Zirkulu

Geometrian, zirkulua zirkunferentzia batek mugatzen duen azalera da. Leku geometriko gisa, puntu batetik (zentroa) distantzia berera (erradioa) edo hurbilago dauden puntuen multzoa da zirkulua.

Batzuetan zirkulu eta zirkunferentzia sinonimo gisa erabiltzen dira, baina azken hau zirkuluaren ertza besterik ez da.

• Zentroa: zirkuluaren zirkunferentziaren puntu guztiekiko distantziakidea den puntua da. Irudian C izena du.

• Erradioa: zentroa eta zirkuluaren zirkunferentziaren puntu bat lotzen dituen edozein zuzenki da; zuzenki horien luzerari ere deitzen zaio erradio. Irudian r izena du.

• Diametroa: zentrotik pasatzen den eta zirkuluaren zirkunferentziaren bi puntu lotzen dituen edozein zuzenki da; zuzenki horien luzerari ere deitzen zaio diametro, eta haren luzera erradioa halako bi da. Irudian d izena du.

• Korda: zirkuluaren zirkunferentziaren bi puntu lotzen dituen edozein zuzenki da; zehazki, diamteroa da luzera maximoa duen korda. Irudian, kolore berdea du.

• Arkua: zirkuluaren zirkunferentziaren edozein zati da, bi puntuk mugatzen dutena. Irudian, kolore urdina du.

• Gezia: korda baten erdibitzailearen segmentu bat da; kordaren erdiko puntutik zirkuluaren zirkunferentziaraino doa, zirkuluaren zentrotik pasatu gabe. Irudian, kolore gorria du.

Zirkulu baten perimetroa zirkuluaren zirkunferentzia da; haren luzera zirkuluaren r erradioaren edo ${\displaystyle d=2\cdot r}$ diametroaren araberakoa da:

${\displaystyle l=2\cdot \pi \cdot r=\pi \cdot d}$

${\displaystyle \pi =3,14159...}$ izanik; pi konstantea, hain zuzen.

Zirkulu baten erradioa r eta diametroa ${\displaystyle d=2\cdot r}$ badira, haren azalerak balio hau du:

${\displaystyle A={\frac {l\cdot r}{2}}=\pi \cdot r^{2}={\frac {\pi \cdot d^{2}}{4}}}$

• Zirkuluaren erditik pasatzen diren zuzenak bakarrik izan ahal dira zirkuluaren simetria-ardatzak.
• Zirkuluak zentroarekiko edozein biraketarekiko inbarianteak dira, hau da, itxura berdina mantentzen dute.

Zuzenen posizio erlatiboak zirkuluekiko:

• Kanpo-zuzenak: zirkuluarekin komun punturik ez duen edozein zuzen.
• Zuzen ukitzaileak: zirkulua puntu bakarrean ukitzen duen edozein zuzen.
• Zuzen ebakitzaileak: zirkulua bi zatitan banatzen duen edozein zuzen. Zirkuluaren zirkunferentziarekin bi puntu ditu komunean.

Zirkuluarekiko ukitzaile den zuzenik badago, horiek elkartzen diren puntuari ukitze-puntua deitzen zaio.

Zuzen ukitzaile oro ukitze-puntuari dagokion erradioarekiko perpendikularra da.

Zirkuluen arteko posizio erlatiboak:

• Bi zirkulu elkarren artean disjuntuak dira komun punturik ez badute. Ikus 1 irudia.
• Bi zirkulu kanpo-ukitzaileak dira komun puntu bakarra baldin badute, mugan egongo dena. Ikus 2 irudia.
• Bi zirkulu elkar ebakitzen dute baldin eta haien zirkunferentziek komun bi puntu besterik ez badute. Ikus 3 irudia.
• Bi zirkulu barne-ukitzaileak dira bata bestearen barnean badago eta haien zirkunferentziek komun bi puntu besterik ez badute. Ikusi 4 irudia.
• Zirkulu bat beste zirkulu baten barnekoa da haren puntu guztiak bestearen barnean badaude. Ikusi 5 irudia.
• Bi zirkulu zentrokideak dira bi zirkuluek zentro bera badute. Ikusi 5 irudia.
• Bi zirkulu eszentrikoak dira zentrokideak ez badira, hau da, bi zirkuluek ez badute zentro bera. Ikusi 4 irudia.

Bi zirkulu ukitzaileak badira, orduan bi zirkuluen zentroak eta ukitze-puntua lerrokatuta daude.

Angeluen zirkuluekiko posizio erlatiboen arabera, honako kasuak ditugu:

• Zentroko angelua: erpina zirkuluaren zentroan du.
• Angelu inskribatua: erpina zirkuluaren mugan du eta alde bakoitzak korda bat definitzen du.
• Angelu erdi-inskribatua: erpina zirkuluaren mugan du; aldeetako batek korda bat definitzen du eta bestea zirkuluarekiko ukitzailea da. Ondorioz, erpina ukitze-puntua da.

Zirkuluaren eskualdeen zatiekin erlazionatutako elementuak:

• Zirkuluerdia: diametro batek eta zirkunferentzierdi batek mugatzen duten zirkulu-zatia. Ikus 2 irudia.
• Zirkulu-segmentua: zirkuluaren korda batek eta honek mugatzen duen arku batek mugatzen duten zatia. Ikus 3 irudia.
• Zona zirkularra: zirkuluaren bi korda paralelok eta hauek zehazten dituzten arkuek mugatzen duten zatia. Ikus 4 irudia.
• Sektore zirkularra: bi erradiok eta hauek zehazten duten arkuak mugatzen duten zatia. Ondorioz, angelu zentral bakoitzak sektore zirkular bat zehazten du. Ikus 5 irudia.
• Koroa zirkularra: bi zirkunferentzia zentrokideen arteko zatia. Ikus 6 irudia.
• Trapezio zirkularra: angelu zentral batek koroa zirkular batean mugatzen duten zatia. Ikus 7 irudia.
• Lunula: bi zirkunferentzia ebakitzailek mugatzen duten zati bat, zirkulu baten kanpoan eta bestearen barruan dagoena. Ikus 8 irudia.

• Testu eta hizkuntza batzuetan, angelu baten barrualdeari erreferentzia egitea saihesteko edo indikazio gehiegi ematea saihesteko, honako bereizketak egiten dira: Zirkunferentzia baten arku bat minorea dela esaten da ${\displaystyle 0<l<\pi \cdot r}$ bada; ${\displaystyle l}$ arkuaren luzera da. Era berean, arku bat nagusia dela esaten da ${\displaystyle \pi \cdot r<l<2\cdot \pi \cdot r}$ bada.

• ${\displaystyle \alpha }$ angelu zentral batek mugatzen duen sektore zirkular bat minorea dela esaten da ${\displaystyle 0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }}$ denean (Ikus 2 irudia). Modu berean, nagusia dela esaten da ${\displaystyle 180^{\circ }<\alpha <360^{\circ }}$ denean (Ikus 3 irudia).
• Zirkulu-segmentu bat minorea dela esaten da mugatzen duen arkua minorea denean (Ikus 1 irudia); aldiz, nagusia dela esaten da mugatzen duen arkua nagusia denean (Ikus 4 irudia).

Bi dimentsioko koordenatu kartesiarretako sistema batean; (a, b) zentroa duen, eta r erradioa duen zirkulu baten (x, y) puntu guztiek honakoa betetzen dute:

${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}\leq r^{2}.}$

Berdintza betetzen duten (x,y) puntuek muga-puntuak dira.

Ekuazio hau, zirkuluaren ekuazioa izena duena, Pitagorasen teorematik dator. Zehazki, zentroa (0, 0) puntua denean, ekuazioa honako moduan sinplifikatzen da:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq r^{2}.}$

Zirkulu baten zentroa (a, b) puntua bada, zirkuluaren edozein (x, y) puntu honako moduan parametrizatu daiteke:

${\displaystyle x=a+r\cdot \cos t,}$

${\displaystyle y=b+r\cdot \sin t,}$

non t, (x, y) puntuak eta (a, b) zentroak osatzen duten zuzenkiaren eta ardatz horizontalaren arteko angelua den radianetan neurtuta ${\displaystyle (0\leq t<2\cdot \pi )}$; eta (x, y) puntutik zentroraino dagoen distantzia r den.

Zirkuluaren puntu guztiek forma parametriko bakarra dute zentroa izan ezik; izan ere, r=0 denean, t aldagaiak edozein balio hartu dezake.

1. ↑ Zirkunferentzia eta zirkulua. (Noiz kontsultatua: 2019ko abenduaren 4a.).