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Une théorie de l'hélice propulsive a été développée dès l'apparition des machines à vapeur grâce aux travaux de Bernoulli développés par Euler puis par Morosi et Bidone ^[1] qui démontrent que la force du jet est le résultat d'une percussion dont la force est comme 1,84 est à 1. Cependant la théorie a longtemps piétiné, les formules obtenues par approximations successives sont complexes. Dès la seconde moitié du XIX^e siècle avec les théories mathématiques de la physique d'Isaac Newton il eût été possible d'établir des formules de calculs d'hélice ; cependant le concept n'était pas encore au rendez-vous. Ce n'est qu'après le développement des théories de la mécanique des fluides et de la thermodynamique, que l'on a mieux compris le phénomène et que l'on a su formuler des expressions mathématiques simples.

En 1905, Albert Einstein publie trois articles dont l'un reconnaît l'existence des atomes, des molécules, caractérisés par un mouvement brownien. On comprend ensuite que l'intuition statistique de Ludwig Boltzmann est applicable et que l'aspiration du fluide (l'eau de mer) est le résultat statistique de chocs entre molécules. Ce n'est pas l'hélice qui aspire l'eau ; c'est l'agitation des molécules d'eau qui pousse statistiquement vers une zone de collision moins forte en accumulant l'énergie acquise au cours des collisions. L'hélice a de ce fait deux fonctions : évacuer des molécules d'eau qui arrivent et donner une impulsion aux molécules d'eau pour transmettre la force propulsive au bateau. Pour ce faire, il faut au moins disposer de l'énergie acquise lors de l'aspiration à laquelle il faut ajouter l'énergie d'évacuation en plus de l'énergie transmise au support (le bateau, si celui-ci se déplace. Rappel : l'énergie est le produit d'une force par un déplacement).

Nos sens sont trompeurs. L'hélice marine n'est ni une vis, ni un tire-bouchon. La forme hélicoïdale n'a qu'un intérêt, c'est de répartir l'effort de percussion uniformément, sur toute sa surface.

Les hélices marines peuvent être de simples pales, comme les hélices d'avions, elles peuvent même être recouvertes d'un léger duvet végétal sans que cela affecte trop l'impact nécessaire à la propulsion. En effet, il n'y a pas de glissement d'eau important le long de la pale, susceptible de faire perdre de l'énergie.

Définitions :

• Le diamètre, donné en « pouces » par le fabricant. Il faut l'exprimer en « mètres » pour les calculs.
• Le pas de construction est une caractéristique géométrique de l'hélice. C'est la longueur d'avance théorique pour un tour, sans glissement (recul = 0). Le pas de l'hélice pourrait ainsi être comparé au pas d'une vis à métaux, mais ceci conduirait à des erreurs d'interprétation sur le fonctionnement de l'hélice. Le pas est exprimé en pouces ou en mètres, il peut être à gauche ou à droite.
• Le coefficient de remplissage (0,xx ou xx %) : ce coefficient caractérise la surface relative des pales par rapport à la surface d'un disque de même diamètre, il est important pour estimer la limite de l'effort d'aspiration applicable sur la surface des pales afin d'éviter la cavitation. Ce coefficient n'intervient pas dans nos calculs ci-après.
• Le calage est l'angle que fait la corde d'un profil de pale avec le plan de rotation de l'hélice.
• Le recul : d'un point de vue thermodynamique, le recul correspond à une perte d'énergie dans le passage de l'eau au travers de l'hélice^[2]. On parle d' entropie ou d'augmentation du désordre. La vitesse de propulsion de l'eau est inférieure d'un certain pourcentage à celle attendue. Ce pourcentage est communément appelé le recul. Ainsi, pour résoudre les problèmes de calcul on pourrait dire que le pas effectif de l'hélice est inférieur au pas de construction. On définit la notion de recul par la relation suivante :

  recul = 1 - (pas effectif / pas de construction) dans des conditions de vitesse d'avancement du navire et de rotation de l'hélice.

  Le coefficient de recul s'exprime souvent en pourcentage, par exemple 28 % au lieu de 0,28 dans telles conditions d'avancement et de rotation.

  Le recul est important à faible vitesse et forte poussée, il augmente avec la force de poussée sur l'hélice : avec le débit et la vitesse de rotation.

• La cavitation. La dépression à l'extrados du profil de pale dépend de la vitesse de rotation de l'hélice, de son pas et du profil. La dépression est limitée par la pression atmosphérique ; elle ne peut pas descendre en dessous d'environ 1 bar en surface (la vitesse ne doit pas dépasser 14 m/s) ; au-delà de cette valeur l'eau se transforme en vapeur (phénomène de cavitation). À un mètre de profondeur cette vitesse limite serait d'environ 14,7 mètres/seconde.

  Cette notion est très importante pour les navires rapides mais intervient rarement pour un voilier monocoque où l'on s'arrange pour que la vitesse d'aspiration de l'eau soit largement inférieure à 14 mètres/seconde, les héliciers choisissent toujours le plus grand diamètre compatible avec la cage d'hélice.

  Depuis quelques années sont apparues les hélices de surface qui permettent de diminuer les risques de cavitation ; le passage des pales en surface nettoie l'hélice des bulles de vapeur d'eau.

La propulsion est due à la différence de quantité de mouvement entre la masse d'eau entrante et sortante de l'hélice.

La masse d'eau aspirée par unité de temps est égale à la masse d'eau propulsée

la masse d'eau aspirée par l'hélice pendant une seconde correspond à un cylindre de surface ${\displaystyle S_{1}}$ et de longueur ${\displaystyle V_{1}}$.

Définitions

${\displaystyle m=\rho S_{1}V_{1}=\rho S_{2}V_{2}\;}$ où ${\displaystyle \rho \;}$ est la masse volumique de l'eau en kg par mètre cube et ${\displaystyle m}$ est la masse de l'eau qui traverse l'hélice pendant une seconde.

${\displaystyle S_{1},S_{2}\;}$ en m² et ${\displaystyle V_{1},V_{2}\;}$ en mètres par seconde.

Posons ${\displaystyle m=\rho SV_{p}\;}$ pour faire abstraction de la surface de l'hélice.

• ${\displaystyle V_{p}}$ est la vitesse de l'eau qui traverse l'hélice.
• ${\displaystyle V_{1}}$ est la vitesse d'écoulement du fluide devant l'hélice :

C'est la vitesse d'un cours d'eau dans un référentiel fixe ou la vitesse de déplacement d'un bateau pour un référentiel mobile.

• ${\displaystyle V_{2}}$ est la vitesse de la masse d'eau propulsée derrière l'hélice.

Cette vitesse dépend du référentiel fixe ou mobile.

La force propulsive dépend de la différence de vitesse entre la masse d'eau aspirée et la masse d'eau propulsée :

(action = réaction ; la force qui permet l'accélération de la masse d'eau trouve son appui sur l'hélice !)

Selon le Principe fondamental de la dynamique: ${\displaystyle {\vec {f}}=m{\vec {a}}=m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}}$ où ${\displaystyle {\vec {f}}}$ est le vecteur de la force induite par l'accélération ${\displaystyle {\vec {a}}}$ de la masse m.

Équation aux dimensions : ${\displaystyle {\rm {\left[F\right]\;=\;M\cdot {\frac {L}{T^{2}}}\;=\;M\cdot L\cdot T^{-2}}}}$ que l'on peut aussi noter ${\displaystyle {\rm {\left[F\right]={\frac {M\cdot \left[V\right]}{T}}.}}}$

${\displaystyle F=m\ {\frac {(V_{2}-V_{1})}{\Delta t}}}$ Abstraction faite des vecteurs, puisqu'ils sont colinéaires.

Dans notre système métrique, F est l'expression d'une grandeur physique qui s'exprime en newtons (un kilogramme-force = 9,81 N), m est la masse d'eau traversant l'hélice en kg (kilogramme masse) par seconde, V₂ et V₁ s'expriment en mètres par seconde.

La puissance est le produit de la force de propulsion ${\displaystyle F}$ définie dans le chapitre Application du principe fondamental de la dynamique par la vitesse ${\displaystyle V_{p}}$ de la masse d'eau définie dans le chapitre Conservation de la matière

${\displaystyle P=F\cdot V_{p}=m\ (V_{2}-V_{1})\cdot V_{p}}$

• La puissance ${\displaystyle P}$ s'exprime en watts.

On en déduit ${\displaystyle Vp}$ et ${\displaystyle V_{2}}$ :

${\displaystyle V_{p}={\frac {(V_{2}+V_{1})}{2}}}$ et ${\displaystyle V_{2}=2V_{p}-V_{1}}$

Variation (dérivée) de la puissance fournie par l'hélice en fonction de V₁, pour une propulsion V₂ constante

${\displaystyle {\frac {dP}{dV_{1}}}=\left({\frac {\rho S}{4}}\right)(V_{2}-3V_{1})(V_{2}+V_{1})=\rho SV_{p}(V_{p}-2V_{1})}$ La variation de la puissance est nulle pour ${\displaystyle V_{2}=3V_{1}}$, ou ${\displaystyle V_{p}=2V_{1}}$ la puissance de l'hélice atteint alors sa valeur optimale.

On choisit cette valeur de ${\displaystyle V_{p}=2V_{1}}$ pour avoir un maximum de puissance d'hélice au moment où on en a le plus besoin, lorsque le moteur est poussé au voisinage de sa plus forte puissance.

${\displaystyle V_{1}={\frac {V_{2}}{3}}={\frac {V_{p}}{2}}}$

${\displaystyle V_{s}={\frac {V_{p}}{2}}}$ définit la vitesse de surface V_s optimale du navire pour la puissance optimale de l'hélice et la plus forte puissance du moteur.

${\displaystyle V_{p}=V_{\text{helice}}\cdot (1-{\text{recul}})=n*{\text{pas de construction}}*(1-{\text{recul}})}$

• n est le nombre de tours de l'hélice en une seconde
• Attention : Le recul est une grandeur variable en fonction des contraintes subies par l'hélice.
• Pour avoir une idée de ces valeurs on peut se reporter au chapitre Application aux navires à déplacement, résultats à des vitesses caractéristiques :

Estimation des efforts à 6,42 nœuds Imaginez-vous au détroit de Messine avec un courant contraire de 5 nœuds, avec un vent debout qui refuse la progression à 400 kg_f. Votre progression sera péniblement de 1,5 nœuds sans oublier la « mer de vent » : les vagues qui tapent, l'eau qui éclabousse et balaie le pont...

6,42 nœuds est ici la vitesse de surface optimale estimée du navire, pour la puissance maximale du moteur avec le meilleur rendement de l'hélice.

Moteur : 2 600 tours par minute

Hélice : 1 145,3 tours par minute

${\displaystyle V_{\text{helice}}}$ : 16,02 nœuds

Recul : 0,21

${\displaystyle V_{p}}$ : 12,58 nœuds Notez que la valeur de V_p = 2V₁ = 12,84 Nds pourrait être atteinte pour Moteur : entre 2 600 et 2 700.

Effort : 7984 Nw ${\displaystyle \approx 800kg_{f}}$

Puissance : 48,64 kW

Rendement η de l'hélice : 0,51

Rappelez-vous que ce ne sont que des estimations, assez proches de la réalité.

En nous affranchissant de V₂

${\displaystyle P_{\text{moteur}}=2\rho SV_{p}(V_{p}-V_{1})\cdot V_{p}}$

${\displaystyle P_{\text{utile}}=2\rho SV_{p}(V_{p}-V_{1})\cdot V_{1}}$

avec V₂ = 2V_p - V₁ :

${\displaystyle F_{\text{propulsive}}=2\rho SV_{p}(V_{p}-V_{1})}$

${\displaystyle F_{\text{aspiration}}=\rho SV_{p}(V_{p}-V_{1})}$ est la force d'aspiration due à la dépression devant l'hélice, elle est égale à la moitié de la force de propulsion, l'autre moitié est fournie par la force de pression.

${\displaystyle \rho V_{p}(V_{p}-V_{1})}$ est la valeur de la dépression, en pascals, devant l'hélice, c'est également la valeur de la pression du côté refoulement de l'hélice. La valeur de la dépression doit être inférieure à la pression locale qui vaut ${\displaystyle \rho \cdot g\cdot h\ +\ 101500}$ où g = 9,81, h est la hauteur d'eau en mètres et 101 500 est la pression atmosphérique moyenne : 1 015 hPa.

La pression ${\displaystyle 2\rho V_{p}(V_{p}-V_{1})}$ ne doit pas dépasser une valeur précisée par le constructeur de l'hélice.

La pression ne doit pas dépasser 1,2 kg_f/cm² (117 680 P) pour l'hélice 3 pales RADICE E13 soit, pour une surface de pales 100 cm² (1 dm²), une poussée maximale de 120 kg_f (1 200 kg_f pour une surface des pales de 1 000 cm²)

Exemple Pour une hélice de 19"

D = 0,483 m, S = 0,1833 m², Sh/S = 0,515, Surface des pales : (0,1833 * 0,515 = 0,0946 m²) 946 cm²,

Effort maximal pour cette hélice : (946 * 1,2 =) 1132 kg_f

Rendement = Puissance utile / Puissance fournie par le moteur

${\displaystyle \eta ={\frac {V_{1}}{Vp}}}$

La consommation de carburant sera d'autant plus faible que la vitesse de propulsion s'approchera de la vitesse de déplacement V₁ du navire c'est-à-dire V_p s'approchant de V₁ (V_p > V₁) !

Le calcul du pas de l'hélice dépend de la vitesse d'avancement du navire estimée à la puissance optimale ; elle doit être calculée de telle sorte que la vitesse de propulsion Vp se situe autour de 2 fois cette vitesse d'avancement, le rendement (puissance utile / puissance fournie) est alors de 50 % à la puissance maximale.

Lorsque cette condition est remplie, il faut vérifier que le moteur produit encore une force satisfaisante en statique et en dynamique !

Tableau

Groupe d'expressions	Grandeur physique	Expression mathématique	Commentaire
Force propulsive puissances et rendement
	${\displaystyle F_{\text{propulsive}}}$	${\displaystyle 2\rho SV_{p}(V_{p}-V_{1})}$	Unité de force : le newton
	${\displaystyle P_{\text{utile}}}$	${\displaystyle 2\rho SV_{p}(V_{p}-V_{1})V_{1}}$	Unité de puissance : le watt
	${\displaystyle P_{\text{moteur}}}$	${\displaystyle 2\rho SV_{p}^{2}(V_{p}-V_{1})}$
	Rendement ${\displaystyle \eta }$	${\displaystyle {\frac {V_{1}}{V_{p}}}}$	${\displaystyle {\frac {P_{\text{utile}}}{P_{\text{moteur}}}}}$
Système métrique utilisé
	${\displaystyle \rho }$	${\displaystyle 1000\,\mathrm {\frac {kg}{m^{3}}} }$	Une tonne par mètre cube d'eau douce
	${\displaystyle S}$	${\displaystyle \pi {\frac {D^{2}}{4}}}$	Unité de surface : le mètre carré (m²)
	${\displaystyle V_{1}}$	Vitesse de l'eau entrant dans l'hélice	Vitesse de surface du navire ou du débit fluvial (m/s)
	${\displaystyle V_{p}}$	${\displaystyle V_{h}(1-Recul)}$	Vitesse de propulsion dans l'hélice, en mètres par seconde, où Vh = Pas (en mètres) * tours/seconde de l'hélice, avec recul variable selon les conditions de navigation.

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	Ressources multimédia sur Commons.
	Article encyclopédique sur Wikipédia.

• Application aux navires à déplacement^[3]
• Notez le rendement d'hélice à la puissance maximale (autour de 50%) alors que le rendement se situe entre 0,62 et 0,66 en navigation par temps calme pour une vitesse de croisière à 6,42 nœuds.^[4]

Feuilles volantes grands formats

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Les feuilles volantes : « Feuilles de calculs^[5] », « Estimation des efforts à 7 nœuds^[6] » et « Puissance sur l'hélice à 7 nœuds^[7] » doivent être imprimées en grands formats à l'italienne (paysage). « Hélice/Feuilles volantes grands formats. »

Feuille de calculs

Estimation des efforts à 7 nœuds

Puissance sur l'hélice à 7 nœuds

1. ↑ « Les expériences De Morosi et Bidone ont prouvé par les faits matériels les doctrines d'Euler et de Bernoulli. »
   Bidone a fait des études très poussées sur les jets. Ces expériences sont décrites en français dans Memorie della Reale accademia delle scienze di Torino
   . Pour plus de détails : Hélice marine (Wikipedia)
2. ↑ Discussion Hélice marine
3. ↑ L'application de cette théorie avec un moteur de 75 Ch turbo sur une goélette de 15 tonnes a donné lieu à publication : Inverseurs et hélices
4. ↑ https://fr.wikibooks.org/wiki/Hélices_de_navires_à_déplacement/Résultats_à_des_vitesses_caractéristiques
5. ↑ Feuille volante : https://fr.wikibooks.org/wiki/Fichier:Th-helice-application1.gif
6. ↑ Feuille volante : https://fr.wikibooks.org/wiki/Fichier:Th-helice-application2.gif
7. ↑ Feuille volante : https://fr.wikibooks.org/wiki/Fichier:Th-helice-application3.gif

Memorie della Reale accademia delle scienze di Torino : Morosi et Bidone Pages 1 à 191 notamment §4 (Page 134)