n-esfera

En teoría, se podrían comparar los valores de S_n(R) y S_m(R) para n≠m. Sin embargo, esto es algo sin sentido. Por ejemplo, si n=2 y m=3, es como comparar un número de metros cuadrados con un número diferente de metros cúbicos. La misma falta de sentido se aplica a una comparación de V_n(R) y V_m(R) para n≠m.

El volumen del espacio delimitado por una hiperesfera de dimensión n-1 y de radio R, que es una bola euclídea de dimensión n viene determinado por:

(1)${\displaystyle V_{n}={\pi ^{n/2}R^{n} \over \Gamma (n/2+1)}\ \ ,}$

donde ${\displaystyle \Gamma }$ es la función gamma.

Nótese la particularidad de que ${\displaystyle V_{n}}$ se incrementa desde n=1 hasta un máximo y luego comienza a disminuir y tiende a cero cuando n tiende a infinito. En el caso de que R=1 el volumen máximo se obtiene cuando n=5.

Por ejemplo, el volumen de una hiperfesfera de radio R en el espacio cuadridimensional aplicando la fórmula (1) para n=4 resulta

${\displaystyle V_{4}={\frac {\pi ^{2}R^{4}}{2}}}$ .

La 0-bola consiste en un solo punto. La medida de Hausdorff en 0 dimensiones es el número de puntos en un conjunto. Entonces,

${\displaystyle V_{0}=1.}$

La 1-bola unidad es el intervalo [−1,1] de longitud 2. Entonces,

${\displaystyle V_{1}=2.}$

La 0-esfera consiste en sus dos puntos finales, {−1,1}. Entonces,

${\displaystyle S_{0}=2.}$

La 1-esfera unidad es la circunferencia unidad en el plano euclídeo, cuyo perímetro (medida unidimensional) mide

${\displaystyle S_{1}=2\pi .}$

La región encerrada por la 1-esfera unidad es la 2-bola o disco unidad, que tiene un área (medida bidimensional) de

${\displaystyle V_{2}=\pi .}$

Análogamente, en el espacio euclídeo tridimensional, el área de la superficie (medida bidimensional) de la 2-esfera unidad está dada por

${\displaystyle S_{2}=4\pi .}$

y el volumen incluido es la capacidad (medida tridimensional) de la 3-bola unidad, dada por

${\displaystyle V_{3}={\tfrac {4}{3}}\pi .}$

El área de la superficie, o más adecuadamente, el volumen n-dimensional, de la n-esfera en el límite de la (n+1)-bola de radio R está relacionado con el volumen de la bola por la ecuación diferencial

${\displaystyle S_{n}R^{n}={\frac {dV_{n+1}R^{n+1}}{dR}}={(n+1)V_{n+1}R^{n}},}$

o, de manera equivalente, representando la n-bola unidad como la unión de (n-1)-esferas concéntricas anidadas en forma de corona esférica,

${\displaystyle V_{n+1}=\int _{0}^{1}S_{n}r^{n}\,dr.}$

Entonces,

${\displaystyle V_{n+1}={\frac {S_{n}}{n+1}}.}$

También se puede representar la (n+2)-esfera unidad como la unión de toros, cada uno el producto de un círculo (1-esfera) con una n-esfera. Siendo r = cos θ y r² + R² = 1, de modo que R = sen θ y dR = cos θ dθ, entonces:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n+2}&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}S_{1}r\cdot S_{n}R^{n}\,d\theta \\[6pt]&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}S_{1}\cdot S_{n}R^{n}\cos \theta \,d\theta \\[6pt]&=\int _{0}^{1}S_{1}\cdot S_{n}R^{n}\,dR\\[6pt]&=S_{1}\int _{0}^{1}S_{n}R^{n}\,dR\\[6pt]&=2\pi V_{n+1}.\end{aligned}}}$

Desde S₁ = 2π V₀, la ecuación

${\displaystyle S_{n+1}=2\pi V_{n}}$

se cumple para todos los n.

Esto completa la deducción de las recurrencias:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{0}&=1&V_{n+1}&={\frac {S_{n}}{n+1}}\\[6pt]S_{0}&=2&S_{n+1}&=2\pi V_{n}\end{aligned}}}$

Combinando las recurrencias, se puede ver que

${\displaystyle V_{n+2}=2\pi {\frac {V_{n}}{n+2}}.}$

Entonces, es simple mostrar por inducción que para k,

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{2k}&={\frac {\left(2\pi \right)^{k}}{(2k)!!}}={\frac {\pi ^{k}}{k!}}\\[6pt]V_{2k+1}&={\frac {2\left(2\pi \right)^{k}}{(2k+1)!!}}={\frac {2k!\left(4\pi \right)^{k}}{(2k+1)!}}\end{aligned}}}$

donde !! denota el doble factorial, definido para números naturales impares 2k + 1 por (2k + 1)!! = 1 × 3 × 5 × ... × (2k − 1) × (2k + 1) y de manera similar para números pares (2k)!! = 2 × 4 × 6 × ... × (2k − 2) × (2k).

En general, el volumen en el espacio euclídeo n-dimensional de la n-bola unidad viene dado por

${\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}}$

donde Γ es la función gamma, que satisface Γ(1/2) = √π, Γ(1) = 1 y Γ(x + 1) = xΓ(x).

Multiplicando V_n por Rⁿ, diferenciando con respecto a R, y luego configurando R = 1, se obtiene la forma cerrada

${\displaystyle S_{n-1}={\frac {n\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}.}$

Las recurrencias se pueden combinar para dar una relación de recurrencia de "dirección inversa" para el área de la superficie, como se muestra en el diagrama:

${\displaystyle S_{n-1}={\frac {n}{2\pi }}S_{n+1}}$

El cambio del índice n a n-2 produce las relaciones de recurrencia siguientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{n}&={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}\\[6pt]S_{n-1}&={\frac {2\pi }{n-2}}S_{n-3}\end{aligned}}}$

donde S₀ = 2, V₁ = 2, S₁ = 2π y V₂ = π.

La relación de recurrencia para V_n también se puede probar a través de la integración con coordenadas polares bidimensionales:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{n}&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{2\pi }V_{n-2}\left({\sqrt {1-r^{2}}}\right)^{n-2}\,r\,d\theta \,dr\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{2\pi }V_{n-2}\left(1-r^{2}\right)^{{\frac {n}{2}}-1}\,r\,d\theta \,dr\\[6pt]&=2\pi V_{n-2}\int _{0}^{1}\left(1-r^{2}\right)^{{\frac {n}{2}}-1}\,r\,dr\\[6pt]&=2\pi V_{n-2}\left[-{\frac {1}{n}}\left(1-r^{2}\right)^{\frac {n}{2}}\right]_{r=0}^{r=1}\\[6pt]&=2\pi V_{n-2}{\frac {1}{n}}={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}.\end{aligned}}}$

Se puede definir un sistema de coordenadas en un espacio euclídeo n-dimensional que es análogo al sistema de coordenadas esféricas definido para el espacio euclídeo tridimensional, en el que las coordenadas consisten en una coordenada radial r, y las coordenadas angulares n-1 φ₁, φ₂, ... φ_n−1, donde los ángulos φ₁, φ₂, ... φ_n−2 se extienden sobre [0,π) radianes (o entre [0,180] grados) y φ_n−1 varía sobre [0,2π) radianes (o entre [0,360) grados). Si x_i son las coordenadas cartesianas, entonces se puede calcular x₁, ... x_n a partir de r, φ₁, ... φ_n−1 con:^[5]​

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=r\cos(\varphi _{1})\\x_{2}&=r\operatorname {sen}(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})\\x_{3}&=r\operatorname {sen}(\varphi _{1})\operatorname {sen}(\varphi _{2})\cos(\varphi _{3})\\&\vdots \\x_{n-1}&=r\operatorname {sen}(\varphi _{1})\cdots \operatorname {sen}(\varphi _{n-2})\cos(\varphi _{n-1})\\x_{n}&=r\operatorname {sen}(\varphi _{1})\cdots \operatorname {sen}(\varphi _{n-2})\operatorname {sen}(\varphi _{n-1}).\end{aligned}}}$

Excepto en los casos especiales descritos a continuación, la transformación inversa es única:

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}+{x_{1}}^{2}}}\\[6pt]\varphi _{1}&=\operatorname {arccot} {\frac {x_{1}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}}&&=\arccos {\frac {x_{1}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{1}}^{2}}}}\\[6pt]\varphi _{2}&=\operatorname {arccot} {\frac {x_{2}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{3}}^{2}}}}&&=\arccos {\frac {x_{2}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}}\\[6pt]&\vdots &&\vdots \\[6pt]\varphi _{n-2}&=\operatorname {arccot} {\frac {x_{n-2}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}}&&=\arccos {\frac {x_{n-2}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+{x_{n-2}}^{2}}}}\\[6pt]\varphi _{n-1}&=2\operatorname {arccot} {\frac {x_{n-1}+{\sqrt {x_{n}^{2}+x_{n-1}^{2}}}}{x_{n}}}&&={\begin{cases}\arccos {\frac {x_{n-1}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}}&x_{n}\geq 0\\[6pt]2\pi -\arccos {\frac {x_{n-1}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}}&x_{n}<0\end{cases}}\,.\end{aligned}}}$

donde si x_k ≠ 0 para algunos k pero todos x_k+1, ... x_n son cero, entonces φ_k = 0 cuando x_k > 0 y φ_k = π (180 grados) cuando x_k < 0.

Hay algunos casos especiales donde la transformación inversa no es única; φ_k para cualquier k será ambiguo siempre que todos los x_k, x_k+1, ... x_n sean cero; en este caso, φ_k puede elegirse como cero.

Expresando las medidas angulares en radianes, el elemento volumen en el espacio euclídeo n-dimensional se encontrará a partir del Jacobiano de la transformación:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos(\varphi _{1})&-r\operatorname {sen}(\varphi _{1})&0&0&\cdots &0\\\operatorname {sen}(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})&r\cos(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})&-r\operatorname {sen}(\varphi _{1})\operatorname {sen}(\varphi _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &&\vdots \\&&&&&0\\\operatorname {sen}(\varphi _{1})\cdots \operatorname {sen}(\varphi _{n-2})\cos(\varphi _{n-1})&\cdots &\cdots &&&-r\operatorname {sen}(\varphi _{1})\cdots \operatorname {sen}(\varphi _{n-2})\operatorname {sen}(\varphi _{n-1})\\\operatorname {sen}(\varphi _{1})\cdots \operatorname {sen}(\varphi _{n-2})\operatorname {sen}(\varphi _{n-1})&r\cos(\varphi _{1})\cdots \operatorname {sen}(\varphi _{n-1})&\cdots &&&r\operatorname {sen}(\varphi _{1})\cdots \operatorname {sen}(\varphi _{n-2})\cos(\varphi _{n-1})\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{n}V&=\left|\det {\frac {\partial (x_{i})}{\partial \left(r,\varphi _{j}\right)}}\right|dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}\\[6pt]&=r^{n-1}\operatorname {sen} ^{n-2}(\varphi _{1})\operatorname {sen} ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \operatorname {sen}(\varphi _{n-2})\,dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}\end{aligned}}}$

y la ecuación anterior para el volumen de la n-bola se puede recuperar integrando:

${\displaystyle V_{n}=\int _{\varphi _{n-1}=0}^{2\pi }\int _{\varphi _{n-2}=0}^{\pi }\cdots \int _{\varphi _{1}=0}^{\pi }\int _{r=0}^{R}d^{n}V.}$

De manera similar, el elemento del área de superficie de la (n-1)-esfera, que generaliza el elemento de área de la 2-esfera, viene dado por

${\displaystyle d_{S^{n-1}}V=\operatorname {sen} ^{n-2}(\varphi _{1})\operatorname {sen} ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \operatorname {sen}(\varphi _{n-2})\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}.}$

La elección natural de una base ortogonal sobre las coordenadas angulares es un producto de polinomios ultraesféricos,

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \int _{0}^{\pi }\operatorname {sen} ^{n-j-1}\left(\varphi _{j}\right)C_{s}^{\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)C_{s'}^{\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)\,d\varphi _{j}\\[6pt]&={\frac {2^{3-n+j}\pi \Gamma (s+n-j-1)}{s!(2s+n-j-1)\Gamma ^{2}\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}}\delta _{s,s'}\end{aligned}}}$

para j = 1, 2,... n-2, y e^isφ_j para el ángulo j = n-1 en concordancia con los armónicos esféricos.

Al igual que una esfera bidimensional incrustada en tres dimensiones se puede representar en un plano bidimensional mediante una proyección estereográfica, una n-esfera se puede representar en un hiperplano n-dimensional mediante la versión n-dimensional de la proyección estereográfica. Por ejemplo, el punto [x,y,z] en una esfera bidimensional de radio 1 se asigna al punto [x/1 − z,y/1 − z] en el plano xy. En otras palabras,

${\displaystyle [x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right].}$

Del mismo modo, la proyección estereográfica de una n-esfera Sⁿ⁻¹ de radio 1 se correlacionará con el hiperplano dimensional (n-1) Rⁿ⁻¹ perpendicular al eje x_n como

${\displaystyle [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]\mapsto \left[{\frac {x_{1}}{1-x_{n}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{n}}},\ldots ,{\frac {x_{n-1}}{1-x_{n}}}\right].}$

Para generar puntos aleatorios distribuidos uniformemente en la (n-1)-esfera unidad (es decir, la superficie de la n-bola unidad),Marsaglia (1972) proporciona el siguiente algoritmo:

Genérese un vector n-dimensional de distribución normal (es suficiente usar N(0, 1), aunque en realidad la elección de la varianza es arbitraria), x = (x₁, x₂,... x_n). Ahora, calcúlese el radio de este punto:

${\displaystyle r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$

El vector 1/rx se distribuye uniformemente sobre la superficie de la n-bola unidad.

Una alternativa dada por Marsaglia es seleccionar uniformemente al azar un punto x = (x₁, x₂,... x_n) en el n-cubo unidad, muestreando cada x_i independientemente de la distribución uniforme continua sobre (–1,1), calculando r como arriba, y rechazando el punto y remuestreando si r ≥ 1 (es decir, si el punto no está en la n-bola), y cuando se obtiene un punto en la bola, se escala hacia la superficie esférica por el factor 1/r; de forma que de nuevo 1/rx se distribuye uniformemente sobre la superficie de la n-bola unidad.

Con un punto seleccionado al azar uniformemente desde la superficie de la (n-1)-esfera unidad (por ejemplo, usando el algoritmo de Marsaglia), se necesita solo un radio para obtener un punto uniformente al azar desde dentro de la n-bola unidad. Si u es un número generado uniformemente al azar en el intervalo [0, 1] y x es un punto seleccionado uniformemente al azar de la (n-1)-esfera unidad, entonces u^(1/n)x se distribuye uniformemente dentro de la n-bola unidad.

Alternativamente, los puntos se pueden muestrear uniformemente desde dentro de la n-bola unidad mediante una reducción desde la (n+1)-esfera unidad. En particular, si (x₁,x₂,...,x_n+2) es un punto seleccionado uniformemente de la (n+1)-esfera unidad, entonces (x₁,x₂,...,x_n) se distribuye uniformemente dentro de la n-bola unidad (es decir, simplemente descartando dos coordenadas).^[6]​

Si n es suficientemente grande, la mayor parte del volumen de la n-bola estará contenido en la región muy cercana de su superficie, por lo que un punto seleccionado de ese volumen probablemente también estará cerca de la superficie. Este es uno de los fenómenos que conducen a la llamada maldición de la dimensión, que surge en algunas aplicaciones numéricas.

0-esfera

El par de puntos {±R} con topología discreta para R > 0. Se trata de la única esfera que no es un conjunto conexo. Posee una estructura de grupo de Lie natural; isomorfo a O (1). Paralelizable

1-esfera

También conocida como circunferencia. Posee un grupo fundamental no trivial. Estructura del grupo de Lie abeliano, el grupo circular, topológicamente equivalente a la recta proyectiva real, R P¹. Paralelizable. SO(2) = U(1).

2-esfera

También conocida simplemente como esfera. Estructura compleja; equivalente a la recta proyectiva compleja, C P¹. SO(3)/SO(2).

3-esfera

También conocida como glomo. Paralelizable, U(1)-haz principal sobre la 2-esfera, estructura de grupo de Lie Sp(1), donde también

${\displaystyle \mathrm {Sp} (1)\cong \mathrm {SO} (4)/\mathrm {SO} (3)\cong \mathrm {SU} (2)\cong \mathrm {Spin} (3)}$.

4-esfera

Equivalente a la recta proyectiva cuaterniónica, HP¹. SO(5)/SO(4).

5-esfera

U(1)-haz principal sobre CP². SO(6)/SO(5) = SU(3)/SU(2).

6-esfera

Posee una variedad casi compleja proveniente del conjunto de unidades de octonión puras. SO(7)/SO(6) = G₂/SU (3). La pregunta de si posee un estructura compleja se conoce como el "problema de Hopf", en referencia a Heinz Hopf.^[7]​

7-esfera

Estructura topológica de cuasigrupo como el conjunto de unidades de los octoniones. Sp(1)-haz principal sobre S⁴. Paralelizable. SO(8)/SO(7) = SU(4)/SU(3) = Sp(2)/Sp(1) = Spin(7)/G₂ = Spin(6)/SU(3). La 7-esfera es de particular interés, ya que fue en esta dimensión en la que se descubrió la primera esfera exótica.

8-esfera

Equivalente a la línea proyectiva octoniónica OP¹.

23-esfera

Es posible un empaquetamiento de esferas altamente denso en un espacio de 24 dimensiones, que está relacionado con las cualidades únicas de la retícula de Leech.

• Flanders, Harley (1989). Differential forms with applications to the physical sciences. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-66169-8. 
• Moura, Eduarda; Henderson, David G. (1996). Experiencing geometry: on plane and sphere. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-373770-7 (Chapter 20: 3-spheres and hyperbolic 3-spaces). 
• Weeks, Jeffrey R. (1985). The Shape of Space: how to visualize surfaces and three-dimensional manifolds. Marcel Dekker. ISBN 978-0-8247-7437-0 (Chapter 14: The Hypersphere). 
• Marsaglia, G. (1972). «Choosing a Point from the Surface of a Sphere». Annals of Mathematical Statistics 43 (2): 645-646. doi:10.1214/aoms/1177692644. 
• Huber, Greg (1982). «Gamma function derivation of n-sphere volumes». Amer. Math. Monthly 89 (5): 301-302. JSTOR 2321716. MR 1539933. doi:10.2307/2321716. 
• Barnea, Nir (1999). «Hyperspherical functions with arbitrary permutational symmetry: Reverse construction». Phys. Rev. A 59 (2): 1135-1146. Bibcode:1999PhRvA..59.1135B. doi:10.1103/PhysRevA.59.1135. 

• Weisstein, Eric W. «Hypersphere». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Hypersphere en Planetmath.