Lankide:JulenMA/Proba orria

Kalkulua (hasiera batean kalkulu infinitesimal deiturikoa) limiteak, jarraitutasuna, deribatuak, integralak eta serie infinituak oinarri dituen matematikaren adarra da. Kalkuluaren elementu asko Antzinako Grezian agertu ziren lehenik, baita Txinan eta Ekialde Ertainean ere. Geroago, Erdi Aroko Europan eta Indian ekarpenak egin ziren. XVII. mendearen amaieran Isaac Newtonek eta Gottfried Wilhelm Leibnizek kalkulu infinitesimala biziki garatu zuten, bakoitza bere aldetik. Banakako garapen honek Leibniz-Newtonen kalkulu-eztabaida eragin zuen.

Kalkuluaren garapena eta zientzietan izandako erabilera hedatu egin ziren hurrengo mendeetan zehar. Gaur egun, kalkulua natur zientzia eta ingeniaritza askotan erabiltzen da, bai eta gizarte-zientzietan ere^[1].

Kalkulu hitza latineko calculus hitzetik dator (calx hitzaren txikigarria dena eta "harri txikia" esan nahi duena). Harri horiek distantziak neurtzeko, botoak zenbatzeko eta abakoen aritmetika lantzeko erabiltzen zirenez, hitza kalkulu-metodo batekin erlazionatu zen.

Kalkulatzea, berez, aldez aurretik sortutako ekintza baten emaitza aurreikusteko beharrezkoak diren eragiketak egitean datza, edo aurrez ezagutzen diren datu batzuetatik erator daitezkeen ondorioak ezagutzean.

Moskuko matematika-papiro izenaz ezagutzen diren papiro egiptoarretan bolumenen eta azaleren kalkuluak aurki daitezke (K.a. 1820). Hala ere, agertzen diren formulak nahiko sinpleak dira, jatorriari buruzko informaziorik gabeak.^[2]

Badirudi babiloniarrek arau trapezoidala aurkitu zutela Jupiterren behaketa astronomikoak egitean.^[3][4]

Greziar matematikaren garaian, Eudoxusek (K.a. 408–355 k.a.) Exhauzio-metodoa erabili zuen, azalera eta bolumenak kalkulatzeko. Arkimedesek (K.a. 287–212 k.a.), bere aldetik, are gehiago garatu zuen ideia hori kalkulu integraleko metodoen antzekoak diren heuristikoak asmatuz.^[5] Matematikari grekoei ere infinitesimalen erabilera nabaria esleitzen zaie. Demokrito izan zen objektuen zatiketa zeharkako sekzioen kopuru infinitu batean aztertu zuen lehen pertsona. Hala ere, ezin izan zuenez kono baten malda leuna duten sekzio diskretuak arrazionalizatu, ideia bertan behera utzi zuen. Gutxi gorabehera aldi berean, Zenon Eleakoak infinitesimalei ospea kendu zien, sortzen dituzten Zenongo paradoxen artikulazioa zela eta.

Arkimedesek are gehiago garatu zuen metodo hori, eta kontzeptu modernoen antzeko metodo heuristikoak asmatu zituen Parabolaren Koadraturan, Mekanika Teoremen Metodoan eta Esfera eta Zilindroan. Hala ere, ez pentsa infinitesimalen oinarria gehiegi ezarri zenik garai honetan. Izan ere, matematikariek onartzen zituzten proposizio bakarrak geometrikoki froga zezaketenak ziren.

Gauzak horrela, ez zen XVII. mendera arte izan Cavalieriek Cavalieriren Printzipioa (Zatiezinen metodoa) garatu zuela. Newtonek kalkulu integralaren esparru orokor batean erantsi zuen metodo hau. Arkimedes, bestetik, zirkulu batena ez zen kurba baten tangentea aurkitu zuen lehena izan zen. Horretarako kalkulu diferentzialaren antzeko metodoa erabili zuen.^[6] Espirala aztertzen zuen bitartean, puntu baten mugimendua bi osagaitan banatu zuen: batetik, mugimendu erradialeko osagai bat eta, bestetik, mugimendu zirkularreko osagai bat. Ondoren, osagaien bi mugimenduak gehitzen jarraituz, kurbaren tangentea aurkitu zuen. Kalkuluaren aitzindariak, hala nola Isaac Barrow eta Johann Bernoulli, Arkimedesen ikasle arduratsuak ziren; ikus, adibidez, C. S. Roero (1983).

Exhauzio-metodoa Liu Huik ere asmatu zuen bere kabuz, Txinan, IV. mendean, zirkulu baten azalera aurkitzeko asmoz.^[7] V. mendean, Zu Chongzhik Cavaliren Printzipioa ezarri zuen esfera baten bolumena aurkitzeko.^[8]

Ekialde Ertainean, Hasan Ibn al-Haytham, Alhazen gisa latinizatua (c. 965 – c. 1040), laugarren berreketen baturarako formula bat sortu zuen. Orain integrazio deritzona gauzatzeko erabili zituen emaitzak, non integral karratuen eta laugarren berreketen batuketarako formulek paraboloide baten bolumena kalkulatzeko aukera eman zioten.^[9] Roshdi Rashed zientziaren historialariaren arabera, XII. mendeko Sharaf al-Din al-Tusi matematikariak polinomio kubikoen deribatuak erabili zituen bere Ekuazioen Tratatuan. Haatik, beste ikerlari batzuek Rasheden iritzia zalantzan jarri dute, arabiarraren emaitzak funtzioaren deribatua ezagutu gabe lor zitezkeela argudiatuz.^[10]

Geroago, kalkuluari buruzko ideia batzuk Keralako (India) astronomia eta matematika eskolan agertu ziren.^[11] Eskola horretako matematikariek eta bere sortzaileak, Sangamagramako Madhava, Taylorren seriea eta serie infinituen hurbilketak bezalako osagaiak aurkeztu zituzten.^[12] Hala ere, ez zituzten deribatuaren eta integralaren inguruko ideia asko konbinatu, ezta bien arteko lotura erakutsi ere.^[11]

XIV. mendean, Oxfordeko kalkulatzaileek eta hainbat kolaboratzaile frantsesek (hala nola Nicole d'Oresme) jarraitutasunaren azterketa berpiztu zuten. Izan ere, Mertonen batez besteko abiaduraren teorema frogatu zuten: uniformeki azeleratutako gorputz batek, denbora tarte jakin batean, abiadura uniformeko gorputz batek egingo lukeen distantzia bera egiten du, azken honen abiadura gorputz azeleratuaren batez besteko abiadura bada.^[13]

Gaur egun erabiltzen dugun sistema Luca Paciolik aurreratu zuen 1494an. Burgesiaren negozioetan kontabilitatearen beharrari erantzuteko garatu egin zen.

Aljebraren garapenak kalkuluaren garapenenean lagundu zuen: alde batetik, sinbolo-sistema baten sorrerarekin; eta, bestetik, ekuazioen bidezko problemen ebazpenekin. Garapen hauxe Errenazimentuko garaiko matematikariei eskertu behar diegu, hala nola Tartaglia, Stevin, Cardano eta Vietari; eta, horren ondorioz, XVII. mendean zientziaren aurrerapena ahalbidetu zuten aurkikuntza handiak gertatu ziren.

XVII. mendean, kalkuluak garapen handia izan zuen. Honetan, autore garrantzitsuek hartu zuten parte: Descartes, Pascal, Leibniz eta Newton, besteak beste. Aipatzekoak dira azken honek kalkulu infinitesimalean egindako aurrerapenak.

Kalkulu formalaren kontzeptuak, arrazoibide bat garatzeko algoritmo arautuaren zentzuan, garrantzi ikaragarria hartu zuen neurri desberdinen arteko erlazio matematikoak ezartzeko garaian. Hori funtsezkoa izan zen zientzia fisikoaren aurrerapenerako. Hori dela eta, fisikaren eredu berritzat hartu zen, espekulazio tradizional filosofikoaren aurrean, kalkulu matematikoak eskaintzen duen zorroztasun eta segurtasunagatik. Hala, fisika naturaren filosofia izatetik gorputzak aztertzen zituen zientzia izatera pasa zen.

Aldaketa hauek izan eta gero, kalkulu-sistemak fisikari buruzko ereduak sustatzea ahalbidetu zuen. Orduan, metodo zientifikoa sendotu zen eta gailurra jo zuen Grabitazio unibertsalaren teoriarekin eta Newtonen mekanikaren legeekin.

XIX. eta XX. mendeetan, kalkulu sistemetan oinarritutako garapen zientifikoa eta eredu teorikoen sortzea ikaragarria izan zen. Honek, mekanikan, elektromagnetismoan, erradioaktibitatean eta astronomian aurrerapen handiak ekarri zituen. Orduan, geometria ez-euklidearrak astronomiako eta fisikako eredu teorikoetan beren lekua aurkitu zuen eta beraz, munduak denbora absolutuan mugitzen diren partikula infinituen multzo bat izateari utzi zion. Lurra faseen eta dimentsioen espazio bezala ulertu zen, eta teoria hau mekanika kuantikoan, erlatibitatearen teorian, soken teorian eta beste hainbat teoriatan berretsi zen.

Logikak ere eraldaketa handiak jasan zituen, formalizazio sinbolikoak lege logikoak kalkulu matematikoan txertatzea ahalbidetu baitzuen. Garai honetan, arrazoibide formalaren eta kalkulu matematikoaren arteko desberdintasun bakarra erabilgarritasuna zen.

XIX. mendearen bigarren erdian eta XX. mendearen lehen hiruhilekoan, matematika-sistema osoaren formalizazioarekin (Frege) eta logikaren matematizazioarekin (Bolzano, Boole, Whitehead, Russell), posible izan zen kalkuluaren kontzeptua kalkulu logiko gisa orokortzea. Kalkulurako metodo oso ahaltsuak lortu ziren, batez ere elementu infinituen multzoak «objektu» gisa tratatzeko aukeratik abiatuta; horrela, Cantorren zenbaki transfinituak sortu ziren.

Kalkuluaren bidez logikak garapen berriak aurkitu zituen, hala nola logika modalak eta logika balioaniztunak.

Hilberten eta Poincaréren kalkulua kalkulu perfektu gisa axiomatizatzeko saiakerek zenbait paradoxa (Cantor, Russell, etab.) izan zituzten ondorio. Orduan, axiomatizatzeko saiakera berriak egin zituzten eta 1931n Zermio-Fraenkelen eta Gödelen axiomekin frogatu zen ezinezkoa zela kalkulu-sistema perfektua lortzea, hots, ezinezkoa zela trinkoa, irmoa eta osoa zen ondorio logiko handiko kalkulua sortzea.

Newton eta Leibnizen aurretik, "kalkulu" hitzak matematikako edozein gorputzi egiten zion erreferentzia, baina hurrengo urteetan "kalkulu" terminoa ezagun bihurtu zen beren ideietan oinarritzen zen matematikaren eremuetan^[14]. Gauzak horrela, Newtonek eta Leibnizek XVII. mendearen amaieran independenteki garatu zuten kalkulu infinitesimalaren inguruko teoria. Gainera, Leibnizek lan handia egin zuen kontzeptu eta notazio sendo eta erabilgarriak garatzeko. Bestalde, Newtonek fisikari aplikazio garrantzitsuak eman zizkion, batez ere kalkulu integralari dagokiona.

XVII. mendearen erdialdean, Europako matematikak bere ezagutza biltegi nagusia aldatu zuen. Aurreko mendearekin alderatuta, matematika helenistikoa ikerkuntzarako abiapuntu izan zen. Orduan, Newton, Leibniz eta haien garaikideek gero eta interes handiagoa jarri zuten pentsalari modernoen lanetan.

Newton fisikan eta geometrian egindako ikerketen eraginez iritsi zen kalkulura. Kalkulua mugimendu eta magnitudeen sorreraren deskribapen zientifikotzat hartzen zuen. Ordea, Leibniz tangentearen problemari begira jarri zen, eta uste zuen kalkulua aldaketaren azalpen metafisikoa zela. Azpimarratu behar da zientzialari bien ideien muina funtzio baten integralaren eta diferentzialaren arteko alderantzizko propietateak formalizatzea izan zela. Intuizio hori hauen aitzindariek aurreratu zuten, baina haiek izan ziren kalkulua termino erretoriko eta deskribatzaile moduan ulertu zuten lehenak.

1. ↑ Hoffmann, Laurence D.. (2004). Calculus for business, economics, and the social and life sciences.. (8th ed.. argitaraldia) McGraw Hill Higher Education ISBN 0-07-242432-X. PMC 52055958. (Noiz kontsultatua: 2022-10-13).
2. ↑ Kline, Morris. (1990). Mathematical thought from ancient to modern times. v. 3. Oxford University Press ISBN 978-0-19-977048-9. PMC 726764443. (Noiz kontsultatua: 2022-11-30).
3. ↑ (Ingelesez) Ossendrijver, Mathieu. (2016-01-29). «Ancient Babylonian astronomers calculated Jupiter’s position from the area under a time-velocity graph» Science 351 (6272): 482–484.  doi:10.1126/science.aad8085. ISSN 0036-8075. (Noiz kontsultatua: 2022-11-30).
4. ↑ (Ingelesez) Chang, Kenneth. (2016-01-28). «Signs of Modern Astronomy Seen in Ancient Babylon» The New York Times ISSN 0362-4331. (Noiz kontsultatua: 2022-11-30).
5. ↑ Archimedes. (2004-<2017>). The works of Archimedes : translated into English, together with Eutocius' commentaries, with commentary, and critical edition of the diagrams. ISBN 978-0-521-66160-7. PMC 59310822. (Noiz kontsultatua: 2022-11-30).
6. ↑ Boyer, Carl B.. (1991). A history of mathematics. (2nd ed. [rev.]. argitaraldia) Wiley ISBN 0-471-54397-7. PMC 23823042. (Noiz kontsultatua: 2022-11-30).
7. ↑ Chinese studies in the history and philosophy of science and technology. Kluwer Academic Publishers 1996 ISBN 0-7923-3463-9. PMC 32272485. (Noiz kontsultatua: 2022-11-30).
8. ↑ Zill, Dennis G.. (2011). Calculus : early transcendentals. (4th ed. argitaraldia) Jones and Bartlett Publishers ISBN 978-0-7637-5995-7. PMC 257555232. (Noiz kontsultatua: 2022-11-30).
9. ↑ (Ingelesez) Katz, Victor J.. (June 1995). «Ideas of Calculus in Islam and India» Mathematics Magazine 68 (3): 163–174.  doi:10.1080/0025570X.1995.11996307. ISSN 0025-570X..
10. ↑ Berggren, J. L.; Al-Tūsī, Sharaf Al-Dīn; Rashed, Roshdi; Al-Tusi, Sharaf Al-Din. (April 1990). «Innovation and Tradition in Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī's Muʿādalāt» Journal of the American Oriental Society 110 (2): 304–309.  doi:10.2307/604533..
11. ↑ ^{a b} (Ingelesez) Katz, Victor J.. (June 1995). «Ideas of Calculus in Islam and India» Mathematics Magazine 68 (3): 163–174.  doi:10.1080/0025570X.1995.11996307. ISSN 0025-570X..
12. ↑ (Ingelesez) «Indian mathematics» Maths History (Noiz kontsultatua: 2022-10-26).
13. ↑ Boyer, Carl B.. (1959). The history of the calculus and its conceptual development : (The concepts of the calculus). Dover ISBN 0-486-60509-4. PMC 643872. (Noiz kontsultatua: 2022-10-17).
14. ↑ Reyes, Mitchell G.. (2004-05-01). «The rhetoric in mathematics: Newton, Leibniz, the calculus, and the rhetorical force of the infinitesimal» Quarterly Journal of Speech 90 (2): 163–188.  doi:10.1080/0033563042000227427. ISSN 0033-5630. (Noiz kontsultatua: 2022-11-24).