Quelltext der Seite Reelle Zahlen/Folge/Limes und Konvergenz/Definition

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{{
Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}}
|Text=
Es sei {{mathl|term={{Folge|}} |SZ=}} eine 
{{
Definitionslink
|reelle Folge|
|Kontext=|
|SZ=
}} 
und es sei
{{
Vergleichskette
|x
|\in|\R
||
||
||
|SZ=.
}}
Man sagt, dass die Folge gegen {{math|term= x |SZ=}} {{Definitionswort|konvergiert|SZ=,}} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist{{{zusatz1|.}}}

Zu jedem positiven
{{
mathbed|term=
\epsilon > 0
||bedterm1=
\epsilon \in \R
||bedterm2=

|SZ=,
}}
gibt es ein
{{
Vergleichskette
|n_0
|\in| \N
||
||
||
|SZ=
}}
derart, dass für alle
{{
Vergleichskette
|n
|\geq| n_0
||
||
||
|SZ=
}}
die Abschätzung
{{
Vergleichskette/display
| {{op:Betrag|x_n-x}}
|\leq| \epsilon
||
||
||
|SZ=
}}
gilt. In diesem Fall heißt {{math|term= x |SZ=}} der {{Definitionswort|Grenzwert|SZ=}} oder der {{Definitionswort|Limes|SZ=}} der Folge. Dafür schreibt man auch
{{
Vergleichskette/display
|{{op:Folgenlimes|}} 
| {{defeq|}}|x
||
||
||
|SZ=.
}}
Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie {{Definitionswort|konvergiert|SZ=}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=ohne Bezug auf einen Grenzwert|
|ISZ=.|ESZ=,
}}
andernfalls, dass sie {{Definitionswort|divergiert|SZ=.}}
|Textart=Definition
|Kategorie=Theorie der reellen Folgen
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=   
|Definitionswort=Konvergenz einer reellen Folge
|Definitionswort2=Grenzwert
|Definitionswort/englisch=Convergent sequence
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}

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