Équation de Rarita-Schwinger

En physique théorique, l’équation de Rarita-Schwinger décrit le comportement des fermions de spin –3/2. Cette équation est similaire à celle de Dirac qui s'applique aux particules élémentaires de spins demi-entiers, comme les électrons. Elle a été formulée pour la première fois par William Rarita et Julian Schwinger en 1941. Elle peut être écrite de la manière suivante^[1] :

${\displaystyle \left(\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\gamma _{5}\gamma _{\nu }\partial _{\rho }+m\sigma ^{\mu \sigma }\right)\psi _{\sigma }=0}$

où ${\displaystyle \epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }}$ est le symbole de Levi-Civita, ${\displaystyle \gamma _{5}}$ et ${\displaystyle \gamma _{\nu }}$ sont les matrices de Dirac, ${\displaystyle m}$ est la masse, ${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }\equiv i/2\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right]}$ et ${\displaystyle \psi _{\sigma }}$ est un spineur à valeurs vectorielles avec des composantes supplémentaires par rapport au spineur à quatre composants de l'équation de Dirac. Il correspond à la théorie de la représentation du groupe de Lorentz (en) ${\displaystyle \left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)\otimes \left(\left({\tfrac {1}{2}},0\right)\oplus \left(0,{\tfrac {1}{2}}\right)\right)}$, ou plutôt à sa partie ${\displaystyle \left(1,{\tfrac {1}{2}}\right)\oplus \left({\tfrac {1}{2}},1\right)}$^[2]. Cette équation de champ (en) peut être calculée comme l'équation d'Euler-Lagrange correspondant au lagrangien de Rarita-Schwinger^[1] :

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\tfrac {i}{2}}\;{\bar {\psi }}_{\mu }\left(\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\gamma _{5}\gamma _{\nu }\partial _{\rho }+m\sigma ^{\mu \sigma }\right)\psi _{\sigma }}$

où ${\displaystyle {\bar {\psi }}_{\mu }}$ est l’adjoint de Dirac.

Cette équation est utile pour les fonctions d'onde d'objets composites comme les baryons Delta (Δ) ou pour l'hypothétique gravitino. Aucune particule élémentaire de spin 3/2 n'a été observée expérimentalement.