charge positive et une charge négative reliées entre elles et inséparables. À titre d'exemple, cela permet de montrer que le [[flux magnétique]] total à travers n'importe quelle surface fermée est nul, ou que le champ magnétique est un [[champ solénoïdal]] ;
* l'[[#Équation de Maxwell-Faraday|équation de Maxwell-Faraday]]{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}} Maxwell (équations de)|p=461, {{col.|2}}}}{{,}}{{sfn|Akbi|2021|loc={{chap.|{{II}}}}, {{nobr|sect. A}}, {{§|4}}, {{numéro|4.4}}|p=64}}, reliée à la loi d'induction de Faraday{{sfn|Akbi|2021|loc={{chap.|{{II}}}}, {{nobr|sect. A}}, {{§|4}}, {{numéro|4.4}}|p=64}}, décrit comment la variation d'un [[champ magnétique]] peut créer (induire) un [[champ électrique]]. Ce [[courant induit]] est utilisé dans de nombreux [[Générateur électrique|générateurs électriques]] : un [[aimant]] en rotation crée un champ magnétique en mouvement, qui engendre un champ électrique dans un fil conducteur à proximité<ref>L'équation de Maxwell-Faraday est légèrement différente de l'équation proposée initialement par [[Michael Faraday]]. Les deux versions sont toutes deux des lois correctes de la physique mais elles ont une portée différente, par exemple selon qu'on considère ou non la [[force de Lorentz]], provoquée par le champ électromagnétique, qui agit sur les charges. Voir la [[loi de Lenz-Faraday]] pour plus de détails.</ref> ;
* l'[[#Équation de Maxwell-Ampère|équation de Maxwell-Ampère]]{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}} Maxwell (équations de)|p=461, {{col.|2}}}}{{,}}{{sfn|Akbi|2021|loc={{chap.|{{II}}}}, {{nobr|sect. A}}, {{§|4}}, {{numéro|4.5}}|p=65}}, reliée au théorème d'Ampère en régime variable{{sfn|Akbi|2021|loc={{chap.|{{II}}}}, {{nobr|sect. A}}, {{§|4}}, {{numéro|4.5}}|p=65}}, énonce que les champs magnétiques peuvent être engendrés de deux manières : par les [[Courant électrique|courants électriques]] (c'est le [[théorème d'Ampère]]) et par la variation d'un champ électrique (c'est l'apport de Maxwell sur cette loi).

Cette « correction » de Maxwell du théorème d'Ampère est particulièrement importante : elle signifie que la variation d'un champ magnétique crée un champ électrique, et que la variation d'un champ électrique crée un champ magnétique. Par conséquent, ces équations permettent la circulation d'ondes électromagnétiques autoentretenues, ou « [[rayonnement électromagnétique]] ».

Les équations de Maxwell font intervenir les [[Grandeur physique|grandeurs]] suivantes{{sfn|Tchofo Dinda|Mathey|2017|loc={{1re|part.}}, {{chap.|2}}, {{nobr|sect. 5}}|p=33-34}} :
*le [[champ électrique]], noté <math>\vec{E}</math> ;
*le [[Champ magnétique|champ (d'induction) magnétique]], noté <math>\vec{B}</math> ;
*la [[Densité de charge|densité (volumique)]] de [[charge électrique]], notée <math>\rho</math> ;
*la [[Densité de courant|densité (surfacique)]] de [[courant électrique]], notée <math>\vec{j}</math> ;
*deux [[Constante physique|constantes]]{{sfn|Tchofo Dinda|Mathey|2017|loc={{1re|part.}}, {{chap.|2}}, {{nobr|sect. 5}}|p=34}} [[Dimension (physique)|dimensionnées]]{{sfn|Rax|2017|loc={{chap.|{{1er}}}}, {{§|1.1}}|p=10}} dont l'introduction est [[Analyse dimensionnelle|nécessaire]]{{sfn|Rax|2017|loc={{chap.|{{1er}}}}, {{§|1.1}}|p=10}} pour assurer l'[[Homogénéité (physique)|homogénéité]]{{sfn|Rax|2017|loc={{chap.|{{1er}}}}, {{§|1.1}}|p=10}} des équations, à savoir :
**la [[Permittivité du vide|permittivité (diélectrique) du vide]], notée <math>\varepsilon_0</math>{{sfn|Rax|2017|loc={{chap.|{{1er}}}}, {{§|1.1}}|p=10}}{{,}}{{sfn|Akbi|2021|loc={{chap.|{{II}}}}, {{nobr|sect. A}}, {{§|4}}, {{numéro|4.7}}|p=65}} ;
**la [[Perméabilité du vide|perméabilité (magnétique) du vide]], notée <math>\mu_0</math>{{sfn|Rax|2017|loc={{chap.|{{1er}}}}, {{§|1.1}}|p=10}}{{,}}{{sfn|Akbi|2021|loc={{chap.|{{II}}}}, {{nobr|sect. A}}, {{§|4}}, {{numéro|4.7}}|p=65}}. 

La vitesse de propagation calculée pour les ondes électromagnétiques, qui pourrait être prédite par des expériences sur les charges et les courants<ref>Avec la terminologie actuelle : la [[constante électrique]] peut être estimée en mesurant la force reliant deux charges et en utilisant la [[Loi de Coulomb (électrostatique)|loi de Coulomb]] ; la [[constante magnétique]] peut être estimée en mesurant la force reliant deux conducteurs chargés électriquement et en utilisant la loi d'Ampère. Le produit de ces deux valeurs élevé à la puissance (-1/2) est la vitesse du rayonnement électromagnétique telle que prédite par les équations de Maxwell, en mètres par seconde.</ref>, est exactement la [[vitesse de la lumière]]. En effet, la lumière est une forme de rayonnement électromagnétique (tout comme les [[rayons X]], les [[ondes radio]], etc.). Maxwell avait compris la relation entre le rayonnement électromagnétique et la lumière en 1864, unifiant ainsi deux domaines jusqu'ici disjoints : celui de l'[[électromagnétisme]] et celui de l'[[optique]].

== Aspects historiques ==
=== L'apport de Maxwell ===
Vers 1865, [[James Clerk Maxwell|Maxwell]] a réalisé une synthèse harmonieuse des diverses lois expérimentales découvertes par ses prédécesseurs (lois de l'[[électrostatique]], du [[magnétisme]], de l'[[Induction magnétique|induction]]…). Mais cette synthèse n'a été possible que parce que Maxwell a su dépasser les travaux de ses devanciers, en introduisant dans une équation un « chaînon manquant », appelé le [[courant de déplacement]], dont la présence assure la cohérence de l'édifice unifié.

Maxwell a d'abord publié en 1865 sa théorie sous la forme de vingt équations à vingt inconnues, écrites à l'aide de [[quaternion]]s. En 1873, dans l'ouvrage en deux volumes ''{{Langue|en|A Treatise on Electricity and Magnetism}}'', Maxwell a déjà réécrit sa théorie sous la forme de huit équations. Ce n'est que plus tard, en 1884, qu'[[Oliver Heaviside]] réécrivit ces équations sous la forme des quatre équations vectorielles et scalaires [[équation aux dérivées partielles|aux dérivées partielles]] que l'on connaît maintenant<ref>{{en}} André Waser, [http://www.zpenergy.com/downloads/Orig_maxwell_equations.pdf « {{Langue|en|On the Notation of {{Petites capitales|Maxwell}}’s Field Equations}} »] {{pdf}}, publié le 28 juin 2000.</ref>.

=== Mathématiques modernes ===
Aujourd'hui, les quatre équations (vectorielles) de Maxwell se réduisent à seulement deux équations tensorielles, ou même à une seule équation multivectorielle en [[algèbre géométrique (structure)|algèbre géométrique]].

=== Les héritiers de Maxwell ===
La synthèse de Maxwell a permis ultérieurement les deux plus grandes avancées de la physique moderne :

* la théorie de la [[relativité restreinte]] (via le problème du [[référentiel (physique)|référentiel]] de l'hypothétique [[éther (physique)|éther]]). En effet, les équations de Maxwell permettent de prédire l'existence d'une [[onde électromagnétique]], c'est-à-dire que la modification d'un des paramètres (densité de charge, intensité du courant…) a des répercussions à distance avec un certain retard. Or, la vitesse de ces ondes, ''c'', calculée avec les équations de Maxwell, est égale à la [[vitesse de la lumière]] mesurée expérimentalement. Cela a permis de conclure que la lumière était une onde électromagnétique. Le fait que ''c'' soit la même dans toutes les directions et indépendante du référentiel, conclusion que l'on tire de ces équations, est un des fondements de la théorie de la relativité restreinte. Si l'on change de référentiel, le changement de coordonnées classique ne s'applique pas aux équations de Maxwell, il faut utiliser une autre transformation : la [[transformation de Lorentz]]. [[Albert Einstein|Einstein]] dans son article fondateur de la relativité restreinte (1905), en considérant la constance de la vitesse de la lumière quel que soit le [[référentiel galiléen]], déduit les transformations de Lorentz par des considérations purement physiques. Il montre que la force magnétique qui agit sur un électron n'est qu'un [[Transformations_de_Lorentz_du_champ_%C3%A9lectromagn%C3%A9tique#Lien_avec_la_m%C3%A9canique_relativiste_(A._Einstein)|effet relativiste de la force électrique]] qui agit sur l'électron vu depuis le référentiel au repos avec lui.
* la [[physique quantique]]. L'étude de la lumière et des ondes électromagnétiques, avec notamment les travaux de [[Max Planck]] sur le [[corps noir]] et d'[[Heinrich Rudolf Hertz|Heinrich Hertz]] sur l'[[effet photoélectrique]], donna naissance à la théorie quantique en 1900.

== Théorie de Maxwell-Lorentz dans le vide ==
On présente ci-dessous la théorie '''microscopique''' fondamentale qui donne les équations de Maxwell-Lorentz dans le [[vide (physique)|vide]] en présence de [[Source électromagnétique|sources]], qui peuvent être des [[charge électrique|charges ponctuelles]] et/ou leurs [[courant électrique|courants électriques microscopiques]] associés si ces charges sont en mouvement dans le référentiel d'étude.

La théorie ''macroscopique'' nécessitant l'introduction des champs ''D'' et ''H'' (et les équations de Maxwell associées) est discutée en détail dans [[Électrodynamique des milieux continus]].

On note :

* <math>\rho(\vec{x},t)</math> la [[densité de charge|densité volumique]] de [[charge électrique]] au point <math>\vec{x}</math> à l'instant <math>t</math> (en <math>C/m^3</math> dans le [[Système International d'unités|SI]]) ;
* <math>\vec{\jmath}(\vec{x},t) = \sigma \vec{E}(\vec{x},t)</math> le vecteur [[densité de courant]] (en <math>A/m^2</math> dans le SI) ;
* <math>\vec{E}(\vec{x},t)</math> le vecteur [[champ électrique]] (en <math>V/m</math> dans le SI) ;
* <math>\vec{B}(\vec{x},t)</math> le [[champ magnétique]] (en <math>T</math> dans le SI) ;
* <math>\varepsilon_{0} </math> la [[permittivité diélectrique du vide]] (en <math>F/m</math> dans le SI) ;
* <math>\mu_0 </math> la [[perméabilité magnétique du vide]] (en <math>H/m</math> dans le SI).

=== Équation de Maxwell-Gauss ===
==== L'équation locale de Maxwell ====
Dans cette équation, on utilisera l'opérateur [[nabla]], noté : [[Nabla|<math>\vec{\nabla}</math>]], dont on peut écrire l'expression en [[coordonnées cartésiennes]] avec <math display="block">\vec{\nabla} = \vec{e}_x\frac{\partial}{\partial x}+\vec{e}_y\frac{\partial}{\partial y}+\vec{e}_z\frac{\partial}{\partial z}.</math>Cette équation locale donne la [[Divergence (analyse vectorielle)|divergence]] du champ électrique en fonction de la densité de la charge électrique :<math display="block">\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \quad \mathrm{aussi \; not\acute{e}e} \quad \operatorname{div} \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}.</math>Cette équation correspond à un «terme de source» : la densité de charge électrique <math>\rho</math> est une source du champ électrique. Par exemple, pour une charge ponctuelle <math>q </math> fixée à l'origine <math>O</math>, la [[Loi de Coulomb (électrostatique)|loi de Coulomb]] donnant le champ électrostatique en un point <math>M </math> de l'espace, point repéré par le vecteur position <math>\overrightarrow{OM} = \vec{r} = r\, \vec{u}_r</math> où <math>\vec{u}_r </math> est le vecteur unitaire radial, et qui s'écrit :<math display="block">\vec{E}(M) = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \vec{u}_r .</math>Ce champ électrostatique vérifie l'équation de Maxwell-Gauss pour la source statique, soit<math display="block">\rho(\vec{r},t) = q \delta^3(\vec r),</math>où <math>\delta^3(\vec r)</math> est la [[distribution de Dirac]] dans l'espace à trois dimensions.

==== Le théorème de Gauss ====
Le [[Théorème de Gauss (électromagnétisme)|théorème de Gauss]] est la forme intégrale de l'équation de Maxwell-Gauss. Il affirme que le [[flux (mathématiques)|flux]] du [[Champ électrique#Champ électrostatique|champ électrique permanent]] à travers une [[surface de Gauss]] fermée <math>\Sigma</math>, orientée selon la normale sortante, est égale au rapport de la charge <math>Q_{\text{int}}</math> contenue dans le volume <math>V</math> délimité par la surface <math>\Sigma</math> <ref>Pour calculer explicitement le champ électrique, le théorème de Gauss n'est utilisable que dans des cas simples, possédants une « haute » symétrie : symétries sphérique, cylindrique et plane. Il est alors possible de calculer explicitement le flux du champ à travers une surface de Gauss <math>\Sigma</math> possédant la ''même'' symétrie.</ref> et de la permittivité du vide :<math display="block"> \oint_{\Sigma} \vec{E} \cdot \mathrm{d} \vec{S} = \frac{1}{\varepsilon_0} \int_{V} \rho \mathrm{d} \tau = \frac{Q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_0}.</math>On remarquera que l'équation de Maxwell-Gauss se retrouve facilement en appliquant le [[Théorème de flux-divergence|théorème d'Ostrogradski]] au théorème de Gauss et en prenant un volume infinitésimal.

=== Équation de Maxwell-Thomson ===
Cette équation est aussi appelée '''équation de Maxwell-flux'''<ref name="SanzCardini2017">{{Ouvrage|coauteur=Annie Guerillot, Thierry Guillot, Bruno Morvan|auteur1=Marie-Noëlle Sanz|auteur2=Stéphane Cardini|auteur3=Elisabeth Ehrhard|titre=Physique tout-en-un PSI-PSI* - 4e éd.|éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]]|date=16 août 2017|pages totales=568|isbn=978-2-10-077123-3|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=MvQxDwAAQBAJ&pg=PA568}}</ref> ; elle exprime que le flux du champ magnétique à travers une surface <math>(\Sigma)</math> ''fermée'' est toujours nul :<math display="block">
\oint_{\Sigma} \vec B \cdot \mathrm{d}\vec S= 0.</math>Cette équation est la forme intégrale de l'équation locale de Maxwell, et on passe de l'une à l'autre en appliquant le [[Théorème de flux-divergence|théorème d'Ostrogradski]].

==== L'équation locale de Maxwell ====
Cette équation locale est au champ magnétique ce que l'équation de Maxwell-Gauss est au champ électrique, à savoir une équation avec « terme de source », ici identiquement nul :<math display="block">\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 \quad \mathrm{aussi \; not\acute{e}e} \quad \operatorname{div} \vec{B} = 0.</math>Elle traduit le fait expérimental suivant : il n'existe pas de monopôle magnétique. Un monopôle magnétique serait une source ponctuelle de champ magnétique, analogue de la charge électrique ponctuelle pour le champ électrique. Or, l'objet de base source d'un champ magnétique est l'[[aimant]], qui se comporte comme un [[dipôle magnétique]] : un aimant possède en effet un pôle nord et un pôle sud. L'expérience fondamentale consistant à tenter de couper un aimant en deux donne naissance à deux aimants, et non un pôle nord et un pôle sud séparément<ref>Certaines théories quantiques modernes de l'unification des interactions fondamentales prédisent l'existence de monopôles magnétiques, mais ces objets n'ont à ce jour ''jamais'' été observés. Par ailleurs, [[Paul Dirac|Dirac]] a montré en 1930 comment l'existence d'un monopôle magnétique pourrait expliquer de façon élégante la quantification de la charge électrique observée expérimentalement. Pour une revue de l'« état de l'art » actuel, lire par exemple Kimball A. Milton, ''Theoretical and experimental statut of magnetic monopoles'', Report on Progress in Physics '''69''' (2006), 1637-1711.</ref>.

==== Introduction du potentiel-vecteur ====

L'[[analyse vectorielle]] montre que la [[Divergence (analyse vectorielle)|divergence]] d'un [[rotationnel]] est toujours identiquement nulle pour tout champ quelconque <math>\vec F</math>, c'est-à-dire<math display="inline">\vec{\nabla}\cdot ( \vec{\nabla} \wedge \vec F )  =  0
</math>. Réciproquement, tout [[champ de vecteurs]] dont la divergence est identiquement nulle peut localement<ref name="LocalGlobal" /> être exprimé sous la forme d'un rotationnel. L'équation locale de conservation du flux magnétique permet donc de définir au moins localement un potentiel-vecteur <math>\vec A</math> tel que :<math display="block">\vec B = \vec{\nabla}\wedge\vec A.</math>Le problème important de l'unicité du potentiel-vecteur est discuté dans l'article ''[[#Invariance de jauge de la théorie|Invariance de jauge de la théorie]]''.

=== Équation de Maxwell-Faraday ===
Cette équation locale traduit le phénomène fondamental d'[[induction électromagnétique]] découvert par [[Michael Faraday|Faraday]].

==== L'équation locale ====
Elle donne le [[rotationnel]] du champ électrique en fonction de la dérivée temporelle du champ magnétique : <math display="block">\vec{\nabla}\wedge\vec E=-\frac{\partial \vec B}{\partial t} \quad \mathrm{aussi \; not\acute{e}e} \quad \operatorname{\overrightarrow{rot}} \vec E=-\frac{\partial \vec B}{\partial t}.</math>Cette équation indique que la variation du champ magnétique crée un champ électrique.

==== Forme intégrale : loi de Faraday ====
La forme intégrale de l'équation locale est donnée, d'après le [[théorème de Stokes]], par : <math display="block">\oint_C \vec{E} \cdot \mathrm{d} \vec \ell= - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \int_S \vec{B}\cdot\mathrm{d} \vec{S} \right).</math>Il s'agit de la [[Loi de Lenz-Faraday|loi de Faraday]], qui s'écrit aussi : <math display="block">e = -\frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d} t}</math>où :
* <math display="inline">\displaystyle e = \oint_C \vec{E} \cdot \mathrm{d} \vec \ell</math> est la [[force électromotrice]] d'[[Induction électromagnétique|induction]] dans un circuit électrique de contour {{Formule|§=''C''}};
* <math display="inline">\displaystyle \Phi=\int_S \vec{B}\cdot\mathrm{d} \vec{S} </math> est le [[Flux magnétique|flux du champ magnétique]] à travers la surface {{Formule|§=''S''}} délimitée par le contour {{Formule|§=''C''}}.
==== Introduction du potentiel électrique ====

L'[[analyse vectorielle]] montre que le rotationnel d'un gradient est toujours identiquement nul. Pour un [[champ scalaire]] quelconque <math>F</math>:<math display="block">\vec{\nabla}\wedge(\vec{\nabla}F)=\vec{0}.
</math>L'équation de Maxwell-Faraday couplée à l'existence locale d'un potentiel-vecteur <math>\vec A</math> permettent de définir (au moins localement) le potentiel électrique <math>V</math> (scalaire) tel que :<math display="block">\vec E=-{\vec{\nabla}}V-\frac{\partial\vec A}{\partial t}.</math>Le problème important de l'unicité du potentiel électrique est discuté dans ''[[#Invariance de jauge de la théorie|Invariance de jauge de la théorie]]''.

=== Équation de Maxwell-Ampère ===
==== L'équation locale de Maxwell ====

Cette équation est héritée du [[théorème d'Ampère]]. Sous forme locale, elle s'écrit en termes du [[Densité de courant|vecteur densité de courant]] <math>\vec{\jmath}</math> :<math display="block">\vec{\nabla} \wedge \vec B=\mu_0\vec{\jmath}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t} \quad \mathrm{aussi \; not\acute{e}e} \quad \operatorname{\overrightarrow{rot}} \vec B=\mu_0\vec{\jmath}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}</math>

==== Introduction du courant de déplacement ====

L'équation précédente peut se réécrire <math display="block">\vec{\nabla}\wedge\vec B=\mu_0\left(\vec{\jmath}+\vec{\jmath}_D\right),
</math>en introduisant le [[courant de déplacement]] de Maxwell <math display="block">\vec{\jmath}_D=\varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}.
</math>La forme intégrale lie la circulation du champ magnétique sur un contour <math>C</math> fermé, et les courants qui traversent une surface <math>S</math> s'appuyant sur ce contour. C'est une conséquence directe du [[théorème de Stokes]] :<math display="block">\oint_C \overrightarrow B\cdot{\mathrm d\vec \ell} = \mu_0\int_S\vec{\jmath}\cdot{\mathrm d\vec S}+\varepsilon_0\mu_0\int_S\frac{\partial\vec E}{\partial t}\cdot{\mathrm d\vec S}.
</math>

=== Équation de conservation de la charge ===

Prenons la divergence de l'équation de Maxwell-Ampère :<math display="block">\vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} \wedge \vec{B} = 0 = \mu_0 \vec{\nabla} \cdot \vec{\jmath} + \varepsilon_0 \mu_0 \vec{\nabla} \cdot \left( \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right).</math>Les dérivées spatiales et temporelles étant indépendantes, le [[théorème de Schwarz]] assure que l'on peut permuter l'opérateur nabla et la dérivée partielle temporelle. Puis en utilisant l'équation de Maxwell-Gauss, il vient : <math display="block">\vec{\nabla}\cdot\left(\frac{\partial\vec E}{\partial t}\right)=\frac{\partial~}{\partial t}\left(\vec{\nabla}\cdot\vec E\right)=\frac1{\varepsilon_0} \frac{\partial \rho}{\partial t}.</math>On obtient finalement l'équation locale de conservation de la charge électrique : <math display="block"> \vec{\nabla} \cdot \vec{j} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0 \quad \mathrm{aussi \; not\acute{e}e} \quad \operatorname{div}  \vec{j} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0. </math>La présence du terme de [[courant de déplacement]], introduit par Maxwell, est essentielle à l'obtention de cette équation.

=== Caractère ondulatoire des champs électriques ===
Prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday, compte tenu de Maxwell-Gauss et de Maxwell-Ampère :<center>
<math>\vec{\nabla} \wedge (\vec{\nabla}\wedge\vec E)=\vec{\nabla}\left(\vec{\nabla}\cdot\vec E\right)-\operatorname{\Delta}\vec E=\vec{\nabla} \wedge \left(-\frac{\partial \vec B}{\partial t}\right)</math>, 
</center>
soit, en utilisant le fait que les dérivées spatiales et temporelle sont indépendantes
<center>
<math>\vec{\nabla}\left(\frac{\rho}{\varepsilon_0}\right)-\operatorname{\Delta}\vec E=-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2}{\partial t^2}\vec E-\mu_0
\frac{\partial \vec j}{\partial t}</math>, 
</center>
ou, en réorganisant :
<center>
<math>-\operatorname{\Delta}\vec E+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2 }{\partial t^2}\vec E=-\vec{\nabla}\left(\frac{\rho}{\varepsilon_0}\right)-\mu_0\frac{\partial \vec j}{\partial t}</math>.
</center>
Ceci montre que le champ électrique suit l'[[équation des ondes]].

En prenant le rotationnel de l'équation de Maxwell-Ampère, compte tenu de Maxwell-Thomson et de Maxwell-Faraday, on retrouve le résultat équivalent :
<center>
<math>-\operatorname{\Delta}\vec B+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2}{\partial t^2}\vec B=\vec{\nabla}\wedge(\mu_0\vec{\jmath})</math>.
</center>
Ceci montre que le champ magnétique suit également l'équation des ondes.

La vitesse de propagation de l'onde électro-magnétique <math>c</math> est donnée par :
<center>
<math>c^2=\frac1{\mu_0\varepsilon_0}</math>.
</center>

== Invariance de jauge de la théorie ==
L'[[analyse vectorielle]] montre que la divergence d'un rotationnel est toujours identiquement nulle :

<center><math>\vec{\nabla}\cdot\,\vec{\nabla}\wedge \vec{A} = 0
</math>.</center>

L'équation locale de conservation du flux magnétique permet donc de définir au moins localement<ref name="LocalGlobal">Localement signifie ici : dans un ''voisinage'' de chaque point <math>M</math> de l'''espace physique''. Le problème de savoir si l'on peut définir ''globalement'' un potentiel-vecteur sur un espace donné conduit à devoir se poser des questions sur la ''[[cohomologie]]'' de cet espace, un concept issu de la [[géométrie différentielle]].</ref> un ''potentiel-vecteur'' <math>\vec{A} </math> tel que :

<center><math>\vec{B}=\vec{\nabla}\wedge\vec{A}</math></center>

L'analyse vectorielle nous dit également que

<center><math>\overrightarrow{ \operatorname{rot}}\,\overrightarrow{\operatorname{grad}}=\vec0
</math>.</center>

Alors le potentiel-vecteur n'est pas défini de manière unique puisque la transformation suivante, avec <math>f</math> une fonction quelconque

<center><math>
\vec A\rightarrow\vec A+\vec{\nabla}f
</math></center>

ne modifie pas la valeur du champ <math>\vec B</math>. Ceci est un exemple de [[Théorie de jauge|transformation de jauge]]. Il faut donc imposer des conditions supplémentaires pour définir <math>\vec{A} </math> de façon non-ambiguë. On appelle cela des conditions de jauge, par exemple la condition de jauge de Coulomb ou plus généralement la condition de [[jauge de Lorenz]] (voir ci-dessous).

On peut remarquer qu'en [[physique classique]], le potentiel-vecteur semble n'être qu'un outil mathématique commode pour analyser les solutions des équations de Maxwell, mais ne semble pas être une grandeur physique directement ''mesurable''. En 1959, dans le cadre de la [[physique quantique]], [[Yakir Aharonov]] et [[David Bohm]] ont démontré<ref>{{Article|langue=en|auteur=Y. Aharonov|auteur2=D. Bohm|titre=Significance of electromagnetic potentials in quantum theory|revue=Physical Review|vol=115|année=1959|p.=485-491}}.</ref> que le potentiel-vecteur avait un effet observable en [[mécanique quantique]] : c'est l'[[effet Aharonov-Bohm]].

L'équation de Maxwell-Faraday couplée à l'existence locale d'un potentiel-vecteur <math>\vec A</math> permettent de définir (au moins localement) le potentiel électrique <math>V</math> (scalaire) tel que :

<center>
{| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
|-----
| bgcolor="#fff8ff" |<math>\vec E=-\vec{\nabla}V-\frac{\partial\vec A}{\partial t}</math>.
|}</center>

Le potentiel <math>V</math> lui non plus n'est pas défini de façon unique mais la transformation de jauge associée et liée à celle de <math>\vec A</math> est la suivante (on rappelle celle de <math>\vec A</math> par souci de clarté) et l'on a

<center><math>
\left\{
\begin{matrix}
V & \rightarrow & V - \partial_t f \\
\vec A& \rightarrow & \vec A+\vec{\nabla}f
\end{matrix}\right.
 </math>.</center>

Ces deux équations donnent l'invariance de jauge complète des équations de Maxwell.

=== Condition de jauge de Lorenz ===
On pose la condition de jauge de Lorenz (qui couple les deux potentiels) :

<center><math>\vec{\nabla}\cdot\vec A+\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial V}{\partial t}=0</math>.</center>

Prenons l'équation de Maxwell-Ampère, compte tenu de la condition de jauge de Lorenz et de l'expression de <math>\vec{E}</math> en fonction des potentiels <math>V</math> et <math>\vec A</math> :

<center><math>\vec{\nabla}\wedge(\vec{\nabla}\wedge\vec A)=\vec{\nabla}\left(\vec{\nabla}\cdot\vec A\right)-\operatorname{\Delta}\vec A=\vec{\nabla}\left(-\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial V}{\partial t}\right)-\operatorname{\Delta}\vec A</math>,
<math>=\vec{\nabla}\wedge\vec B=\mu_0\vec{\jmath}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}=\mu_0\vec{\jmath}-\mu_0 \varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{\nabla}V+\frac{\partial\vec A}{\partial t}\right)</math>.
</center>

On obtient l'équation de propagation du potentiel-vecteur :
<center>
{| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
|-----
| bgcolor="#fff8ff" |<math>\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec A}{\partial t^2}-\operatorname{\Delta}\vec A=\mu_0\vec{\jmath}</math>
|}</center>

en utilisant <math>\mu_0\varepsilon_0c^2=1</math>. Idem pour le potentiel scalaire :

<center><math>\vec{\nabla}\cdot\vec E=\frac{\rho}{\varepsilon_0}=\vec{\nabla}\cdot\left(-\vec{\nabla}V-\frac{\partial\vec A}{\partial t}\right)=\vec{\nabla}\cdot(-\vec{\nabla}V)-\frac{\partial}{\partial t}(\vec{\nabla}\cdot\vec A)</math>,</center>soit

<center>
{| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
|-----
| bgcolor="#fff8ff" |<math>\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 V}{\partial t^2}-\operatorname{\Delta}V=\frac{\rho}{\varepsilon_0}</math>
|}</center>

On remarque que la jauge de Lorenz permet de découpler les équations de propagation des champs <math>V</math> et <math>\vec{A}</math> : elles ne dépendent respectivement que des sources <math>\rho</math> et <math>\vec{\jmath}</math>. C'est pourquoi la jauge de Lorenz est souvent utilisée pour l'étude de phénomènes ondulatoires.

== Solutions des équations du champ électromagnétique ==
{{Section à sourcer|date=avril 2018}}
=== Résolution à partir des charges ponctuelles ===
Les expressions des champs électriques et magnétiques peuvent être obtenues en intégrant sur tout l'espace les [[Potentiels de Liénard-Wiechert|équations de Liénard-Wiechert]] ou celles de Heaviside-Feynman.

=== Solutions mathématiques des équations de Maxwell dans le vide. ===
Résolvons les équations de Maxwell dans l'espace {{Précision nécessaire|éventuellement limité par des conditions qui gardent la linéarité}}.

Représentons des solutions par des lettres <math>Q,R,\dots
</math> (ensembles des 6-vecteurs formés des six composantes du champ en tout point de coordonnées <math>x,y,z,t
</math>). Comme dans le vide les équations sont linéaires, <math>\alpha{}Q+\beta{}R+\cdots
</math>, où <math>\alpha,\beta,\dots
</math> sont des constantes réelles, est aussi une solution. En conséquence, l'ensemble des solutions des équations de Maxwell est un [[espace vectoriel]] réel.

Conformément à la définition introduite en [[acoustique]], un [[Mode (onde)|''mode'']] est une direction de cet espace. Un système complet de solutions constitue une [[Base (algèbre linéaire)|base]] dans cet espace nommé tantôt espace des solutions, tantôt espace des modes. Une solution particulière dans un mode est obtenue en multipliant un champ de ce mode posé comme champ d'amplitude unité, par une constante réelle, l'amplitude.

Avec un système d'unités convenable, l'[[énergie (physique)|énergie]] (à un moment donné) <math>W(Q)
</math> d'une solution <math>Q
</math> est l'intégrale étendue à tout l'espace, du carré de la norme du vecteur <math>Q
</math> par rapport au [[produit scalaire]] usuel. Il faut faire attention au fait que l'énergie ne dépend pas linéairement de <math>Q
</math>. L'énergie de la somme de plusieurs solutions n'est donc pas, ''a priori'', la somme des énergies des différentes solutions prises séparément. Néanmoins, le [[Algorithme de Gram-Schmidt|procédé de Gram-Schmidt]] permet d'obtenir, à partir d'un système complet de solutions, un système complet de solutions orthogonales, ou encore système complet de modes orthogonaux. Dans de tels systèmes, les énergies sont indépendantes, c'est-à-dire que l'énergie d'une solution est égale à la somme des énergies de ses différentes composantes dans le système.

Planck a posé que l'énergie dans un [[Mode (onde)|mode monochromatique]] de fréquence <math>\nu
</math> se propageant dans un [[corps noir]] à la température <math>T
</math> est <math>w=\frac{h\nu}{\exp(h\nu/kT)-1}+K
</math>. La valeur erronée de <math>K
</math> donnée par Planck a été corrigée par [[Walter Nernst|Nernst]] en 1916 ; la valeur <math>K=\frac{h\nu}{2}
</math> est facilement retrouvée car la thermodynamique impose que <math>w
</math> tende vers <math>kT
</math> lorsque <math>T
</math> tend vers l'infini. Cette formule définit la température d'un mode. Cependant l'interprétation de cette formule est physiquement délicate car la définition d'une fréquence pure suppose une expérience de durée infinie.

=== Introduction des charges électriques ===
On sait calculer les champs émis par des charges, par exemple le champ émis par un [[dipôle électrostatique]] oscillant. Pour se ramener au problème précédent, on utilise l'« astuce de Schwarzschild et Fokker ». Le champ émis par une source est nommé « champ retardé » <math>Q^R
</math>. Dépouillé de la source, ce champ n'est ''pas'' solution des équations de Maxwell. Pour obtenir une solution identique dans le futur, il faut lui ajouter un « champ avancé » <math>Q^A
</math>. Par cette définition, <math>Q^A+Q^R
</math> est solution des équations de Maxwell. Ainsi, en substituant le champ avancé à la source, on est ramené au problème linéaire d'un champ dans le vide et on peut définir des modes.

=== Solutions générales et causales des équations de Maxwell ===
{{Article détaillé|Équations de Jefimenko}}

Les solutions générales et causales des équations de Maxwell sont données par les [[équations de Jefimenko]].

Les équations de Jefimenko donnent le champ électrique et le champ magnétique dus à une distribution de charges électriques et de courant électrique dans l'espace. Elles prennent en compte le retard dû à la propagation (temps retardé) des champs en raison de la limite finie de la vitesse de la lumière et des effets relativistes. Elles peuvent donc être utilisées pour des charges et des courants en déplacement. Elles sont les solutions générales des équations de Maxwell pour n'importe quelle distribution arbitraire de charges et de courants.

Ces équations sont la généralisation, dépendant du temps ([[électrodynamique]]), de la loi de Coulomb et de la loi de Biot-Savart, qui étaient à l'origine vraies uniquement pour les champs en électrostatique et en magnétostatique ainsi que pour les courants continus.

Une des caractéristiques essentielles des équations de Jefimenko se voit dans la partie droite ou apparaît le temps retardé ce qui reflète la causalité de ces équations. En d'autres mots, la partie gauche des équations sont en réalité causées par la partie droite, contrairement aux équations différentielles de Maxwell où les deux côtés ont lieu en même temps.

=== Quantification en électrodynamique classique ===
Un système physique possède, en général, des minimums d'énergie relatifs. En régime non évolutif (stationnaire), le système, excité par un champ électromagnétique de l'ordre de <math>h/2
</math> dans chaque mode qu'il est susceptible d'émettre (donc d'absorber), reste au voisinage d'un minimum d'énergie ; pour chaque mode monochromatique, son excitation l'amène à rayonner un champ en quadrature avec le champ incident, ce qui ne produit aucun échange d'énergie permanent, mais introduit un retard, la réfraction. Pour un champ plus intense, en particulier en raison d'une fluctuation favorable du champ, le système peut franchir un col de son diagramme d'énergie et absorber une énergie <math>h
</math> cette absorption peut conduire à un niveau peu stable d'où le système peut évoluer rapidement vers d'autres niveaux, en une cascade plus ou moins radiative qui l'amène à un état stationnaire, stable.

Dans une théorie classique, aucun paradoxe ne peut être admis, en particulier le paradoxe d'Einstein, Podolsky et Rosen n'existe pas : supposons qu'un atome perde une énergie de résonance <math>h
</math>, par exemple par le rayonnement d'un dipôle. Le mode d'émission de ce dipôle n'est pas orthogonal aux modes d'émission (donc d'absorption) d'autres atomes dont l'amplitude peut être accrue ; 0, 1, 2, … atomes peuvent alors absorber <math>h
</math>, même si, en moyenne, un seul atome est excité ; les champs résiduels jouent le rôle d'un bain thermodynamique.

=== Quelques erreurs habituelles ===
Il a été écrit que l'électron d'un atome d'hydrogène suivant une [[Modèle de Bohr|orbite de Bohr]] émet un champ, donc rayonne de l'énergie et devrait tomber sur le noyau. L'électron émet bien un champ, mais d'énergie très faible en raison de l'interférence du champ émis avec le champ résiduel ; cette énergie tombe à zéro si l'orbite est légèrement corrigée, de sorte que l'énergie de l'état stationnaire subit le [[décalage de Lamb]].

L'étude de l'amorçage d'un laser semble indiquer que le champ du point zéro induit une émission deux fois plus intense qu'un champ d'intensité plus grande. Pour tenir compte de ce résultat, on peut introduire une « radiation de réaction », ''ad hoc''. La véritable explication est très simple : un atome est excité par un champ dans le mode qu'il peut émettre, dit sphérique ; au démarrage du laser, il existe dans ce mode une amplitude correspondant à <math>h/2
</math> ; le laser fonctionne sur un mode d'onde plane dont il faut prendre la composante sphérique pour exciter l'atome, ce qui divise l'énergie par deux.

Il n'existe pas de système électromagnétique isolé ; oublier que le champ minimum est le champ du point zéro conduit à des erreurs lorsqu'on détecte des champs faibles.

== Formulation covariante ==
<center>
'''NB Cette partie suit les conventions de signe classiques de MTW'''<ref name="MTW">{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Charles W. Misner|auteur2=Kip S. Thorne|auteur3=John Archibald Wheeler|titre=Gravitation|lieu=New York|éditeur=W.H. Freeman and Company|année=1973|pages totales=1279|isbn=978-0-7167-0334-1|isbn2=978-0-716-70344-0|oclc=585119}}.</ref>
</center>

<center>
Cette partie adopte également la [[convention de sommation d'Einstein]].
</center>

=== Géométrie de l'espace-temps de Minkowski ===
{{Article détaillé|Espace de Minkowski}}
L'espace-temps de Minkowski (1908) est une [[variété différentielle]] ''M'' [[courbure|plate]] munie d'une métrique lorentzienne.

Soit un système de coordonnées quelconque <math>x^{\mu}</math> autour d'un évènement (point) <math>P</math> de l'espace-temps, et soient <math>\mathbf e_{\mu}(x)</math> une base locale de <math>T_xM</math>, [[espace tangent]] à la variété au point <math>x\in M</math>. Un vecteur tangent <math>\mathbf w \in T_xM</math> s'écrit alors comme la combinaison linéaire :

{| align="center" border="0"
|<math>\mathbf w=w^{\mu}\mathbf e_{\mu}</math>.
|}

Les <math>w^{\mu}</math> sont appelée les composantes ''contravariantes'' du vecteur <math>\mathbf{w}
</math>. Le [[tenseur métrique]] <math>\mathbf\eta</math> est la forme bilinéaire symétrique<ref>Dans cette formule, <math>dx^{\mu}</math> désigne la ''base duale'' de <math>\mathbf e_{\mu}(x)</math> dans l'espace cotangent <math>T_x^*M</math>, c'est-à-dire la [[forme linéaire]] sur <math>T_xM</math> telle que :

{| border="0" align="center"
|<math>\mathrm dx^{\nu}(\mathbf e_{\mu})=\delta_{\mu}^\nu</math>
|}</ref> :

<center>
{| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
|-----
| bgcolor="#fff8ff" |<math>\mathbf\eta=\eta_{\mu\nu}\mathrm dx^{\mu}\otimes\mathrm d x^{\nu}</math>
|}
</center>

Dans une base orthonormée d'un ''référentiel inertiel'', ses composantes covariantes <math>\eta_{\mu\nu}</math> sont :

<center>
{| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
|-----
| bgcolor="#fff8ff" |<math>\eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(-,+,+,+)</math>
|}
</center>

Ses composantes contravariantes <math>\eta^{\mu\nu}</math> vérifient :

{| align="center" border="0"
| <math>\eta_{\mu\alpha}\eta^{\alpha\nu}=\delta_{\mu}^\nu</math>.
|}

On obtient explicitement :

{| align="center" border="0"
|<math>\eta^{\mu\nu}=\mathrm{diag}(-,+,+,+)</math>.
|}

On utilisera ci-dessous les conventions usuelles suivantes :

* un indice ''grec'' varie de 0 à 3. Il est associé à une grandeur dans l'espace-temps ;
* un indice ''latin'' varie de 1 à 3. Il est associé aux composantes spatiales d'une grandeur dans l'espace-temps.

Par exemple, les composantes contravariantes du 4-vecteur position s'écrivent dans un système de coordonnées orthonormales :

{| align="center" border="0"
|<math>x^{\mu}=(x^0,x^i)=(x^0,x^1,x^2,x^3)=(ct,x,y,z)</math>.
|}

Le tenseur métrique définit pour chaque point <math>x\in M</math> de l'espace-temps un pseudo-[[produit scalaire]] (''pseudo'' au sens où l'hypothèse de positivité est retirée) dans l'espace <math>T_xM</math> euclidien tangent à ''M'' au point <math>x</math>. Si <math>\mathbf u</math> et <math>\mathbf v</math> sont deux vecteurs de <math>T_xM</math>, leur produit scalaire s'écrit :

{| align="center" border="0"
|<math>\mathbf u\cdot\mathbf v=\mathbf\eta(\mathbf u,\mathbf v)=\eta_{\mu\nu}u^{\mu}v^{\nu}</math>.
|}

En particulier, en prenant deux vecteurs de base, on obtient les composantes :

{| align="center" border="0"
|<math>\eta_{\mu\nu}=\mathbf\eta(\mathbf e_{\mu},\mathbf e_{\nu})=\mathbf e_{\mu}\cdot\mathbf e_{\nu}</math>.
|}

<math>w^{\mu}</math> désignant les composantes ''contravariantes'' du vecteur '''w''', on peut définir de même ses composantes ''covariantes'' par :

{| align="center" border="0"
|<math>w_{\mu}=\mathbf w\cdot\mathbf e_{\mu}</math>.
|}

Par exemple, les composantes covariantes du 4-vecteur position s'écrivent dans un système de coordonnées orthonormales :

{| align="center" border="0"
|<math>x_{\mu}=(x_0,x_i)=(x_0,x_1,x_2,x_3)=(-ct,x,y,z)</math>.
|}

=== Quadrigradient ===
On introduit l'opérateur différentiel ''quadrigradient'' pour généraliser l'opérateur [[nabla]].

Ses composantes covariantes s'écrivent :

{| align="center" border="0"
|<math>\partial_{\mu}=\begin{pmatrix}\partial_0\partial_i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t};\vec{\nabla}\end{pmatrix}</math>.
|}

Ses composantes contravariantes s'écrivent :

{| align="center" border="0"
|<math>\partial^{\mu}=\begin{pmatrix}\partial^0\partial^i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t};\vec{\nabla}\end{pmatrix}</math>.
|}

L'opérateur invariant d'Alembertien s'écrit par exemple :

{| align="center" border="0"
|<math>\Box = \partial^{\mu}\partial_{\mu} = \partial_{\mu}\partial^{\mu} = -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}+\vec{\nabla}^2</math>.
|}

=== Quadripotentiel ===
On introduit le [[quadrivecteur potentiel]] électromagnétique par ses composantes contravariantes :

{| align="center" border="0"
|<math>A^{\mu}=\left(A^0~;~ A^i\right)_{i=1,2,3}=\begin{pmatrix}\frac Vc~;~\overrightarrow A\end{pmatrix}</math>
|}

où <math>V</math> est le scalaire potentiel électrique, et <math>\overrightarrow A</math> le potentiel-vecteur magnétique. Ses composantes covariantes s'écrivent :

{| align="center" border="0"
|<math>A_{\mu}=\begin{pmatrix}A_0~;~ A_i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac Vc~;~\overrightarrow A\end{pmatrix}</math>.
|}

Les lois de transformation de jauge écrites précédemment sont donc résumées dans cette notation sous la forme

<center><math>
A^\mu\rightarrow A^\mu+\partial^\mu f
</math>.</center>

La condition de jauge de Lorenz s'écrit par exemple de façon covariante :

{| align="center" border="0"
|<math>\partial_{\mu}A^{\mu}=\frac1{c^2}\frac{\partial V}{\partial t}+\vec{\nabla}\cdot\overrightarrow A=0</math>.
|}

=== Quadricourant ===
On introduit le ''quadricourant'' électromagnétique par ses composantes contravariantes :

{| align="center" border="0"
|<math>j^{\mu}=\begin{pmatrix} j^0j^i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\rho c ,\vec{\jmath}\end{pmatrix}</math>
|}

où <math>\rho</math> est le scalaire densité électrique de charge, et <math>\vec{\jmath}</math> le vecteur densité de courant. Ses composantes covariantes s'écrivent :

{| align="center" border="0"
|<math>j_{\mu}=\begin{pmatrix}j_0j_i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\rho c,\vec{\jmath}\end{pmatrix}</math>.
|}

=== Tenseur de Maxwell ===
Le [[tenseur électromagnétique]] est le tenseur antisymétrique de rang deux défini à partir du quadripotentiel par :

{| align="center" border="0"
|<math>
F_{\alpha\beta}=\partial_{\alpha}A_{\beta}-\partial_{\beta}A_{\alpha}=-F_{\beta\alpha}
</math>.
|}

Ses composantes covariantes s'écrivent explicitement :

{| align="center" border="0"
|<math>
   F_{\alpha\beta}
 =   \begin{pmatrix}
        0 & \displaystyle -\frac{E_x}c & \displaystyle -\frac{E_y}c & \displaystyle -\frac{E_z}c \\
        \displaystyle \frac{E_x}c & 0& B_z & -B_y \\
        \displaystyle \frac{E_y}c & -B_z & 0 & B_x \\
        \displaystyle \frac{E_z}c & B_y & -B_x & 0 \\
     \end{pmatrix}
</math>.
|}

On obtient ses composantes contravariantes en écrivant :

{| align="center" border="0"
|<math>
  F^{\alpha\beta} 
 =\eta^{\alpha\mu}\eta^{\beta\nu}F_{\mu\nu}
</math>.
|}

La métrique étant diagonale dans un référentiel inertiel, on obtient alors les formules suivantes, ''sans sommation sur les indices répétés'' :
* <math>F^{00}=\eta^{00}\eta^{00}F_{00}=+F_{00}=0</math>
* <math>F^{0i}=\eta^{00}\eta^{ii}F_{0i}=-F_{0i}</math>
* <math>F^{ij}=\eta^{ii}\eta^{jj}F_{ij}=+F_{ij}</math>

soit explicitement :

{| align="center" border="0"
|<math>
  F^{\alpha\beta} 
 =\eta^{\alpha\mu}\eta^{\beta\nu}F_{\mu\nu}
 =  \begin{pmatrix}
      0 & \displaystyle\frac{E_x}c & \displaystyle\frac{E_y}c & \displaystyle\frac{E_z}c \\
      \displaystyle-\frac{E_x}c & 0 & B_z & -B_y \\
      \displaystyle-\frac{E_y}c & -B_z & 0 & B_x \\
      \displaystyle-\frac{E_z}c & B_y & -B_x & 0 \\
      \end{pmatrix}
</math>.
|}

=== Équations de Maxwell sous forme covariante ===
Les équations de Maxwell se mettent sous forme relativiste covariante.

* Les deux équations de Maxwell sans termes de sources s'écrivent :<center>
{| align="center"  border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
|-----
| bgcolor="#fff8ff" |<math>\partial_{\alpha}F_{\beta\gamma}
 +\partial_{\beta}F_{\gamma\alpha}+\partial_{\gamma}F_{\alpha\beta}=0</math>.
|}

* Les deux équations de Maxwell avec termes de sources s'écrivent :<center>
{| align="center"  border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
|-----
| bgcolor="#fff8ff" |<math>\partial_{\alpha}F^{\alpha\beta}=-\mu_0j^{\beta}</math>.
|}

Puisque le tenseur de Maxwell est antisymétrique, cette dernière relation entraîne en particulier que ''le quadricourant est conservé'' :

{| align="center" border="0"
|<math>\partial_{\beta}\left(\partial_{\alpha}F^{\alpha\beta}\right)=0=-\mu_0\partial_{\beta}j^{\beta}\quad\Longrightarrow\quad\partial_{\beta}j^{\beta}=0</math>.
|}

=== Équation de propagation pour le quadripotentiel en jauge de Lorenz ===
En écrivant explicitement le tenseur de Maxwell en termes du quadripotentiel dans l'équation covariante avec terme de sources, on obtient pour le membre de gauche :

{| align="center" border="0"
|<math>\partial_{\alpha}F^{\alpha\beta}=\partial_{\alpha}\left(\partial^{\alpha}A^{\beta}-\partial^{\beta}A^{\alpha}\right)=\Box A^{\beta}-\partial^{\beta}\left(\partial_{\alpha}A^{\alpha}\right)</math>.
|}

Dans la [[jauge de Lorenz]] <math>\partial_{\alpha}A^{\alpha}=0</math>, le second terme disparaît, et l'équation de Maxwell avec terme de sources se réduit à une équation de propagation pour le quadripotentiel :

<center>
{| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
|-----
| bgcolor="#fff8ff" |<math>\Box A^{\mu}(x)=-\mu_0j^{\mu}(x)</math>.
|}
</center>

La solution de cette équation s'écrit de façon simple si l'on connaît une [[fonction de Green]] de l'équation de propagation, c'est-à-dire une fonction ''G(x)'' solution<ref>Il existe potentiellement ''plusieurs'' fonctions de Green pour cette équation, différentes l'une de l'autre par les conditions aux limites choisies. En électrodynamique classique, on utilise le plus souvent la fonction de Green ''retardée''.</ref> de l'équation aux dérivées partielles :

{| align="center" border="0"
|<math>\Box G(x)=\delta(x)</math>
|}

où <math>\delta(x)</math> est la [[distribution (analyse mathématique)|distribution]] de Dirac. On obtient alors le quadripotentiel sous la forme d'un [[produit de convolution]] :

<center>
{| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
|-----
| bgcolor="#fff8ff" |<math>A^{\mu}(x)=-\mu_0\left(G\star j^{\mu}\right)(x)=-\mu_0\int G(x-y)j^{\mu}(y)\mathrm dy</math>.
|}
</center>

=== Exemple : les potentiels retardés ===
En électrodynamique classique, on utilise le plus souvent la [[fonction de Green]] ''retardée'' qui satisfait à l'hypothèse de [[causalité (physique)|causalité]] :

{| align="center" border="0"
|<math>G(x)=G(\vec{x},t)=0\quad\mbox{ lorsque }t<0</math>.
|}

== Dans les milieux matériels ==
{{article détaillé|Électrodynamique des milieux continus}}

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
==== Cours ====
===== Ouvrages d'introduction =====
Accessible au niveau du premier cycle universitaire.
* {{Cours de physique de Feynman}}, InterEditions (1979). Le grand théoricien de l'[[électrodynamique quantique]], [[prix Nobel de physique]] 1965, nous donne ici un superbe cours d'introduction à l'électromagnétisme classique. Publié en deux volumes :
** ''Électromagnétisme I'' {{ISBN|2-7296-0028-0}}. Rééd. Dunod {{ISBN|2-10-004861-9}}
** ''Électromagnétisme II'' {{ISBN|2-7296-0029-9}}. Rééd. Dunod {{ISBN|2-10-004316-1}}

===== Ouvrages de référence =====
* {{Ouvrage|langue=fr|auteur1=John David Jackson|traducteur=Christian Jeanmougin|titre=Électrodynamique classique : cours et exercices d'électromagnétisme|titre original=Classical electrodynamics 3rd edition|lieu=Paris|éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]]|collection=Sciences sup|année=2001|pages totales=851|isbn=978-2-10-004411-5}}.
*: Traduction française de la {{3e|édition}} d'un classique américain.
* {{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Lev|nom1=Landau|auteur2=E. Lifchitz|traducteur=Sergueï Medvédev|titre=Physique théorique|sous-titre=en 10 tomes|titre original=Teorii︠a︡ poli︠a︡.|lieu=Moscou|éditeur=Éditions Mir|collection=Physique théorique|numéro dans collection=2|année=1989|numéro d'édition=4|isbn=978-5-03-000641-3|isbn2=978-5-030-00197-5}}.
* Wolfgang K. H. Panofsky et [[Melba Phillips]], ''Classical electricity and magnetism'', Addison-Wesley ({{2e}} édition-1962). Réédité par : Dover Publications, Inc. (2005), {{ISBN|0-486-43924-0}}.
*: L'ouvrage de référence en électrodynamique classique avant la parution de l'ouvrage de Jackson
* [[Ruth Durrer]] ; [http://fiteoweb.unige.ch/~durrer/courses.html ''Électrodynamique II''] (PostScript)
*: Cours approfondi donné par l'auteure (département de physique théorique de l’université de Genève, Suisse) aux étudiants de deuxième année de premier cycle (123 pages).
* Jean-Michel Raimond ; {{pdf}}[http://www.phys.ens.fr/cours/notes-de-cours/jmr/electromagnetisme.htm ''Électromagnétisme & relativité restreinte'']
*: Cours approfondi (mécanique analytique, relativité et électromagnétisme) donné par l'auteur (laboratoire Kastler-Brossel, ENS Ulm, Paris) aux étudiants de première année du magistère interuniversitaire de physique.

==== Aspects historiques ====
* James Clerk Maxwell ; ''Traité d'Électricité et de Magnétisme'', Gauthier-Villars, tome I (1885) et tome II (1887) ; réédité par Jacques Gabay (1989), {{ISBN|2-87647-045-4}}.
* Hendrik Antoon Lorentz ; ''The Theory of Electrons and its Applications to the Phenomena of Light and Radiant Heat - A Course of Lectures delivered in Columbia University, in March and April 1906'', B.G. Teubner (Leipzig - {{2e|édition}} : 1916) ; réédité par Jacques Gabay (1992), {{ISBN|2-87647-130-2}}.
* Olivier Darrigol, ''Les équations de Maxwell - de MacCullagh à Lorentz'', Belin (2005), {{ISBN|2-7011-3073-5}}.
*: Historien des sciences, Olivier Darrigol est chercheur au CNRS. Les équations de Maxwell, monument scientifique, fournissent une description de l'ensemble des phénomènes électromagnétiques. Bien que James Clerk Maxwell a joué le rôle le plus éminent dans leur introduction, elles sont apparues dans des contextes divers sous la plume de plusieurs auteurs et n'ont acquis leur interprétation moderne que grâce aux efforts d'héritiers de Maxwell. C'est ce que montre l'auteur, à travers l'étude détaillée de textes fondateurs écrits dans les deux derniers tiers du {{s-|XIX}}.
* Edmund T. Whittaker (Sir) ; ''A History of the Theories of Aether and Electricity'', Springer Verlag/A.I.P. Press (1986) {{ISBN|0-88318-523-7}} ; réédité par Dover (1990) {{ISBN|0-48626-126-3}}.
*: Le premier volume (''{{lang|en|Part I : the classical theories, from the age of Descartes to the close of the nineteenth century}}'') de cette histoire érudite a été publié à Dublin en 1910. Le second volume complémentaire (''{{lang|en|Part II : the modern theories 1900-1926}}'') paraît en 1953. Whittaker, mathématicien appliqué, est également coauteur (avec G. N. Watson) du renommé cours d'analyse : ''A Course of Modern Analysis'' (Cambridge University Press) paru initialement en 1902.
* Olivier Darrigol ; ''Electrodynamics from Ampère to Einstein'', Oxford University Press (2000) {{ISBN|0-19-850593-0}}.
*: Volta invente la pile électrique en 1800. Cette découverte capitale va amorcer un champ de recherche : l'électrodynamique, initialement science des courants circulants dans les fils, par opposition aux phénomènes électrostatique des charges fixes connus depuis l'Antiquité. La première loi fondamentale de cette électrodynamique est établie par Ampère en 1820 : il s'agit de la loi de force qui s'exerce entre deux fils parcourus chacun par un courant. Cet ouvrage détaille le chemin parcouru entre cette loi d'Ampère de 1820 et le triomphe de la théorie des champs de Maxwell-Lorentz-Faraday avec son interprétation par Einstein en 1905 dans le cadre de la théorie de la relativité restreinte. Historien des sciences, Olivier Darrigol est chercheur au CNRS.
* John D. Jackson et L. B. Okun, ''Historical roots of gauge invariance'', [https://dx.doi.org/10.1103/RevModPhys.73.663 Review of Modern Physics 73 (2001) 663-680]. Texte complet disponible sur l'ArXiv : [http://fr.arxiv.org/abs/hep-ph/0012061 hep-ph/0012061].

==== Manuels d'enseignement supérieur ====
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom=Mohamed | nom=Akbi | titre=Ondes électromagnétiques | sous-titre=cours, applications, exercices corrigés | lieu=Paris | éditeur=[[Éditions Ellipses|Ellipses]] | collection=Technosup | série=électromagnétisme | numéro dans collection=1 | date=14/9/2021 | numéro d'édition=1 | pages totales={{VIII}}-395 | format livre={{dunité|17,5|26|cm}} | isbn10=2-340-05453-2 | isbn=978-2-340-05453-0 | ean=9782340054530 | oclc=1274196875 | bnf=46879944d | sudoc=257833846 | présentation en ligne=https://www.editions-ellipses.fr/accueil/13677-electromagnetisme-ondes-electromagnetiques-cours-applications-exercices-corriges-9782340054530.html | lire en ligne={{Google livre|id=PCJEEAAAQBAJ}} | consulté le=22 mai 2022 | libellé=Akbi 2021}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom1=Patrice | nom1=Tchofo Dinda | prénom2=Pierre | nom2=Mathey | titre=Électromagnétisme | sous-titre=ondes et propagation guidée | lieu=Malakoff | éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]] | collection=Science Sup | date=9/2017 | numéro d'édition=1 | pages totales={{X}}-373 | format livre={{dunité|17|24|cm}} | isbn10=2-10-076001-7 | isbn=978-2-10-076001-5 | ean=9782100760015 | oclc=1004746921 | bnf=45296726f | sudoc=204284228 | présentation en ligne=https://www.dunod.com/sciences-techniques/electromagnetisme-ondes-et-propagation-guidee | lire en ligne={{Google Livres|id=ckc1DwAAQBAJ}} | consulté le=22 mai 2022 | libellé=Tchofo Dinda et Mathey 2017}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom=Jean-Marcel | nom=Rax | titre=Électromagnétisme | sous-titre=milieux, structures et énergie | lieu=Louvain-la-Neuve et Paris | éditeur=[[Groupe De Boeck|De Boeck Supérieur]] | collection=LMD | série=physique | date=6/2017 | numéro d'édition=1 | pages totales=320 | format livre={{dunité|17|24|cm}} | isbn10=2-8073-0693-4 | isbn=978-2-8073-0693-6 | ean=9782807306936 | oclc=992748702 | bnf=452964854 | sudoc=202756017 | présentation en ligne=https://www.deboecksuperieur.com/ouvrage/9782807306936-electromagnetisme | lire en ligne={{Google Livres|id=3tolDwAAQBAJ}} | libellé=Rax 2017}}.

==== Dictionnaires et encyclopédies ====
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom1=Richard | nom1=Taillet | prénom2=Loïc | nom2=Villain | prénom3=Pascal | nom3=Febvre | titre=Dictionnaire de physique | lieu=Louvain-la-Neuve | éditeur=[[Groupe De Boeck|De Boeck Supérieur]], hors {{coll.}} / physique | date=1/2018 | numéro d'édition=4 | année première édition={{date-|5/2008}} | pages totales={{X}}-956 | format livre={{dunité|17|24|cm}} | isbn10=2-8073-0744-2 | isbn=978-2-8073-0744-5 | ean=9782807307445 | oclc=1022951339 | bnf=456469019 | sudoc=224228161 | présentation en ligne=https://www.deboecksuperieur.com/ouvrage/9782807307445-dictionnaire-de-physique | lire en ligne={{Google Livres|id=pjlFDwAAQBAJ}} | consulté le=17 octobre 2020 | libellé=Taillet, Villain et Febvre 2018}}.

=== Articles connexes ===
* [[Vecteur de Poynting]]
* [[Établissement de l'équation de propagation à partir des équations de Maxwell]]
* [[Électrodynamique des milieux continus]]
* [[Invariance de Lorentz]]
* [[Champ de Maxwell]]

=== Liens externes ===
{{Liens}}

{{Palette|Électromagnétisme|Formulaires de physique|Relativité}}
{{Portail|physique|électricité et électronique}}

[[Catégorie:Électromagnétisme]]
[[Catégorie:Outils théoriques de l'électromagnétisme]]
[[Catégorie:Équation aux dérivées partielles|Maxwell]]
[[Catégorie:Carl Friedrich Gauss]]
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