Superstarrheitssatz

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In der Mathematik beschreibt der Superstarrheitssatz von Margulis (engl.: Margulis superrigidity theorem) die Darstellungen von Gittern in Lie-Gruppen von höherem Rang. Eine Folgerung aus dem Superstarrheitssatz ist die Arithmetizität dieser Gitter.

Darstellungen von Gruppen sind in Mathematik und Physik von großer Bedeutung. Deshalb würde man gerne zu gegebenen Gruppen ihre Darstellungen, etwa nach oder auch in andere Lie-Gruppen klassifizieren.

Der Margulissche Superstarrheitssatz versucht dies für Gruppen, die bereits ein Gitter in einer Lie-Gruppe (vom -Rang ) sind, zum Beispiel als Gitter in . (Damit die Bedingung erfüllt ist, muss in diesem Beispiel sein.) Für solche Gitter gibt die Inklusion eine offensichtliche Darstellung in die Lie-Gruppe und darüber hinaus liefert jede Darstellung der Lie-Gruppe in eine andere Lie-Gruppe auch eine Darstellung von in . Da sich die endlich-dimensionalen Darstellungen von Lie-Gruppen vollständig klassifizieren lassen, bleibt dann noch die Frage, ob das Gitter darüber hinaus weitere Darstellungen besitzt.

Gitter in Lie-Gruppen haben in der Regel zahlreiche Homomorphismen auf endliche Gruppen. Zum Beispiel hat surjektive Homomorphismen nach für jede natürliche Zahl . Falls eine solche endliche Gruppe in einer Lie-Gruppe als Untergruppe vorkommt, dann liefert der Homomorphismus eine Darstellung von in die Lie-Gruppe .

Der Superstarrheitssatz besagt, dass dies die beiden einzigen Möglichkeiten für Darstellungen von in sind.

Der Superstarrheitssatz gilt nicht für Gitter in und . Beispielsweise sind Flächengruppen Gitter in , für ihre Darstellungen nach gilt aber nicht der Mostowsche Starrheitssatz, und weiterhin haben sie auch zahlreiche treue Darstellungen in , die nicht Einschränkungen von Darstellungen sind, siehe Quasifuchssche Gruppe und Cannon-Thurston-Abbildungen. Ähnlich gilt zwar für für Gitter in der Mostowsche Starrheitssatz, jedoch lassen sich manche Gitter in deformieren, ohne dass diese Deformationen sich zu Darstellungen fortsetzen ließen.[1]

Aussage des Superstarrheitssatzes

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Sei eine nicht-kompakte einfache Lie-Gruppe, die nicht lokal isomorph zu oder ist, und sei ein Gitter in .

Dann ist jede Darstellung mit Zariski-dichtem Bild

Verallgemeinerungen

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Die obige Formulierung ist nicht die allgemeinstmögliche. Zum Beispiel gilt die Aussage auch dann noch, wenn das Bild der Darstellung statt eine einfache Lie-Gruppe mit trivialem Zentrum oder wenn nur eine halbeinfache Lie-Gruppe, dann aber ein irreduzibles Gitter und das Bild Zariski-dicht in ist.

Eine noch allgemeinere Formulierung im Kontext algebraischer Gruppen ist die folgende.[2]

Sei

  • eine zusammenhängende, halbeinfache, reelle algebraische Gruppe ohne kompakten Faktor und sei .
  • ein irreduzibles Gitter in .
  • ein lokaler Körper der Charakteristik 0, d. h. oder eine endliche Erweiterung von

und sei eine einfache, zusammenhängende, algebraische -Gruppe. Sei ein Homomorphismus mit Zariski-dichtem Bild. Dann gilt:

  1. Wenn und nicht kompakt ist, dann kann zu einem rationalen Homomorphismus , definiert über (also einen Homomorphismus induzierend) fortgesetzt werden.
  2. Wenn ist, dann ist entweder kompakt, or kann zu einem rationalen Homomorphismus fortgesetzt werden.
  3. Wenn total unzusammenhängend ist, dann ist kompakt.
  • Michael Gromow, Pierre Pansu: Rigidity of lattices: an introduction. Geometric topology: recent developments (Montecatini Terme, 1990), 39–137, Lecture Notes in Math., 1504, Springer, Berlin, 1991. Online (pdf)
  • G. A. Margulis: Discrete subgroups of semisimple Lie groups. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), 17. Springer-Verlag, Berlin, 1991. ISBN 3-540-12179-X

Einzelnachweise

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  1. Dennis Johnson; John Millson: Deformation spaces associated to compact hyperbolic manifolds. Discrete groups in geometry and analysis (New Haven, Conn., 1984), 48–106, Progr. Math., 67, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1987. online (PDF; 2,1 MB)
  2. Theorem 5.6 in Margulis, op.cit.