Fonction de Bessel

Pour les valeurs entières de α = n, les fonctions de Bessel de première espèce J_n sont définies par la série entière (de rayon de convergence infini) suivante^[2] :

${\displaystyle J_{n}(x)=\sum _{p=0}^{\infty }{(-1)^{p} \over p!(n+p)!}{\left({x \over 2}\right)}^{2p+n}}$ .

Plus généralement, pour α non entier, on a le développement analogue

${\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}}{p!\,\Gamma (p+\alpha +1)}}{\left({x \over 2}\right)}^{2p+\alpha }}$ 

où Γ(z) est la fonction gamma, généralisant la fonction factorielle à des valeurs non entières.

Les fonctions de Bessel de deuxième espèce, également appelées fonctions de Neumann ou encore fonctions de Weber-Schläfli, sont définies par :

${\displaystyle Y_{n}(x)=\lim _{\lambda \to n}{J_{\lambda }(x)\cos(\lambda \pi )-J_{-\lambda }(x) \over \sin(\lambda \pi )}}$ .

Pour les valeurs entières de α=n, les fonctions de Bessel peuvent être représentées par des intégrales :

${\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(n\tau -x\sin \tau )\,\mathrm {d} \tau }$ 

ou encore par^[3]:

${\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\rm {e}}^{-\mathrm {i} \,(n\tau -x\sin \tau )}\,\mathrm {d} \tau ={\frac {{\rm {i}}^{-n}}{\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }{\rm {e}}^{{\rm {i}}x\cos(\tau )}\cos(n\tau )\mathrm {d} \tau }$ .

C'est la définition qu'en donna Bessel, et qui lui servit à obtenir de nombreuses propriétés de ces fonctions (à commencer par l'équation différentielle, qui en découle par différentiation sous le signe d'intégration, suivie d'une intégration par parties). Cette définition peut s'étendre au cas α non entier (pour Re(x) > 0), en ajoutant un autre terme^{[4],[5],[6],[7]}:

${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\alpha \tau -x\sin \tau )\,{\rm {d}}\tau -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\rm {e}}^{-x\sinh(t)-\alpha t}\,{\rm {d}}t.}$ 

Les fonctions de Bessel peuvent également s'exprimer sous forme de série hypergéométrique comme

${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {(x/2)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\;_{0}F_{1}(;\alpha +1;-{\tfrac {x^{2}}{4}})}$ .

Cette expression est liée au développement des fonctions de Bessel à l'aide de la fonction de Bessel-Clifford (en).

Notant L_k le k-ième polynôme de Laguerre, les fonctions de Bessel peuvent être exprimées ainsi^[8] :

${\displaystyle {\frac {J_{\alpha }(x)}{\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}}={\frac {{\rm {e}}^{-t}}{\alpha !}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k+\alpha \choose k}}L_{k}^{(\alpha )}\left({\frac {x^{2}}{4t}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}}$ ,

où l'expression de droite ne dépend pas de t et demande, pour être généralisée au cas α non entier, l'utilisation de dérivées fractionnaires.

• Relations de récurrence^[9] :

  ${\displaystyle J_{\alpha -1}(z)+J_{\alpha +1}(z)={2\alpha \over z}J_{\alpha }(z)}$ ,

  ${\displaystyle J_{\alpha -1}(z)-J_{\alpha +1}(z)=2J'_{\alpha }(z)}$ ,

  ${\displaystyle J'_{\alpha }(z)=J_{\alpha -1}(z)-{\alpha \over z}J_{\alpha }(z)=-J_{\alpha +1}(z)+{\alpha \over z}J_{\alpha }(z)}$ .

• On en déduit :

  ${\displaystyle J_{1}(x)=-J_{0}'(x)}$ ,

  ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x^{n}J_{n}(x))=x^{n}J_{n-1}(x)}$ .

• Orthogonalité :

  ${\displaystyle \lambda _{i}}$  et ${\displaystyle \lambda _{j}}$  étant deux zéros distincts de ${\displaystyle J_{n}}$ , on a : ${\displaystyle \int _{0}^{1}xJ_{n}(\lambda _{i}x)J_{n}(\lambda _{j}x)\,\mathrm {d} x=0}$ .

J_n est souvent défini par l'intermédiaire d'une série de Laurent, correspondant à la fonction génératrice :

${\displaystyle {\rm {e}}^{(x/2)(t-1/t)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(x)t^{n}}$  ;

cette approche est celle de Peter Andreas Hansen en 1843. Elle peut se généraliser à des ordres n non entiers, par l'intermédiaire, par exemple, d'intégrales de contour.

Des développements analogues; mais utilisant des séries trigonométriques, sont dus à Jacobi et Anger ; on a^[10]

${\displaystyle {\rm {e}}^{{\rm {i}}z\cos \phi }=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\rm {i}}^{n}J_{n}(z){\rm {e}}^{{\rm {i}}n\phi },}$ 

et

${\displaystyle {\rm {e}}^{{\rm {i}}z\sin \phi }=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(z){\rm {e}}^{{\rm {i}}n\phi }.}$ 

On a la formule d'addition, plus générale, par Neumann et Graf^[11]:

${\displaystyle \forall (x,y),\left|y{\rm {e}}^{\pm {\rm {i}}\phi }\right|\leqslant |x|,\ \sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(x)J_{n+\nu }(y){\rm {e}}^{{\rm {i}}n\phi }=J_{\nu }\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}-2xy\cos \psi }}\right)\left({\frac {x-y{\rm {e}}^{-{\rm {i}}\phi }}{x-y{\rm {e}}^{+{\rm {i}}\phi }}}\right)^{2}}$ 

Les fonctions de Bessel ont les formes asymptotiques suivantes (pour α > 0). Près de 0 (et plus précisément pour ${\displaystyle 0<x\ll {\sqrt {\alpha +1}}}$ ), on a^[7] :

${\displaystyle J_{\alpha }(x)\approx {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}$ 

${\displaystyle Y_{\alpha }(x)\approx {\begin{cases}\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\left[\ln \left({\frac {x}{2}}\right)+\gamma \right]&{\text{si }}\alpha =0\\\displaystyle -{\frac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\frac {2}{x}}\right)^{\alpha }&{\text{si }}\alpha >0\end{cases}}}$ 

où γ est la constante d'Euler-Mascheroni (0,577…) et Γ est la fonction gamma. Pour x tendant vers l'infini (et plus précisément pour ${\displaystyle x\gg |\alpha ^{2}-1/4|}$ ), ces développements deviennent^[7] :

${\displaystyle J_{\alpha }(x)\approx {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\cos \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}$ 

${\displaystyle Y_{\alpha }(x)\approx {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\sin \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}$ .

La forme asymptotique ci-dessus pour J_α est aussi un équivalent pour x (complexe non nul) fixé, quand α tend vers +∞. Autrement dit^[12] :

${\displaystyle J_{\alpha }(x){\underset {\overset {\alpha \to +\infty }{}}{\sim }}{\frac {1}{\sqrt {2\pi \alpha }}}\left({\frac {\mathrm {e} \,x}{2\alpha }}\right)^{\alpha }}$ .

Comme J_α est une solution non nulle d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2, ses zéros (à l'exception éventuelle de 0) sont simples^[13], donc (cf. Relations de récurrence ci-dessus) différents de ceux de J_α+1.

Historiquement, l'étude des zéros a été menée à travers une suite de fonctions appelées aujourd'hui les fonctions de Rayleigh. On les définit comme suit : pour α > 0, on note (j_{α, m}) les zéros complexes de z^–α J_α(z), alors la fonction Rayleigh d'ordre p est définie par^[14]:

${\displaystyle \sigma _{p}(\alpha )=\sum _{m=1}^{+\infty }(j_{\alpha ,m})^{-p}.}$ 

Bessel avait démontré que pour n entier positif, J_n(x) admet une infinité de zéros^[15]. Cependant, les graphes de J_n semblent montrer que ces zéros sont distincts pour différentes valeurs de n, en dehors de J_n(0) = 0. Ce phénomène est appelé la conjecture de Bourget^[16] ; elle fut démontrée par Carl Siegel en 1929^[6].

Siegel a également démontré en 1929 que lorsque α est rationnel et z est un nombre algébrique non nul, J_α(z), les nombres J_α'(z) et J_α'(z)/J_α(z) sont transcendants^[17], de même que la valeur en z de la fonction de Bessel modifiée K_α^[18]. On sait aussi que toutes les racines des dérivées d'ordre supérieur ${\displaystyle J_{\alpha }^{(n)}}$  pour n ≤ 18 sont transcendantes, sauf les cas particuliers ${\displaystyle J_{1}^{(3)}(\pm {\sqrt {3}})=0}$  et ${\displaystyle J_{0}^{(4)}(\pm {\sqrt {3}})=0}$ ^[19].

• Fonction de Bessel modifiée
• Fonction de Bessel sphérique
• Fonction de Hankel
• Fonction de Riccati-Bessel
• Synthèse FM

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• Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes  :

  • Britannica
  • Den Store Danske Encyklopædi
  • Gran Enciclopèdia Catalana
• (en) Eric W. Weisstein, « Bessel Function », sur MathWorld
• (en) « Bessel Functions », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010 (ISBN 978-0521192255)

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