Osittelulaki

Osittelulaki on myös distributiivisuutena tunnettu algebrallinen ominaisuus laskuoperaatiolle.^[1] Mielivaltaiset laskuoperaatiot ${\displaystyle \oplus }$ ja ${\displaystyle \otimes }$ noudattavat osittelulakia tietyssä algebrassa, jos

${\displaystyle a\otimes (b\oplus c)=(a\otimes b)\oplus (a\otimes c)\quad \quad (1)}$

${\displaystyle (b\oplus c)\otimes a=(b\otimes a)\oplus (c\otimes a)\quad \quad (2)}$

pitävät paikkansa kaikille ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ ja ${\displaystyle c}$.

Huomaa että molemmat yhtälöt pitävät paikkansa vain, jos kertolaskuoperaatio ${\textstyle \otimes }$ on vaihdannainen eli kommutatiivinen. Yhtälö (1) on osittelulaki vasemmalta puolelta ja yhtälö (2) oikealta. Kun molemmat toteutuvat sanotaan että tulo-operaatio on distributiivinen yhteenlaskuoperaation suhteen.

Olkoot ${\displaystyle \oplus }$ ja ${\displaystyle \otimes }$ tavanomaiset yhteen- ja kertolaskuoperaatiot, sekä ${\displaystyle x,y,z\in \mathbb {R} }$. Reaalilukujen tavanomainen tulo-operaatio on vaihdannainen yhteenlaskuoperaation suhteen, joten molemmin puoleinen distributiivisuus pätee. Tällöin osittelulaki, eli "summan tulo on tulojen summa", saa tutun muodon.

$${\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z\quad =\quad y\cdot x+z\cdot x=(y+z)\cdot x}$$