Surface de Peano

La surface a été nommée surface de Peano (en allemand : Peanosche Fläche) par Georg Scheffers dans son livre de 1920 intitulé Lehrbuch der darstellenden Geometrie^[1],[3]. Elle a également été appelée le col ou selle de Peano^[4],[5].

La fonction représentée graphiquement par cette surface est positive entre les deux paraboles ${\displaystyle y=x^{2}}$  et ${\displaystyle y=2x^{2}}$  et négative ailleurs. À l'origine, au point tridimensionnel ${\displaystyle (0,0,0)}$  de la surface qui correspond au point d'intersection des deux paraboles, la surface a un point selle^[6]. La surface elle-même a une courbure de Gauss positive dans certaines parties et une courbure négative dans d'autres, séparées par une autre parabole^[4],[5], ce qui implique que son application de Gauss a une cuspide de Whitney.

Chaque fois que la surface est intersectée par un plan vertical passant par l'origine, la courbe résultante dans le plan d'intersection a un maximum local en ce point^[1]. En termes plus paradoxaux, si on déplace un point de l'origine ${\displaystyle (0,0)}$  sur une ligne droite quelconque, la fonction ${\displaystyle (2x^{2}-y)(y-x^{2})}$  diminue au début du déplacement ; néanmoins, le point ${\displaystyle (0,0)}$  n'est pas un maximum local de la fonction, car se déplacer le long d'une parabole comme ${\displaystyle y={\sqrt {2}}\,x^{2}}$  entraîne une croissance de cette fonction.

En 1886, Joseph-Alfred Serret publie un manuel^[7] contenant une proposition de critère pour les points extrémaux d'une surface donnée par ${\displaystyle z=f(x_{0}+h,y_{0}+k)}$  :

« Le maximum ou le minimum a lieu lorsque, pour les valeurs de ${\displaystyle h}$  et ${\displaystyle k}$  qui annulent ${\displaystyle d^{2}f}$  et ${\displaystyle d^{3}f}$  (les troisième et quatrième termes), ${\displaystyle d^{4}f}$  (le cinquième terme) a constamment le signe -, ou le signe +. »

Ici, on suppose que les termes linéaires s'annulent et que la série de Taylor de ${\displaystyle f}$  a la forme

${\displaystyle z=f(x_{0},y_{0})+Q(h,k)+C(h,k)+F(h,k)+\cdots }$ ,

où ${\displaystyle Q(h,k)}$  est une forme quadratique comme ${\displaystyle ah^{2}+bhk+ck^{2}}$ , ${\displaystyle C(h,k)}$  est une forme cubique avec des termes cubiques en ${\displaystyle h}$  et ${\displaystyle k}$ , et ${\displaystyle F(h,k)}$  est une forme quartique avec un polynôme quartique homogène en ${\displaystyle h}$  et ${\displaystyle k}$  . Serret suggère que si ${\displaystyle F(h,k)}$  a un signe constant pour tous les points où ${\displaystyle Q(h,k)=C(h,k)=0}$ , alors la surface a un maximum ou un minimum local en ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$  . Dans ses notes de 1884 au manuel italien d'Angelo Genocchi sur le calcul infinitésimal : Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale, Peano avait déjà fourni différentes conditions correctes pour qu'une fonction ait un minimum local ou un maximum local^[1],[8]. Dans la traduction allemande de 1899 du même manuel, il a fourni cette surface comme contre-exemple à la condition de Serret. Au point ${\displaystyle (0,0,0)}$ , les conditions de Serret sont satisfaites, mais ce point est un point col et pas un maximum local^[2]. Une condition proche de celle de Serret a également été critiquée par Ludwig Scheeffer (de), qui a utilisé la surface de Peano comme contre-exemple dans une publication de 1890, attribuée à Peano^[6],[9].

Des maquettes de la surface de Peano figurent dans la collection de modèles et d'instruments mathématiques à l'Université de Göttingen^[10] et dans la collection de modèles mathématiques de l'Université technique de Dresde (deux modèles différents)^[11]. La maquette de Göttingen a été le premier modèle à être ajouté à la collection après la Première Guerre mondiale, et l'un des derniers à être ajoutés à la collection dans son ensemble^[6].

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Peano surface » (voir la liste des auteurs).

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