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== Irrationalité ==
=== Résultat de Lambert ===
[[Fichier:JHLambert.jpg|thumb|[[Jean-Henri Lambert]] démontre que si ''t'' est un rationnel non nul, alors tan(''t'') et exp(''t'') sont irrationnels.]]
Lambert est un précurseur dans son usage des approximations diophantiennes construites à l'aide de fractions continues, ce qui lui permet de montrer l'irrationalité de {{math|π}}<ref name=Lambert/>. Il n'utilise pas directement la fraction continue de ce nombre, on ne dispose alors pas d'une expression comme celle d'Euler pour {{math|e}}. Si la théorie garantit l'existence d'une fraction continue égale à {{math|π}}, la difficulté réside dans le fait qu'il n'existe pas alors de méthode connue pour montrer que ce développement est infini.

Lambert établit tout d'abord une expression de la fonction [[Fonction trigonométrique|tangente]] sous forme de fraction continue. Pour cela, il applique l'[[algorithme d'Euclide]] ({{cf.}} l'article [[Approximant de Padé]]). Le problème est que ce type de démarche génère une expression appelée [[fraction continue généralisée]] : ce sont des développements d'un nombre réel ''x'' de la forme suivante :
{{centrer|<math>x = a_0+\cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\frac{b_3}{a_3+\dots}}} = a_0 + \frac{b_1\mid}{\mid a_1} + \frac{b_2 \mid}{\mid a_2} + \frac{b_3 \mid}{\mid a_3} +\dots </math>}}

La notation utilisée dans le membre de droite est celle de Pringsheim (à l'interversion près des lettres ''a'' et ''b'' par rapport à sa notation, désormais usuelle, des fractions continues généralisées). Les résultats décrits en première partie de cet article ne s'appliquent plus. Et, à la différence des fractions continues étudiées jusqu'ici, dites '''simples''' par opposition, le fait d'autoriser des valeurs quelconques à ''a<sub>n</sub>'' et ''b<sub>n</sub>'' pose le [[problème de convergence]], que Lambert traite dans le cas particulier de la fonction tangente, en explicitant les réduites. Puis il établit un résultat qui généralise la proposition indiquant qu'une fraction continue simple infinie n'est jamais rationnelle<ref>Ce lemme n'a été formulé — sans expliciter la moindre hypothèse de convergence, et en confondant manifestement [[Problème de convergence#Convergence conditionnelle et inconditionnelle|convergence conditionnelle et inconditionnelle]] — qu'en 1806 par [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] dans la {{4e|édition}} de ses ''Éléments de géométrie'' ([https://archive.org/stream/lmentsdegomtrie10legegoog#page/n310/mode/2up Note 4]) et n'est donc démontré qu'implicitement par Lambert : {{Citation étrangère|langue=en|Legendre mentions nothing about convergence of his continued fraction. If one assumes the convergence […], his statement on irrationality is proved in the same way as Lambert […].}}, {{Chapitre|lang=en|prénom=Rolf|nom=Wallisser|titre=On Lambert's proof of the irrationality of {{math|π}}|titre ouvrage=Algebraic Number Theory and Diophantine Analysis (Graz, 1998)|lieu=Berlin|année=2000|page=521-530|url=https://books.google.fr/books?id=hQKII4bYBisC&pg=PA521}}. Pour cette raison peut-être (et sans remarquer la négligence de Legendre, que Lambert ne commet pas), ou plus probablement (selon l'analyse de {{article|lang=de|lien auteur=Alfred Pringsheim|nom=Pringsheim|prénom=A.|titre=Ueber die ersten Beweise der Irrationalität von {{math|''e''}} und {{math|π}}|langue=de|journal=S'ber. math.-phys. München|lien périodique=Académie bavaroise des sciences|vol=28|p.=325-337|année=1898|url=https://archive.org/stream/sitzungsbericht653klasgoog#page/n336/mode/2up}} rapportée par Wallisser), parce qu'il ne s'était penché que sur une vulgarisation de Lambert à propos de la [[quadrature du cercle]], [[Ferdinand Rudio]] prétendit, en 1892 ([https://archive.org/details/archimedeshuygen00rudiuoft ''Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre'', rééd. 1971, {{p.|56-57}}]), que la preuve par Lambert de l'irrationalité de {{math|π}} n'avait été rendue rigoureuse que par Legendre. Ce jugement hâtif, bien qu'aussitôt démenti en détail par [[James Whitbread Lee Glaisher|Glaisher]] puis Pringsheim, a été largement propagé, voire déformé. Voir aussi Michel Serfati, ''Fragments d'histoire des mathématiques. T. 4. Quadrature du cercle, fractions continues et autres contes'', [[APMEP]], Paris, 1992 et [http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=3853756 d'autres références].</ref> :

{{énoncé|Si les suites infinies d'entiers non nuls (''a<sub>n</sub>''){{ind|''n''>0}} et (''b<sub>n</sub>''){{ind|''n''>0}} sont telles qu'à partir d'un certain rang, {{!}}''a<sub>n</sub>''{{!}} > {{!}}''b<sub>n</sub>''{{!}} + 1 et si<ref>En 1888, [[Ivan Śleszyński]] a démontré (au moins) qu'en fait cette convergence a lieu dès que les ''a<sub>n</sub>'' et ''b<sub>n</sub>'' sont des réels tels que |''a<sub>n</sub>''| > |''b<sub>n</sub>''| + 1 : voir {{Article|lang=de|nom=Pringsheim|prénom=A.|titre=Ueber die Convergenz unendlicher Kettenbrüche|revue=S'ber. math.-phys. München|vol=28|p.=295-324|année=1898|url=https://archive.org/stream/sitzungsbericht653klasgoog#page/n324/mode/2up}} (note {{p.|312}}) et [[théorème de Śleszyński-Pringsheim]].</ref> la fraction généralisée qu'elles définissent [[Problème de convergence#Convergence conditionnelle et inconditionnelle|converge ainsi que ses « fractions extraites »]], alors la limite est irrationnelle<ref>{{Lien web|url=http://www.mathouriste.eu/Hermite/irrat_av_Hermite.pdf|auteur=Alain Juhel|titre=Irrationalité et transcendance : E<!--sic : sans accent-->tat des lieux avant Hermite}} (en intervertissant les lettres ''a'' et ''b'', conformément à la notation usuelle).</ref>.}}

{{Démonstration/début|titre=Démonstration<ref>Pour une preuve [[Fraction continue généralisée#Critère d'irrationalité|sous des hypothèses un peu plus faibles]], voir {{Ouvrage|lang=en|auteur=Daniel Duverney|titre=Number Theory: An Elementary Introduction Through Diophantine Problems|éditeur=[[World Scientific]]|date=2010|url={{Google Livres|sr5S9oN1xPAC|page=32}}|page=32-34}}, {{Lang|en|Theorem}} 3.8.</ref>}}
Supposons [[sans perte de généralité]] que l'entier ''a''{{ind|0}} est nul et procédons par étapes, en supposant d'abord que l'inégalité {{nobr|{{!}}''a<sub>n</sub>''{{!}} > {{!}}''b<sub>n</sub>''{{!}} + 1}} est vraie pour tout ''n'' > 0.
* '''Les valeurs absolues des réduites sont majorées par 1 :'''<br>Montrons par récurrence sur ''p'' que la valeur absolue de la ''p''{{e}} réduite est majorée par 1. Si ''p'' est nul, la réduite aussi et la propriété est vérifiée. Supposons le résultat vrai à l'ordre ''p''. La {{nobr|(''p'' + 1)-ième}} réduite est égale à{{Retrait|<math>\frac{b_1}{a_1+z}\quad{\rm avec}\quad z=\frac{b_2\mid}{\mid a_2}+\ldots+\frac{b_{p+1}\mid}{\mid a_{p+1}}.</math>}}Puisque ''z'' est la ''p''{{e}} réduite d'une fraction vérifiant les mêmes hypothèses, sa valeur absolue est, par hypothèse de récurrence, majorée par 1 donc |''a''{{ind|1}} + ''z''| ≥ |''a''{{ind|1}}| – 1 > |''b''{{ind|1}}|, ce qui montre le résultat.
* '''La valeur absolue de la limite est strictement majorée par 1 :'''<br>La limite est égale à{{Retrait|<math>\frac{b_1}{a_1+y}\quad{\rm avec}\quad y=\frac{b_2 \mid}{\mid a_2} + \frac{b_3 \mid}{\mid a_3} +\dots</math>}}D'après le point précédent et par passage à la limite, |''y''| ≤ 1 donc |''a''{{ind|1}} + ''y''| ≥ |''a''{{ind|1}}| – 1 > |''b''{{ind|1}}|, ce qui montre le résultat.
* '''La limite de la fraction continue généralisée est irrationnelle :'''<br>On raisonne maintenant par l'absurde et l'on suppose que la limite s'écrit ''p''{{ind|1}}/''p''{{ind|0}} avec ''p''{{ind|0}} et ''p''{{ind|1}} entiers. Alors{{Retrait|<math>\forall n\in\N\quad\frac{b_{n+1}\mid}{\mid a_{n+1}} + \frac{b_{n+2}\mid}{\mid a_{n+2}}+\ldots=\frac{p_{n+1}}{p_n}\quad{\rm avec}\quad p_{n+1}=b_np_{n-1}-a_np_n
</math>}}et d'après le point précédent, |''p''{{ind|''n''+1}}/''p{{ind|n}}''| < 1. Les |''p{{ind|n}}''| constituent donc une suite infinie d'entiers positifs strictement décroissante, ce qui est absurde (cette technique de démonstration porte le nom de [[méthode de descente infinie]]).
*'''L'irrationalité reste vraie si l'inégalité |''a<sub>n</sub>''| > |''b<sub>n</sub>''| + 1 n'a lieu qu'à partir d'un certain rang :'''<br>D'après ce qui précède, le quotient complet {{math|''x{{ind|N}}''}} correspondant à ce rang est irrationnel. Comme les {{math|''b{{ind|k}}''}} sont non nuls, on en déduit de proche en proche l'irrationalité de{{Retrait|<math>x_k=\frac{b_k}{a_k+x_{k+1}},\text{ pour }k=N-1,\ldots,1.
</math>}}
{{Démonstration/fin}}

=== Nombres à tangente rationnelle, dont {{math|π}} ===
{{Ancre|Nombre de Pythagore}}
On connaissait bien avant Lambert des fractions généralisées qui approximent le nombre {{math|π}}. [[William Brouncker]] avait montré par exemple que<ref>Voir [[William Brouncker#Formule de Brouncker|Formule de Brouncker]].</ref> :
{{centrer|<math>\frac {\pi}4=\arctan(1)=\frac{1 \mid}{\mid 1} + \frac{1^2 \mid}{\mid 2} + \frac{3^2 \mid}{\mid 2} + \frac{5^2 \mid}{\mid 2} + \cdots</math>}}

Mais cette fraction est loin de vérifier les hypothèses du [[#Résultat de Lambert|lemme d'irrationalité]]. Lambert prend alors le problème de manière inverse et [[Approximant de Padé#Fonction tangente|il développe en fraction continue la fonction tangente]] :
{{centrer|<math>\tan t=\frac{t\mid}{\mid 1}-\frac{t^2\mid}{\mid 3}-\frac{t^2\mid}{\mid 5}-\frac{t^2\mid}{\mid 7}-\cdots</math>}}
ou encore (par [[Fraction continue généralisée#Conversions|conversion]]) :
{{centrer|<math>\tan\left(\frac mn\right)=\frac{m \mid}{\mid n} - \frac{m^2 \mid}{\mid 3n} - \frac{m^2 \mid}{\mid 5n} - \frac{m^2 \mid}{\mid 7n} + \cdots.</math>}}

Cette fraction satisfait les hypothèses de sa proposition si ''m'' et ''n'' sont des entiers non nuls, ce qui lui permet d'énoncer le résultat suivant :

{{énoncé|La tangente de tout rationnel non nul est un irrationnel<ref>Pierre Eymard et Jean-Pierre Laffon, ''Autour du nombre {{math|π}}'', Hermann, 1999 {{ISBN|978-2-70561443-0}}, {{p.|135}}.</ref>.}}

Par [[contraposée]], tous les réels non nuls dont la tangente est rationnelle sont des irrationnels. Le nombre {{math|π}} en fait partie puisque sa tangente est nulle<ref>De même {{Harv|Perron|1913|p=[https://archive.org/stream/dielehrevondenk00perrgoog#page/n270/mode/2up 254]}}, pour tous entiers strictement positifs ''m'' et ''n'', {{sqrt|''m''}} tan({{sqrt|''m''}} / ''n'') est irrationnel, ce qui montre que {{math|π}}{{2}} lui-même est irrationnel.</ref>.

{{Démonstration/début}}
Plus exactement — puisqu'il n'est pas exclu ''a priori'' que les réels où le cosinus s'annule soient rationnels — Lambert démontre qu'en tout rationnel non nul ''où la tangente est définie'', elle est irrationnelle. En effet, en un tel point ''m''/''n'', il a montré la convergence de sa fraction continue :
{{centrer|<math>\tan\left(\frac mn\right)=\frac{m \mid}{\mid n} - \frac{m^2 \mid}{\mid 3n} - \frac{m^2 \mid}{\mid 5n} - \frac{m^2 \mid}{\mid 7n} + \cdots.</math>}}

Il existe manifestement un indice ''i'' tel que pour tout ''j'' ≥ ''i'', (2''j'' – 1)''n'' > ''m''{{2}} + 1. D'après le résultat de Lambert, tan(''m''/''n'') est donc irrationnel.
{{Démonstration/fin}}

=== Exponentielle d'un rationnel ===
{{Ancre|Base du logarithme népérien}}
[[#Exemple : le nombre e|Euler avait déduit l'irrationalité de {{math|e}}]] et de {{math|e}}{{2}} de leurs développements en fractions continues simples. Lambert va bien plus loin grâce aux fractions continues généralisées : il définit la fonction [[tangente hyperbolique]] et, en transposant les calculs précédents, obtient de même :

{{centrer|<math>\tanh t=\frac{t\mid}{\mid 1}+\frac{t^2\mid}{\mid 3}+\frac{t^2\mid}{\mid 5}+\frac{t^2\mid}{\mid 7}+\cdots.</math>}}

Le même raisonnement que pour la fonction tangente s'applique et la tangente hyperbolique de tout rationnel non nul est irrationnelle ou, ce qui est équivalent :

{{énoncé|L'[[Fonction exponentielle|exponentielle]] de tout rationnel non nul est un irrationnel.}}
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