Arc tangente

La fonction arctan est impaire, c'est-à-dire que (pour tout réel x) ${\displaystyle \arctan(-x)=-\arctan x}$ .

Comme dérivée d'une fonction réciproque, arctan est dérivable et vérifie^[3] : ${\displaystyle \arctan '(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$ .

Le développement en série de Taylor de la fonction arc tangente^[4] est :

${\displaystyle \forall x\in [-1,1]\quad \arctan x=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{7}}x^{7}+\cdots }$ .

Cette série entière converge vers arctan quand |x| ≤ 1 et x ≠ ±i. La fonction arc tangente est cependant définie sur tout ℝ (et même — cf. § « Fonction réciproque » — sur un domaine du plan complexe contenant à la fois ℝ et le disque unité fermé privé des deux points ±i).

Voir aussi Fonction hypergéométrique#Cas particuliers.

La fonction arctan peut être utilisée pour calculer des approximations de π ; la formule la plus simple, appelée formule de Leibniz, est le cas x = 1 du développement en série ci-dessus :

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\ldots }$ .

On peut déduire arctan(1/x) de arctan x et inversement, par les équations fonctionnelles suivantes :

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad \arctan {\frac {1}{x}}+\arctan x={\frac {\pi }{2}}}$  ;

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} _{-}^{*}\quad \arctan {\frac {1}{x}}+\arctan x=-{\frac {\pi }{2}}}$ .

Par définition, la fonction arc tangente est la fonction réciproque de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle ${\displaystyle \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}$  : ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad y=\arctan x\iff \tan y=x{\text{ et }}y\in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}$ .

Ainsi, pour tout réel x, tan(arctan x) = x. Mais l'équation arctan(tan y) = y n'est vérifiée que pour y compris entre ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}$  et ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ .

Dans le plan complexe, la fonction tangente est bijective de ]–π/2, π/2[+iℝ dans ℂ privé des deux demi-droites ]–∞, –1]i et [1, +∞[i de l'axe imaginaire pur, d'après son lien avec la fonction tangente hyperbolique et les propriétés de cette dernière. La définition ci-dessus de arctan s'étend donc en : ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {C} \setminus {\big (}{\rm {i}}\left(]-\infty ,-1]\cup [1,+\infty [\right){\big )}\quad y=\arctan x\iff \tan y=x{\text{ et }}y\in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[+{\rm {i}}~\mathbb {R} }$ .

Par construction, la fonction arctangente est reliée à la fonction argument tangente hyperbolique et s'exprime donc, comme elle, par un logarithme complexe :

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {C} \setminus \left({\rm {i}}\left(]-\infty ,-1]\cup [1,+\infty [\right)\right)\quad \arctan x={\frac {1}{\rm {i}}}\operatorname {artanh} ({\rm {i}}x)={\frac {1}{2{\rm {i}}}}\ln {\frac {1+{\rm {i}}x}{1-{\rm {i}}x}}={\frac {\ln(1+{\rm {i}}x)-\ln(1-{\rm {i}}x)}{2{\rm {i}}}}}$ .

La primitive de la fonction arc tangente qui s'annule en 0 s'obtient grâce à une intégration par parties :

${\displaystyle \int _{0}^{x}\arctan t\;\mathrm {d} t=x\,\arctan x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)}$ .

La fonction arc tangente joue un rôle important dans l'intégration des expressions de la forme

${\displaystyle {\frac {1}{ax^{2}+bx+c}}}$ 

Si le discriminant D = b² – 4ac est positif ou nul, l'intégration est possible en revenant à une fraction partielle. Si le discriminant est strictement négatif, on peut faire la substitution par

${\displaystyle u={\frac {2ax+b}{\sqrt {|D|}}}}$ 

qui donne pour l'expression à intégrer

${\displaystyle {\frac {4a}{|D|}}~{\frac {1}{1+u^{2}}}.}$ 

L'intégrale est alors

${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {|D|}}}\arctan {\frac {2ax+b}{\sqrt {|D|}}}}$ .

Si xy ≠ 1, alors^[3] :

${\displaystyle \arctan x+\arctan y=\arctan {\frac {x+y}{1-xy}}+k\pi }$ 

où

${\displaystyle k={\begin{cases}0&{\text{si }}xy<1,\\1&{\text{si }}xy>1{\text{ avec }}x{\text{ (et }}y{\text{) }}>0,\\-1&{\text{si }}xy>1{\text{ avec }}x{\text{ (et }}y{\text{) }}<0.\end{cases}}}$ 

La forme en S de cette fonction fait qu'elle fait partie des fonctions dites sigmoïdes. Par rapport à la fonction logistique de Verhulst et la fonction erf, elle est celle qui est la plus lisse, c'est-à-dire celle qui est la plus longue à rejoindre ses asymptotes.

• Atan2
• Fonction circulaire réciproque
• L'arc tangente de tout rationnel non nul est irrationnel.
• Définition de la fonction arc tangente sur les complexes

(en) Eric W. Weisstein, « Inverse Tangent », sur MathWorld

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