Kahden potenssit

Pascalin kolmiossa kullakin rivillä olevien lukujen summa on kahden potenssi.

Jokaisella äärellisellä joukolla, jossa on n alkiota, on 2ⁿ osajoukkoa, alkuperäinen joukko ja tyhjä joukko mukaan luettuina.^[1] Näiden osajoukkojen muodostamaa joukkoperhettä sanotaan alkuperäisen joukon potenssijoukoksi.^[2]

n-ulotteisessa hyperkuutiossa on 2ⁿ särmää.

Kahden potenssit ovat ainoat tunnetut lähes täydelliset luvut, toisin sanoen niiden lukujen summa, joilla ne ovat jaolliset, on yhtä pienempi kuin kyseinen luku. Ei tiedetä, onko niiden lisäksi olemassa muitakin lähes täydellisiä lukuja.^[3]

Kahden potenssien käänteisluvut muodostavat geometrisen sarjan, jonka summa on 1. Toisin sanoen:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\ldots =1.}$ 

Alkulukua, joka on jokin kahden potenssi miinus yksi, kutsutaan Mersennen alkuluvuksi. Esimerkiksi luku 31 on Mersennen alkuluku, koska se on yksi vähemmän kuin luku 32, joka on puolestaan kahden potenssi (2⁵).

Reaalinen polynomi ${\displaystyle a^{n}+b^{n}}$  on jaoton, jos ja vain jos n on kahden potenssi. (Jos n on pariton, niin ${\displaystyle a^{n}+b^{n}}$  on jaollinen binomilla ${\displaystyle a+n}$ , ja jos n on parillinen mutta ei kahden potenssi, voidaan n esittää tulona ${\displaystyle n=mp}$ , missä m on pariton, ja näin ollen ${\displaystyle a^{n}+b^{n}=(a^{p})^{m}+(b^{p})^{m}}$ , joka on jaollinen binomilla ${\displaystyle a^{p}+b^{p}}$ .)^[4]

Sitä vastoin kompleksialueessa polynomi ${\displaystyle a^{2n}+b^{2n}}$  (missä ${\displaystyle n\geq 1}$ ) voidaan aina jakaa seuraaviin tekijöihin: ${\displaystyle a^{2n}+b^{2n}=(a^{n}+b^{n}i)\cdot (a^{n}-b^{n}i)}$ , silloinkin kun n on kahden potenssi.

Koska luku kaksi on binäärijärjestelmän kantaluku, kahden potensseilla on tärkeä asema tietotekniikassa. Erityisesti kaksi korotettuna potenssiin n kertoo, kuinka monella tavalla n kappaletta bittejä voidaan valita. Tämä on yläraja sille, kuinka suuren luvun binäärijärjestelmässä n kappaleella bittejä voi esittää. Tämän seurauksena lukuja, jotka ovat kahden potensseja, ilmaantuu usein eri tietokonejärjestelmissä. Esimerkiksi kahdeksalla bitillä voidaan esittää ${\displaystyle 2^{8}=256}$  lukua eli esimerkiksi kokonaisluvut 0–255. Kahdeksan bitin pituiselle jonolle on annettu erityisnimi tavu, jota kutsutaan myös nimellä oktetti.

Tietokoneiden muistia mitataan usein kahden potensseilla. Usein käytetään tavun kerrannaisia, jotka ovat kahden potensseja, kuten kibitavu (${\displaystyle 1\ 024=2^{10}}$  tavua) ja mebitavu (${\displaystyle 1\ 048\ 576=2^{20}}$  tavua). Koska 1 024 on noin tuhat, on 1 024 tavua perinteisesti tietotekniikassa kutsuttu kilotavuksi ja vastaavasti 1 048 576 tavua megatavuksi. Tämä voi kuitenkin aiheuttaa sekaannuksia, ja siksi näille kahden potensseille eli ”binäärisille” kerrannaisille on sittemmin ehdotettu nimityksiä kibi ja mebi.^[5] Nykyään myös suorittimien rekisterien koot ovat tyypillisesti kahden potensseja kuten 64 bittiä.

Kahden potensseja ilmenee myös monissa muissa yhteyksissä. Kiintolevyissä sektorien ja lohkojen koot ovat yleensä kahden potensseja.

Myös ne tietotekniikassa esiintyvät luvut, jotka eivät ole kahden potensseja, kuten esimerkiksi näyttölaitteiden resoluutiot, ovat usein muutamien harvojen kahden potenssien summia. Esimerkiksi takavuosina yleinen resoluutio 640 pikseliä on 512 + 128. Näillä luvuilla on siis hyvin säännöllisen näköinen esitys binäärijärjestelmässä.

Koska modernien muistilaitteiden yhden muistialkion sisältämien bittien määrä on myös kahden potenssi, ovat suurimmat niillä esitettävät numerot kahden potensseja, joiden eksponentti on myös kahden potenssi. Esimerkiksi:

• 2¹⁰ = 1024: Binääriapproksimaatio kilo-etuliitteestä: 1 024 tavua on yksi kilotavu.
• 2¹⁶ = 65 536: Kahden potenssi, jonka eksponentti on myös kahden potenssi: 2²⁴. Lisäksi 2²²², ja tetraatiossa ⁴2.
• 2²⁰ = 1 048 576: Binääriapproksimaatio mega-etuliitteestä: 1 048 576 tavua on yksi megatavu.
• 2²⁴ = 16 777 216: HTML-värikoodien määrä.
• 2³⁰ = 1 073 741 824: Binääriapproksimaatio giga-etuliitteestä: 1 073 741 824 tavua on yksi gigatavu.
• 2³² = 4 294 967 296: Kahden potenssi, jonka eksponentti on myös kahden potenssi: 2²⁵. IPv4-pohjaisten IP-osoitteiden määrä.
• 2⁴⁰ = 1 099 511 627 776: Binääriapproksimaatio tera-etuliitteestä: 1 099 511 627 776 tavua on yksi teratavu.
• 2⁴⁶ = 70 368 744 177 664: Pienin kahden potenssi, jonka ensimmäinen numero on 7.
• 2⁵⁰ = 1 125 899 906 842 624: Binääriapproksimaatio peta-etuliitteestä: 1 125 899 906 842 624 tavua on yksi petatavu.
• 2⁵³ = 9 007 199 254 740 992: Pienin kahden potenssi, jonka ensimmäinen numero on 9.
• 2⁶⁰ = 1 152 921 504 606 846 976: Binääriapproksimaatio eksa-etuliitteestä: 1 152 921 504 606 846 976 tavua on yksi eksatavu.
• 2⁶⁴ = 18 446 744 073 709 551 616: Kahden potenssi, jonka eksponentti on myös kahden potenssi: 2²⁶.
• 2⁶⁸ = 295 147 905 179 352 825 856: Pienin kahden potenssi, joka sisältää kaikki kymmenjärjestelmän numerot. ^[6]
• 2⁷⁰ = 1 180 591 620 717 411 303 424: Binääriapproksimaatio tsetta-etuliitteestä: 1 180 591 620 717 411 303 424 tavua on yksi tsettatavu.
• 2⁸⁰ = 1 208 925 819 614 629 174 706 176: Binääriapproksimaatio jotta-etuliitteestä: 1 208 925 819 614 629 174 706 176 tavua on yksi jottatavu.
• 2¹⁰⁸ = 324 518 553 658 426 726 783 156 020 576 256: Suurin kahden potenssi, jossa ei esiinny numeroa 9. ^[7]
• 2¹²⁶ = 85 070 591 730 234 615 865 843 651 857 942 052 864: Suurin kahden potenssi, jossa ei esiinny kahta samaa numeroa peräkkäin. ^[8]
• 2¹⁶⁸ = 374 144 419 156 711 147 060 143 317 175 368 453 031 918 731 001 856: Suurin kahden potenssi, joka ei sisällä kaikkia kymmnenjärjestelmän numeroita (numero 2 puuttuu).^[9]

Jos numero on esitetty binäärijärjestelmässä, on olemassa hyvin nopea tapa tutkia onko se kahden potenssi tai nolla:^[10]

x on kahden potenssi tai nolla ${\displaystyle \Leftrightarrow }$  (x & (x − 1)) on yhtä kuin nolla

jossa & on looginen bittikohtainen JA-operaattori.

x on kahden potenssi (tai nolla):

y ei ole kahden potenssi (eikä nolla):

Nuottikirjoituksessa sävelen kesto osoitetaan erimuotoisilla nuoteilla. Sellaisenaan kaikki nuotit vastaavat kestoa, joka on kokonuottia vastaava kesto jaettuna jollakin kahden potenssilla; tällaisia ovat siis puolinuotti, neljäsosanuotti, kahdeksasosanuotti, kuudestoistaosanuotti jne. Näistä poikkeavat aika-arvot osoitetaan lisämerkinnöillä, esimerkiksi lisäämällä nuotin jälkeen piste, joka pidentää sen keston 1 1/2 -kertaiseksi, tai käyttämällä trioli-, kvintoli- tai muuta vastaavaa merkintää.^[11] Tahtiosoituksissa alempana lukuna, nimittäjänä, joka osoittaa tahtiosuuden pituuden, käytetään lähes yksinomaan kahden potensseja; osoittaja, joka osoittaa tahtiosuuksien lukumäärän tahdissa, sen sijaan voi olla muukin luku, usein esimerkiksi 3 tai 6.

Kahden sävelen taajuuksien suhde on kahden potenssi, jos ja vain jos niiden välinen intervalli on täysiä oktaaveja. Tässä tapauksessa sävelillä on sama nimi mutta ne kuuluvat eri oktaavialoihin.^[12]